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3.1KCL和KVL的独立方程数1.KCL的独立方程数654321432114324123＋＋＋＝0结论n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个。第1页/共81页第一页，共82页。2.KVL的独立方程数KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)结论n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数为：第2页/共81页第二页，共82页。3.2支路电流法(branchcurrentmethod)对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。1.支路电流法2.独立方程的列写（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程（2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程第3页/共81页第三页，共82页。R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234例132有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程:结合元件特性消去支路电压得：回路1回路2回路3123第4页/共81页第四页，共82页。支路电流法的一般步骤：(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；(2)选定(n–1)个节点，列写其KCL方程；(3)选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程；

(元件特性代入)(4)求解上述方程，得到b个支路电流；(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。支路电流法的特点：支路法列写的是

KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。第5页/共81页第五页，共82页。(2)每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。平面电路：可以画在平面上，不出现支路交叉的电路。123问题：如何保证所选回路是独立的？(1)对平面电路，b–(n–1)个网孔即是一组独立回路。第6页/共81页第六页，共82页。非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。∴是平面电路总有支路相互交叉∴是非平面电路第7页/共81页第七页，共82页。例1.节点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：求各支路电流及电压源各自发出的功率。解(2)b–(n–1)=2个KVL方程：11I2+7I3=

6U=US7I1–11I2=70-6=641270V6V7ba+–+–I1I3I2711克拉默法则

第8页/共81页第八页，共82页。例2.节点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）解1.(2)b–(n–1)=2个KVL方程：11I2+7I3=

U7I1–11I2=70-Ua1270V6A7b+–I1I3I2711增补方程：I2=6A+U_1解2.70V6A7b+–I1I3I2711a由于I2已知，故只列写两个方程节点a：–I1+I3=6避开电流源支路取回路：7I1＋7I3=70第9页/共81页第九页，共82页。例3.节点a：–I1–I2+I3=0列写支路电流方程.(电路中含有受控源）解11I2+7I3=5U7I1–11I2=70-5U增补方程：U=7I3a1270V7b+–I1I3I2711+5U_+U_有受控源的电路，方程列写分两步：(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。第10页/共81页第十页，共82页。3.3网孔电流法

在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电阻构成的电路，可用b个支路电流变量来建立电路方程。在b个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立电流变量来建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，它的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得到网孔电流后，用KCL方程可求出全部支路电流，再用VCR方程可求出全部支路电压。第11页/共81页第十一页，共82页。

一、网孔电流

若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6条支路和4个结点。对①、②、③结点写出KCL方程。

支路电流i4、i5和i6可以用另外三个支路电流i1、i2和i3的线性组合来表示。第12页/共81页第十二页，共82页。

电流i4、i5和i6是非独立电流，它们由独立电流i1、i2和i3的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i1、i2和i3沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，共有(b-n+1)个网孔电流，它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量。第13页/共81页第十三页，共82页。二、网孔方程将以下各式代入上式，消去i4、i5和i6后可以得到：网孔方程

以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL方程分别为：第14页/共81页第十四页，共82页。

将网孔方程写成一般形式：

其中R11,R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内全部电阻的总和。例如R11=R1+R4+R5,R22=R2

+R5+R6,R33=R3+R4+R6。第15页/共81页第十五页，共82页。

Rkj(kj)称为网孔k与网孔j的互电阻，它们是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号，例如R12=R21=R5,R13=R31=R4。当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23=R32=-R6。uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的代数和。绕行方向由-极到+极的电压源取正号；反之则取负号。例如uS11=uS1,uS22=uS2,uS33=-uS3。第16页/共81页第十六页，共82页。

由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。第17页/共81页第十七页，共82页。

从以上分析可见,由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。由独立电压源和线性电阻构成具有个网孔的平面电路，其网孔方程的一般形式为第18页/共81页第十八页，共82页。

三、网孔分析法计算举例

网孔分析法的计算步骤如下：1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。3．求解网孔方程，得到各网孔电流。4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。5．用VCR方程，求得各支路电压。第19页/共81页第十九页，共82页。

例3－1用网孔分析法求图3-2电路各支路电流。解：选定两个网孔电流i1和i2的参考方向，如图所示。

用观察电路的方法直接列出网孔方程：整理为图3－2第20页/共81页第二十页，共82页。解得：

各支路电流分别为i1=1A,i2=-3A,i3=i1-i2=4A。第21页/共81页第二十一页，共82页。

例3－2用网孔分析法求图3－3电路各支路电流。解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。

用观察法列出网孔方程：图3－3第22页/共81页第二十二页，共82页。

整理为

解得：图3－3第23页/共81页第二十三页，共82页。例3－3用网孔分析法求解图3－5电路的网孔电流。解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于

电流源电流，成为已知量，此例中为i3=2A。此时不必

列出此网孔的网孔方程。图3－5第24页/共81页第二十四页，共82页。图3－5

代入i3=2A，整理后得到：

解得i1=4A,i2=3A和i3=2A。

只需计入1A电流源电压u，列出两个网孔方程和一个补充方程：

从此例可见，若能选择电流源电流作为某一网孔电流，就能减少联立方程数目。第25页/共81页第二十五页，共82页。3.4回路电流法(loopcurrentmethod)基本思想为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。1.回路电流法以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔法.网孔分析法适用于平面电路.i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2独立回路为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：第26页/共81页第二十六页，共82页。回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：列写的方程与支路电流法相比，方程数减少n-1个。回路1：R1il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0回路2：R2(il2-il1)+R3il2

-uS2=0整理得：(R1+R2)

il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)

il2=uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il22.方程的列写第27页/共81页第二十七页，共82页。R11=R1+R2

回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。观察可以看出如下规律：R22=R2+R3

回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。自电阻总为正。R12=R21=–R2

回路1、回路2之间的互电阻。当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。ul1=uS1-uS2

回路1中所有电压源电压的代数和。ul2=uS2

回路2中所有电压源电压的代数和。当电压源电位沿回路电流方向上升取号；反之取正号。第28页/共81页第二十八页，共82页。R11il1+R12il2=uSl1R12il1+R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：对于具有l=b-(n-1)

个回路的电路，有:其中:Rjk:互电阻+:流过互阻两个回路电流方向相同-:流过互阻两个回路电流方向相反0:无关R11il1+R12il1+…+R1lill=uSl1

…R21il1+R22il1+…+R2lill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+…+Rllill=uSllRkk:自电阻(为正)第29页/共81页第二十九页，共82页。例1.用回路电流法求解电流i.解1独立回路有三个，选网孔为独立回路：i1i3i2（1）不含受控源的线性网络

Rjk=Rkj

,系数矩阵为对称阵。（2）当网孔电流均取顺（或逆时针方向时，Rjk均为负。表明RSR5R4R3R1R2US+_i第30页/共81页第三十页，共82页。RSR5R4R3R1R2US+_i解2只让一个回路电流经过R5支路i1i3i2特点（1）减少计算量（2）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻第31页/共81页第三十一页，共82页。回路法的一般步骤：(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；(2)对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；(3)求解上述方程，得到l个回路电流；(5)其它分析。(4)求各支路电流(用回路电流表示)；第32页/共81页第三十二页，共82页。3.理想电流源支路的处理引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。例RSR4R3R1R2US+_iSU_+i1i3i2电流源看作电压源列方程增补方程：第33页/共81页第三十三页，共82页。选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,

该回路电流即IS。RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2例为已知电流，实际减少了一方程第34页/共81页第三十四页，共82页。例求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。＋4V3A2－+–IU312A2Ai1i4i2i3解第35页/共81页第三十五页，共82页。4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。第36页/共81页第三十六页，共82页。例3－13列出图3-17电路的网孔方程。解：在写网孔方程时，先将受控电压源的电压ri3写在方程

右边：图3－17将控制变量i3用网孔电流表示，即补充方程第37页/共81页第三十七页，共82页。代入上式，移项整理后得到以下网孔方程：

由于受控源的影响,互电阻R21=(r-R3)不再与互电阻R12=

-R3相等。自电阻R22=(R2+R3-r)不再是网孔全部电阻R2

、R3的总和。图3－17第38页/共81页第三十八页，共82页。例RSR4R3R1R2US+_5U_+_+Ui1i3i2受控电压源看作独立电压源列方程增补方程：第39页/共81页第三十九页，共82页。例3－14图3-18电路中，已知

=1,

=1。试求网孔电流。

解：以i1,i2和

i3为网孔电流，用观察法列出网孔1和网孔2的网孔方程分别为：

图3－18第40页/共81页第四十页，共82页。

补充两个受控源控制变量与网孔电流i1和i2关系的方程：

代入

=1,

=1和两个补充方程到网孔方程中，移项整理后得到以下网孔方程：

解得网孔电流i1=4A,i2=1A和i3

=3A。图3－18第41页/共81页第四十一页，共82页。例列回路电流方程解1选网孔为独立回路1432_+_+U2U3增补方程：R1R4R5gU1R3R2U1_++_U1iS第42页/共81页第四十二页，共82页。解2回路2选大回路增补方程：R1R4R5gU1R3R2U1_++_U1iS1432第43页/共81页第四十三页，共82页。3.5节点电压法(nodevoltagemethod)选节点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL

方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。基本思想：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。1.结点电压法列写的方程节点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。第44页/共81页第四十四页，共82页。任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。(uA-uB)+uB-uA=0KVL自动满足说明uA-uBuAuB2.方程的列写iS1uSiS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_(1)选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压132第45页/共81页第四十五页，共82页。iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132

(2)列KCL方程：iR出=iS入i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0把支路电流用结点电压表示：-i3+i5=－iS2第46页/共81页第四十六页，共82页。整理，得：令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为：G11un1+G12un2

＋G13un3

=iSn1G21un1+G22un2

＋G23un3

=iSn2G31un1+G32un2

＋G33un3

=iSn3标准形式的结点电压方程等效电流源第47页/共81页第四十七页，共82页。其中G11=G1+G2

节点1的自电

导，等于接在节点1上所有

支路的电导之和。

G22=G2+G3+G4节点2的自电导，等于接在节点

2上所有支路的电导之和。G12=G21=-G2

节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之

间的所有支路的电导之和，为负值。自电导总为正，互电导总为负。G33=G3+G5

节点3的自电导，等于接在节点3上所有支路的电导之和。G23=G32=-G3

节点2与节点3之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，为负值。iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132第48页/共81页第四十八页，共82页。iSn2=-iS2＋uS/R5

流入节点2的电流源电流的代数和。iSn1=iS1+iS2

流入节点1的电流源电流的代数和。流入节点取正号，流出取负号。由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用节点电压表示：第49页/共81页第四十九页，共82页。一般情况G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iSn2Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+…+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中Gii

—自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。iSni

—流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij

=Gji—互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，总为负。第50页/共81页第五十页，共82页。节点法的一般步骤：(1)选定参考节点，标定n-1个独立节点；(2)对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程；(3)求解上述方程，得到n-1个节点电压；(5)其它分析。(4)求各支路电流(用节点电压表示)；第51页/共81页第五十一页，共82页。试列写电路的节点电压方程。(G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=USGS-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3

=0－GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3

=－USGS例UsG3G1G4G5G2+_231GS3.无伴电压源支路的处理G3G1G4G5G2+_Us231（1）以电压源电流为变量，增补节点电压与电压源间的关系第52页/共81页第五十二页，共82页。UsG3G1G4G5G2+_231I(G1+G2)U1-G1U2

=I-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3

=0-G4U2+(G4+G5)U3

=－IU1-U3=US看成电流源增补方程（2）选择合适的参考点G3G1G4G5G2+_Us231U1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2-

G3U3

=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0第53页/共81页第五十三页，共82页。

例用结点分析法求图3-8电路各支路电压。图3－8解:参考结点和结点电压如图所示。用观察法列出三个结点方程：

第54页/共81页第五十四页，共82页。

整理得到:解得结点电压

求得另外三个支路电压为：

图3－8第55页/共81页第五十五页，共82页。例3－7用结点分析法求图3-9(a)电路的电压u和支路电流i1，i2。

图3－9解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联，

如图(b)所示。对结点电压u来说

，图(b)与图(a)等效。

只需列出一个结点方程。

第56页/共81页第五十六页，共82页。

解得

按照图(a)电路可求得电流i1和i2

图3－9第57页/共81页第五十七页，共82页。例求U和I

。90V＋＋＋－－－2121100V20A110V＋－UI解1应用结点法。312解得：与电流源串联的电阻不计算在内第58页/共81页第五十八页，共82页。90V＋＋＋－－－2121100V20A110V＋－UI解2应用回路法。123解得：第59页/共81页第五十九页，共82页。4.受控电源支路的处理对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。先把受控源当作独立源列方程；(2)用结点电压表示控制量。列写电路的结点电压方程。例iS1R1R3R2gmuR2+uR2_21第60页/共81页第六十页，共82页。例3－15列出图3-19电路的结点方程。解：列出结点方程时，将受控电流源gu3写在方程右边：图3－19

补充控制变量u3与结点电压关系的方程第61页/共81页第六十一页，共82页。

代入上式，移项整理后得到以下结点方程：

由于受控源的影响，互电导G21=(g-G3)与互电导G12=-G3不再相等。自电导G22=(G2+G3-g)不再是结点②全部电导之和。图3－19第62页/共81页第六十二页，共82页。例3－16电路如图3-20所示。已知g=2S，求结点电压和受

控电流源发出的功率。图3－20第63页/共81页第六十三页，共82页。解：当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量i

来建立结点方程。

补充方程图3－20第64页/共81页第六十四页，共82页。

代入g=2S,消去电流i，经整理得到以下结点方程：

求解可得u1=4V,u2=3V,u3=5V。受控电流源发出的功率为图3－20第65页/共81页第六十五页，共82页。解：当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量i

来建立结点方程。

补充方程第66页/共81页第六十六页，共82页。设参考点，把受控源当作独立源列方程；(2)用结点电压表示控制量。列写电路的结点电压方程。例213iS1R1R4R3gu3+u3_R2+－riiR5+uS_解第67页/共81页第六十七页，共82页。例列写电路的结点电压方程。1V＋＋＋＋－－－－2321534VU4U3A312注：与电流源串接的电阻不参与列方程增补方程：U

=Un3第68页/共81页第六十八页，共82页。例

试列出图(a)所示含有无伴电压源电路的节点方程。

（a）（b）解：取电路的独立节点和参考节点如图(a)所示，对节点②、③、④列写节点方程，得到电路的节点方程为

第69页/共81页第六十九页，共82页。将受控电流源的控制电压u2用节点电压表示为

消去节点方程中的u2，得出所求的电路方程上述方程中实际只有三个独立方程，这是因为选取无伴电压源的一端作为参考节点，使节点①的电压成为已知的缘故。为了便于比较，选取另外的节点作为参考节点，如图(b)所示，同样可以列写节点方程。假设无伴电压源的电流为i3，方向如图(b)所示。节点方程

第70页/共81页第七十页，共82页。上述方程组中包含节点电压un1、un2、un3、un4及i3共5未知个变量，必须求解5个联立方程，因此较为复杂。

第71页/共81页第七十一页，共82页。1支路电流法的一般步骤：(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；(2)选定(n–1)个节点，列写其KCL方程；(3)选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程；

(元件特性代入)(4)求解上述方程，得到b个支路电流；(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。支路电流法的特点：支路法列写的是

KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。避开电流源支路取回路：总结第72页/共81页第七十二页，共82页。2.网孔分析法适用于平面电路，其方法是

(l)以网孔电流为变量，列出网孔的KVL方程(网孔方程)。

(2)求解网孔方程得到网孔电流，再用KCL和VCR方程求各支路电流和支路电压。

当电路中含有电流源与电阻并联单口时，应先等效变换为电压源与电阻串联单口。若没有电阻与电流源并联，则应增加电流源电压变量来建立网孔方程，并补充电流源与网孔电流关系的方程。

第73页/共81页第七十三页，共82页。

网孔分析法的计算步骤如下：1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。3．求解网孔方程，得到各网孔电流。4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。5．用VCR方程，求得各支路电压。自电阻总为正。当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。当电压源电位沿回路电流方向上升取正号；反之取负号。第74页/共81页第七十四页，共82页。3回路法的一般步骤：(1)选定l=b-(n