直线与圆锥曲线理

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线

；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线

；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线

.知识梳理相交相切相离第1页/共31页第一页，共31页。(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点.①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是

；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是

.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则______________平行平行或重合第2页/共31页第二页，共31页。第3页/共31页第三页，共31页。过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.4.常用结论第4页/共31页第四页，共31页。(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.第5页/共31页第五页，共31页。将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1

(2016·无锡模拟)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：

.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；第6页/共31页第六页，共31页。(2)有且只有一个公共点；当Δ＝0，即m＝

时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.第7页/共31页第七页，共31页。(3)没有公共点.当Δ<0，即m<或m>时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.第8页/共31页第八页，共31页。(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.思维升华第9页/共31页第九页，共31页。题型二弦长问题例2

(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：

的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当AM＝AN时，求△AMN的面积.第10页/共31页第十页，共31页。又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.第11页/共31页第十一页，共31页。设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k>0)，第12页/共31页第十二页，共31页。即4k3－6k2＋3k－8＝0，设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，第13页/共31页第十三页，共31页。有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，

应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.思维升华第14页/共31页第十四页，共31页。(1)求椭圆C1的方程；第15页/共31页第十五页，共31页。由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0，0)，第16页/共31页第十六页，共31页。所以PD＝PE.第17页/共31页第十七页，共31页。题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3

(1)已知椭圆E：

(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为___________.第18页/共31页第十八页，共31页。因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，第19页/共31页第十九页，共31页。(2)已知(4,2)是直线l被椭圆

所截得的线段的中点，则l的方程是_____________.x＋2y－8＝0第20页/共31页第二十页，共31页。设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，即x＋2y－8＝0.第21页/共31页第二十一页，共31页。命题点2由中点弦解决对称问题例4

(2015·浙江)已知椭圆

＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋

对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).第22页/共31页第二十二页，共31页。由题意知m≠0，可设直线AB的方程为第23页/共31页第二十三页，共31页。第24页/共31页第二十四页，共31页。(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).第25页/共31页第二十五页，共31页。设△AOB的面积为S(t)，(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).第26页/共31页第二十六页，共31页。处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，

三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用.思维升华第27页/共31页第二十七页，共31页。跟踪训练3设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y).再根据抛物线的定义得AF＝2，即(2x)2＋y2＝4，第28页/共31页第二十八页，共31页。(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－

平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围.两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，第29页/共31页第二十九页，共31