用一元二次方程解决问题

用一元二次方程解决问题实际问题数学问题数学模型（一元二次方程）检验类型思路（1）传播问题（2）单双循环问题（3）增长率问题；（4）面积（体积）问题；（5）商品销售问题（6）运动问题；（7）银行问题（8）数学问题（9）图标信息类问题（10）工程行程问题……（1）审（2）设（3）列（4）解（5）验（6）答步骤第1页/共22页第一页，共23页。典型问题类型一：传播问题解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数共传染人数第0轮1（传染源）1第1轮xx+1第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)

列方程1+x+x(x+1)=121

解方程，得X1=10，X2=-12X2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

例1第2页/共22页第二页，共23页。典型问题类型二：单双循环问题解：设有x队参加比赛．

x（x-1）=90，

（x-10）（x+9）=0，

解得x=10，x=-9（不合题意，舍去）．

答：共有10支球队参加比赛．

参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？例2

参加一次足球联赛的每两队之间都只进行一次比赛，共比赛90场，共有多少个队参加比赛？变式1

一个正八边形，它有多少条对角线？

变式2第3页/共22页第三页，共23页。典型问题类型三：增长率问题解：设每年经营总收入的年增长率为a.600÷40%×(1+a)2=2160解方程，a1=0.2a2=-2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2则2001年预计经营总收入为：600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答：2001年预计经营总收入为1800万元.

某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？例3第4页/共22页第四页，共23页。典型问题类型三：增长率问题解：设每年经营总收入的年增长率为a.600÷40%×(1+a)2=2160解方程，a1=0.2a2=-2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2则2001年预计经营总收入为：600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答：2001年预计经营总收入为1800万元.

某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？变式第5页/共22页第五页，共23页。解:设第一次倒出酒精x升,依题意得答:第一次倒出酒精10升.20升的纯酒精,倒出一部分后注满水,第二次倒出与前次同量的混合液,再注满水,此时容器内还剩下5升纯酒精,求第一次倒出酒精的数量.变式典型问题类型三：增长率问题第6页/共22页第六页，共23页。点评检验是列方程解应用题不可缺少的步骤,既要检验是否为所列方程的根,又要检验数学问题的解是否符合题意.如本题中所求的x2是方程的解，但不合题意，同时也不能认为增长率就是正数.点评：基数a、降价后总量b、降价的百分数x之间的关系

b=a(1-x)

第7页/共22页第七页，共23页。类型四：面积问题

用7m长的铝合金做成透光面积（矩形ABCD的面积）为2m2的“日”型窗框(AB>BC)，求窗框的宽度？（铝合金的宽度忽略不计）例4ADCBEF分析：本题的关键是用设出的未知数表示出宽度与高度，再根据面积为2m2，列出方程.解：设窗框的宽度BC=xm，则高度AB=根据题意得：解得：检验：答：窗框的宽度为1m.点评：（1）解题步骤；（2）不可忽略题中的限制条件.典型问题第8页/共22页第八页，共23页。ACBD要求：只需要列出方程.变式练习1变式1：用7m长的铝合金改做做成透光面积为2m2的如左图所示形状的窗框，若窗框的宽（BC）的长为xm,求x的值.（铝合金的宽度忽略不计，π≈3）点拨：半圆的弧长=πx≈1.5xAB=(7-3.5x)÷2变式练习第9页/共22页第九页，共23页。40m30mACBD变式2：在长为40m，宽为30m的矩形绿地内铺设三条宽度相等的甬道，使其中两条与AB平行，一条与BC边平行，使得绿化面积为750m2，求这条人行道的宽度？点拨：设甬道的宽度为xm。方法1：40x+2×30x-2x2=40×30-750方法2：（40-2x）（30-x)=750解得：x1=5,x2=45(不合题意，舍去）答：这条人行道的宽度为5m.第10页/共22页第十页，共23页。类型五：经济问题

某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件.如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？例5分析单件利润（元）数量（件）总利润（元）提价前提价后设这种衬衫售价应定为x元.单位化每件提价1元，其销售量就减少20件10x-50120008000800800-20(x-60)典型问题第11页/共22页第十一页，共23页。解：设这种衬衫的售价为x元.根据题意，得（x-50)［800-20(x-60)］=12000(x-70)(x-80)=0x1=70,x2=80经检验x1=70,x2=80是方程的解，因为使顾客获得更多的优惠，所以x2=80不符合题意，应舍去.答：这种衬衫的定价应定为70元.点评：1.解决此类问题的关键是将相关条件单位化；2.要理解问题中隐含条件，对所求问题的解进行适当的取舍.第12页/共22页第十二页，共23页。变式：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？变式练习3点拨每台利润（元）数量（台）总利润（元）降价前降价后设每台冰箱应降价x元.400400-x480032008x1=200，x2=100(不合题意，舍去）变式练习第13页/共22页第十三页，共23页。典型例题三:

应用类（运动问题）类型六：运动问题

如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q之间的距离是10cm？例6ABCPDQBCAPDQEEPE=16-3x-2xPE=3x+2x-16典型问题第14页/共22页第十四页，共23页。解：经过xs后，P、Q两点之间的距离是10cm.根据题意，得：(16-2x-3x)2+62=102解得x1=1.6,x2=4.8.经检验x1=1.6,x2=4.8都是方程的根且符合题意.答：经过1.6s或4.8s后，P、Q两点之间距离为10cm.点评：（1）较为复杂的一元二次方程在几何图形上的应用，往往要借助一些几何知识，如面积公式、勾股定理、相似三角形等相关知识；（2）观察图形，根据等量关系，列出方程是这类问题的关键.第15页/共22页第十五页，共23页。典型问题类型七：银行问题解：解：设第一次存款时的年利率为x，［100（1＋x）－50］（1＋0.5x）＝63．整理，得50x2＋125x－13＝0．解得x1＝0.1，x2＝－13/5．∵x2<0不合题意，∴x＝0.1＝10％．答：第一次存款时的年利率为10％

王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率

例7第16页/共22页第十六页，共23页。典型问题类型八：图表信息问题

某开发区为改善居民的住房条件,每年都新建一批住房,人均住房面积逐年增加(人均住房面积＝，单位：平方米/人)．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：例7（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米?_____年比上一年增加的住房面积多，多增加______万平方米．（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？(1)1999，7．4(2)10％第17页/共22页第十七页，共23页。典型问题类型九：工程行程问题A、B两地相距82km，甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?

例9

某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元；如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元．在规定时间内：A．请甲队单独完成此项工程出．B请乙队单独完成此项工程；C．请甲、乙两队合作完成此项工程．以上三种方案哪一种花钱最少？变式第18页/共22页第十八页，共23页。典型问题类型十：数学问题解：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)．∴［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3．当x＝2时，5－x＝5－2＝3；当x＝3时，5－x＝5－3＝2．答：原来的两位数是32或23．

一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．例10第19页/共22页第十九页，共23页。提高应用