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文档简介

用一元二次方程解决问题实际问题数学问题数学模型(一元二次方程)检验类型思路(1)传播问题(2)单双循环问题(3)增长率问题;(4)面积(体积)问题;(5)商品销售问题(6)运动问题;(7)银行问题(8)数学问题(9)图标信息类问题(10)工程行程问题……(1)审(2)设(3)列(4)解(5)验(6)答步骤第1页/共22页第一页,共23页。典型问题类型一:传播问题解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人可传染人数共传染人数第0轮1(传染源)1第1轮xx+1第2轮x(x+1)1+x+x(x+1)

列方程1+x+x(x+1)=121

解方程,得X1=10,X2=-12X2=-12不符合题意,所以原方程的解是x=10答:每轮传染中平均一个人传染了10个人。

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?

例1第2页/共22页第二页,共23页。典型问题类型二:单双循环问题解:设有x队参加比赛.

x(x-1)=90,

(x-10)(x+9)=0,

解得x=10,x=-9(不合题意,舍去).

答:共有10支球队参加比赛.

参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛90场,共有多少个队参加比赛?例2

参加一次足球联赛的每两队之间都只进行一次比赛,共比赛90场,共有多少个队参加比赛?变式1

一个正八边形,它有多少条对角线?

变式2第3页/共22页第三页,共23页。典型问题类型三:增长率问题解:设每年经营总收入的年增长率为a.600÷40%×(1+a)2=2160解方程,a1=0.2a2=-2.2,(不符合题意,舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2则2001年预计经营总收入为:600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答:2001年预计经营总收入为1800万元.

某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元?例3第4页/共22页第四页,共23页。典型问题类型三:增长率问题解:设每年经营总收入的年增长率为a.600÷40%×(1+a)2=2160解方程,a1=0.2a2=-2.2,(不符合题意,舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2则2001年预计经营总收入为:600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答:2001年预计经营总收入为1800万元.

某电脑公司2000年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元,且计划从2000年到2002年,每年经营总收入的年增长率相同,问2001年预计经营总收入为多少万元?变式第5页/共22页第五页,共23页。解:设第一次倒出酒精x升,依题意得答:第一次倒出酒精10升.20升的纯酒精,倒出一部分后注满水,第二次倒出与前次同量的混合液,再注满水,此时容器内还剩下5升纯酒精,求第一次倒出酒精的数量.变式典型问题类型三:增长率问题第6页/共22页第六页,共23页。点评检验是列方程解应用题不可缺少的步骤,既要检验是否为所列方程的根,又要检验数学问题的解是否符合题意.如本题中所求的x2是方程的解,但不合题意,同时也不能认为增长率就是正数.点评:基数a、降价后总量b、降价的百分数x之间的关系

b=a(1-x)

第7页/共22页第七页,共23页。类型四:面积问题

用7m长的铝合金做成透光面积(矩形ABCD的面积)为2m2的“日”型窗框(AB>BC),求窗框的宽度?(铝合金的宽度忽略不计)例4ADCBEF分析:本题的关键是用设出的未知数表示出宽度与高度,再根据面积为2m2,列出方程.解:设窗框的宽度BC=xm,则高度AB=根据题意得:解得:检验:答:窗框的宽度为1m.点评:(1)解题步骤;(2)不可忽略题中的限制条件.典型问题第8页/共22页第八页,共23页。ACBD要求:只需要列出方程.变式练习1变式1:用7m长的铝合金改做做成透光面积为2m2的如左图所示形状的窗框,若窗框的宽(BC)的长为xm,求x的值.(铝合金的宽度忽略不计,π≈3)点拨:半圆的弧长=πx≈1.5xAB=(7-3.5x)÷2变式练习第9页/共22页第九页,共23页。40m30mACBD变式2:在长为40m,宽为30m的矩形绿地内铺设三条宽度相等的甬道,使其中两条与AB平行,一条与BC边平行,使得绿化面积为750m2,求这条人行道的宽度?点拨:设甬道的宽度为xm。方法1:40x+2×30x-2x2=40×30-750方法2:(40-2x)(30-x)=750解得:x1=5,x2=45(不合题意,舍去)答:这条人行道的宽度为5m.第10页/共22页第十页,共23页。类型五:经济问题

某商场销售一批衬衫,每件成本为50元,如果按每件60元出售,可销售800件;如果每件提价5元出售,其销售量就减少100件.如果商场销售这批衬衫要获利润12000元,又使顾客获得更多的优惠,那么这种衬衫售价应定为多少元?例5分析单件利润(元)数量(件)总利润(元)提价前提价后设这种衬衫售价应定为x元.单位化每件提价1元,其销售量就减少20件10x-50120008000800800-20(x-60)典型问题第11页/共22页第十一页,共23页。解:设这种衬衫的售价为x元.根据题意,得(x-50)[800-20(x-60)]=12000(x-70)(x-80)=0x1=70,x2=80经检验x1=70,x2=80是方程的解,因为使顾客获得更多的优惠,所以x2=80不符合题意,应舍去.答:这种衬衫的定价应定为70元.点评:1.解决此类问题的关键是将相关条件单位化;2.要理解问题中隐含条件,对所求问题的解进行适当的取舍.第12页/共22页第十二页,共23页。变式:某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?变式练习3点拨每台利润(元)数量(台)总利润(元)降价前降价后设每台冰箱应降价x元.400400-x480032008x1=200,x2=100(不合题意,舍去)变式练习第13页/共22页第十三页,共23页。典型例题三:

应用类(运动问题)类型六:运动问题

如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;点Q以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q之间的距离是10cm?例6ABCPDQBCAPDQEEPE=16-3x-2xPE=3x+2x-16典型问题第14页/共22页第十四页,共23页。解:经过xs后,P、Q两点之间的距离是10cm.根据题意,得:(16-2x-3x)2+62=102解得x1=1.6,x2=4.8.经检验x1=1.6,x2=4.8都是方程的根且符合题意.答:经过1.6s或4.8s后,P、Q两点之间距离为10cm.点评:(1)较为复杂的一元二次方程在几何图形上的应用,往往要借助一些几何知识,如面积公式、勾股定理、相似三角形等相关知识;(2)观察图形,根据等量关系,列出方程是这类问题的关键.第15页/共22页第十五页,共23页。典型问题类型七:银行问题解:解:设第一次存款时的年利率为x,[100(1+x)-50](1+0.5x)=63.整理,得50x2+125x-13=0.解得x1=0.1,x2=-13/5.∵x2<0不合题意,∴x=0.1=10%.答:第一次存款时的年利率为10%

王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的50元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半,这样到期后可得本金利息共63元,求第一次存款时的年利率

例7第16页/共22页第十六页,共23页。典型问题类型八:图表信息问题

某开发区为改善居民的住房条件,每年都新建一批住房,人均住房面积逐年增加(人均住房面积=,单位:平方米/人).该开发区1997年至1999年,每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图,请根据两图中所提供的信息解答下面的问题:例7(1)该区1998年和1999年两年中,哪一年比上一年增加的住房面积多?多增加多少万平方米?_____年比上一年增加的住房面积多,多增加______万平方米.(2)由于经济的发展,预计到2001年底,该区人口总数将比1999年年底增加2万,为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人,试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几?(1)1999,7.4(2)10%第17页/共22页第十七页,共23页。典型问题类型九:工程行程问题A、B两地相距82km,甲骑车由A向B驶去,9分钟后,乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去,两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?

例9

某公司需在一个月(31天)内完成新建办公楼的装修工程.如果由甲、乙两个工程队合做,12天可完成;如果由甲、乙两队单独做,甲队比乙队少用10天完成.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数.(2)如果请甲工程队施工,公司每日需付费用2000元;如果请乙队施工,公司每日需付费用1400元.在规定时间内:A.请甲队单独完成此项工程出.B请乙队单独完成此项工程;C.请甲、乙两队合作完成此项工程.以上三种方案哪一种花钱最少?变式第18页/共22页第十八页,共23页。典型问题类型十:数学问题解:设原来两位数个位上的数字为x,则十位上的数字为(5-x).∴[10(5-x)+x][10x+(5-x)]=736.整理,得x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时,5-x=5-2=3;当x=3时,5-x=5-3=2.答:原来的两位数是32或23.

一个两位数,十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736,求原来两位数.例10第19页/共22页第十九页,共23页。提高应用

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