正弦定理及其应用

1.问题的引入:

.某游客在爬上山顶后，在休息时看到对面的山顶想：这离对面有多远的距离呢？请同学们帮帮这位游客。（工具是测角仪和皮尺）第1页/共30页第一页，共31页。思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系Rt中思考：对于一般三角形，上述结论是否成立第2页/共30页第二页，共31页。在锐角三角形中，第3页/共30页第三页，共31页。在钝角三角形中，第4页/共30页第四页，共31页。由以上三种情况的讨论可得：正弦定理：思考：用“向量”的方法如何证明“正弦定理”

在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即第5页/共30页第五页，共31页。思考：用“三角形面积公式”如何证明“正弦定理”

第6页/共30页第六页，共31页。∵BACDabc而∴同理∴ha第7页/共30页第七页，共31页。

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即变形：第8页/共30页第八页，共31页。小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。定理的应用举例例1第9页/共30页第九页，共31页。例2、在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°边长精确到1cm）

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角第10页/共30页第十页，共31页。

在例2中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3;（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3;（3）b＝20，A＝60°，a＝15.60°ABCb第11页/共30页第十一页，共31页。（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinA

a12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°应舍去.60°2020√3ABC第12页/共30页第十二页，共31页。（2）b＝20，A＝60°，a＝10√3sinB＝＝1，bsinA

aB＝90°.B60°AC20第13页/共30页第十三页，共31页。（3）b＝20，A＝60°，a＝15.sinB＝＝，bsinA

a2√332√33

∵

>1，∴无解.60°20AC

第14页/共30页第十四页，共31页。已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．Ａ为锐角a<bsinA无解a=bsinA一解bsinA<a<b两解一解a≥bＡ为直角或钝角a>b一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣab第15页/共30页第十五页，共31页。（2R为△ABC外接圆直径）第16页/共30页第十六页，共31页。证明：OC/cbaCBA第17页/共30页第十七页，共31页。

正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即含三角形的三边及三内角,由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征:正弦定理第18页/共30页第十八页，共31页。剖析定理、加深理解1、A+B+C=π2、大角对大边，大边对大角第19页/共30页第十九页，共31页。剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解决三角形中的问题：①已知两角和一边，求其他角和边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角第20页/共30页第二十页，共31页。剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形第21页/共30页第二十一页，共31页。剖析定理、加深理解5、正弦定理的变形形式6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化第22页/共30页第二十二页，共31页。ACaba<bsinA无解ACaba=bsinA一解ACabbsinA<a<b两解BB1B2BACba一解a第23页/共30页第二十三页，共31页。ABabCABabCABabCa<b

无解a=b

无解a>b

一解第24页/共30页第二十四页，共31页。，求B；

判断解的个数：，求B；

，求B；

，求B；

一解一解一解两解第25页/共30页第二十五页，共31页。第26页/共30页第二十六页，共31页。第27页/共30页第二十七页，共31页。第28页/共30页第二十八页，共31页。第29页/共30页第二十九页，共31页。感谢您的观看！第30页/共30页第三十页，共31页。内容总结1.问题的引入:。某游客在爬上山顶后，在休息时看到对面的山顶想：这离对面有多远的距离呢。思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系。思考：用“向量”的方法如何证明“正弦