用向量方法解决平行问题

第1页/共39页第一页，共40页。第2页/共39页第二页，共40页。第一课时用向量方法解决平行问题第3页/共39页第三页，共40页。第4页/共39页第四页，共40页。[读教材·填要点]1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线

的向量．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的

，则a叫做平面α的法向量．平行或共线方向向量a第5页/共39页第五页，共40页。3．空间中平行关系的向量表示线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔

．线面平行设平面α外的直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔

．面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔

.a∥ba⊥uu∥v第6页/共39页第六页，共40页。[小问题·大思维]1．直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，直线的方向向量之间的关系是怎样的？平面的法向量之间的关系是怎样的？提示：直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的，直线的不同方向向量是共线向量，平面的不同法向量是共线向量．2．若直线l的方向向量为u，平面α的一个法向量为v，且u⊥v，那么l与α平行吗？提示：不一定，也可能l在α内.第7页/共39页第七页，共40页。第8页/共39页第八页，共40页。第9页/共39页第九页，共40页。[研一题][例1]根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：

(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；

(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；

(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)；

(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．第10页/共39页第十页，共40页。[自主解答]

(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2.(2)∵u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)，∴v＝－3u，∴v∥u，即α∥β.第11页/共39页第十一页，共40页。(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)，∴a·u≠0且a≠ku(k∈R)，∴a与u既不共线也不垂直，即l与α相交但不垂直．(4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，∴a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，即l⊂α或l∥α.第12页/共39页第十二页，共40页。[悟一法]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．

2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．

3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．第13页/共39页第十三页，共40页。[通一类]1．根据下列条件，判断相应的线线、线面、面面的位置关系．(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，0，－1)，b＝(－3，0，3)；(2)直线l的方向向量为a＝(1，2，－1)，平面α的法向量是u＝(－2，1，0)；(3)两平面α，β的法向量分别为u＝(1，1，3)，v＝(1，2，0)．第14页/共39页第十四页，共40页。解：(1)∵b＝－3(1，0，－1)＝－3a，∴l1∥l2.(2)∵a·u＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥u，∴l⊂α或l∥α.(3)∵u·v＝1＋2＝3≠0，又u≠kv，∴u与v既不共线也不垂直，∴两平面相交但不垂直.第15页/共39页第十五页，共40页。第16页/共39页第十六页，共40页。[研一题]第17页/共39页第十七页，共40页。利用待定系数法求平面法向量的解题步骤：[悟一法]第18页/共39页第十八页，共40页。[通一类]第19页/共39页第十九页，共40页。第20页/共39页第二十页，共40页。第21页/共39页第二十一页，共40页。[例3]

已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[研一题]第22页/共39页第二十二页，共40页。第23页/共39页第二十三页，共40页。第24页/共39页第二十四页，共40页。第25页/共39页第二十五页，共40页。[悟一法]1．用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内；三是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．

2．利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．第26页/共39页第二十六页，共40页。[通一类]3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，DA＝2，DC＝3，DD1＝4，M、N、E、F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点．求证：平面AMN∥平面EFBD.证明：法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，3，0)，M(1，0，4)，N(2，，4)，E(0，，4)，F(1，3，4)．第27页/共39页第二十七页，共40页。第28页/共39页第二十八页，共40页。第29页/共39页第二十九页，共40页。第30页/共39页第三十页，共40页。第31页/共39页第三十一页，共40页。已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M分别是BC、AE的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.试问在线段CD1上是否存在一点N使

∥平面ADD1A1，若存在确定N的位置，若不存在说明理由．

[巧思]

可假设N存在，根据N在CD1上设出N的坐标，从而可求得向量

的坐标，由MN∥平面ADD1A1得

垂直于该平面的法向量，建立等式，判断是否有解．第32页/共39页第三十二页，共40页。第33页/共39页第三十三页，共40页。第34页/共39页第三十四页，共40页。第35页/共39页第三十五页，共40页。第36页/共39页第三十六页，共40页。点此进入第37页/共39页第三十七页，共40页。点此进入第38页/共39页