研究生数值分析

的求积系数为

那么插值型求积公式第1页/共46页第一页，共47页。则

于是得相应的插值型数值积分公式这就是一般的牛顿—科茨公式，称为科茨系数。

④若记

③其中第2页/共46页第二页，共47页。从科茨系数公式③可以看出，科茨系数的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了积分区间的等分数n，就能算出例如，当n=1时，有相应的牛顿—科茨公式为

这就是前面提到的梯形公式。⑤第3页/共46页第三页，共47页。当n=2时，有相应的牛顿-科茨公式为辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的抛物线代替y=f(x)所得曲边梯形的面积。

⑥这个公式称为辛普森（Simpson）公式。第4页/共46页第四页，共47页。如图所示为了便于应用，我们把部分科茨系数列在下表中。利用这张科茨系数表，可以很快写出各种牛顿—科茨公式。

第5页/共46页第五页，共47页。n123456第6页/共46页第六页，共47页。例如，当n=4时，有其中

下面，我们给出梯形公式，辛普森公式和科茨公式的截断误差（余项）和它们的代数精度的几个结论。⑦这个公式称为科茨（Cotes）公式。第7页/共46页第七页，共47页。定理3

若在[a,b]上连续，则梯形公式⑤若在[a,b]上连续，则辛普森公式⑥若在[a,b]上连续，则科茨公式⑦的余项为的余项为的余项为第8页/共46页第八页，共47页。证

1、因在[a,b]上连续，由Newton-Cotes求积公式的截断误差且n=1，h=b-a

得到梯形公式的截断误差其中。请推到此式第9页/共46页第九页，共47页。故根据积分中值定理，必存在使得下式成立其中。上连续。在上连续以及t(t-1)在区间(0,1)内不变号，在设由于第10页/共46页第十页，共47页。的截断误差为可以看出，梯形公式具有一次代数精度。因此，梯形公式第11页/共46页第十一页，共47页。辛普森公式截断误差为可以看出，辛普森公式具有三次代数精度。第12页/共46页第十二页，共47页。科茨公式截断误差为可以看出，科茨公式具有五次代数精度。第13页/共46页第十三页，共47页。定理4

梯形公式⑤的代数精度为1；辛普森公式⑥的代数精度为3；科茨公式⑦的代数精度为5。第14页/共46页第十四页，共47页。梯形公式

辛普森公式科茨公式

其中在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。

第15页/共46页第十五页，共47页。例3

试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分的近似值，并估计截断误差。解：用梯形公式计算，得第16页/共46页第十六页，共47页。截断误差估计为用Simpson公式计算，得第17页/共46页第十七页，共47页。截断误差估计为§4Newton-Cotes求积公式的收敛性与数值稳定性记其中是Newton-Cotes求积系数第18页/共46页第十八页，共47页。今考察是否对任何在[a,b]上可积的函数f(x)都有这是Newton-Cotes求积公式的收敛问题。先看一个例子，此时有第19页/共46页第十九页，共47页。In(f)的一些计算结果如表nIn(f)2468105.49022.27763.32881.94113.5956从表可以看出，当n→∞时，In(f)不收敛于I(f)。这说明，Newton-Cotes求积公式并不是对所有在[a，b]上可积的函数都收敛。多节点的Newton-Cotes求积公式的数值稳定性是没有保证的。第20页/共46页第二十页，共47页。

为了提高计算结果的精度，常常采用复合求积的方法。

复合求积，就是先将积分区间[a,b]分成几个小区间然后在每个小区间上计算积分§4复化求积公式第21页/共46页第二十一页，共47页。的近似值。用此方法得到的数值积分公式，统称为复合求积公式。的近似值并取它们的和作为整个区间[a，b]上的积分其中上应用梯形公式称为步长比如，在小区间第22页/共46页第二十二页，共47页。

的近似值于是得积分若将近似值记作，并注意到和第23页/共46页第二十三页，共47页。则由上式可得复合求积公式

用类似方法可以导出复合辛普森公式该公式称为复合梯形公式。第24页/共46页第二十四页，共47页。和复合科茨公式其中

下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森公式和复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。第25页/共46页第二十五页，共47页。定理5

若在积分区间[a，b]上连续，若则复合辛普森公式的余项为

则复合梯形公式的余项为在积分区间[a，b]上连续，第26页/共46页第二十六页，共47页。若则复合科茨公式的余项为在积分区间[a，b]上连续，证明略第27页/共46页第二十七页，共47页。例2

对于利用数据表计算积分01/81/43/81/25/83/47/814.000000003.938461543.764705883.506749323.200000002.876404492.560000002.265486732.00000000第28页/共46页第二十八页，共47页。解：这个问题有明显的答案将积分区间[0，1]划分为8等分，取n=8应用复合梯形公式现在用复合求积公式进行计算。第29页/共46页第二十九页，共47页。求得如果将积分区间[0,1]划分为4等分，取n=4应用复合辛普森公式第30页/共46页第三十页，共47页。求得比较与点的函数值，工作量基本相同，然而精度却差别只有2位有效数字，有7位有效数字。的结果，它们都需要提供9个很大，第31页/共46页第三十一页，共47页。例3

利用复合辛普森公式计算积分的近似值，使截断误差不超过并用同样点按复合梯形公式和复合科茨公式重新计算近似值。第32页/共46页第三十二页，共47页。解：首先应根据精度的要求，确定区间[0，1]的等分数n由于

故

第33页/共46页第三十三页，共47页。根据复合辛普森公式的余项表达式为满足精度要求，需n满足第34页/共46页第三十四页，共47页。这只需即n≥4，取n=4可得第35页/共46页第三十五页，共47页。对同样9个点上函数值（见下表）01.00000005/80.93615561/80.99739783/40.90885161/40.98961587/80.87719253/80.976726710.84147091/20.9588510第36页/共46页第三十六页，共47页。若用复合梯形公式计算，所得近似值为若用复合科茨公式计算，所得近似值为第37页/共46页第三十七页，共47页。

三种方法计算工作量相同（都需计算9个点的函数值），但所得结果与积分准确值0.9460831…相比较，复合辛普森公式具有精度高，计算较简便等优点，因此得到较广泛应用。解：设所以由例4利用复合辛普森公式计算第38页/共46页第三十八页，共47页。000.750.164383560.1250.0311280.8750.1836065570.250.06153810.20.3750.0905660.50.1176470.6250.14234875于是

9个点上的函数值如下表第39页/共46页第三十九页，共47页。例5

取9个点的函数值，用复合辛普森公式估计误差，并说明结果的有效数字。解：各求积节点和各求积节点的函数值如下表：计算积分近似值，第40页/共46页第四十页，共47页。013/80.97672766/80.90885171/80.99739794/80.95885117/80.87719262/80.98961585/80.936155610.8414710第41页/共46页第四十一页，共47页。为了估计误差,要求的高阶导数，故从而有由于第42页/共46页第四十二页，共47页。故复化辛普森公式的误差为由于结果有6位有效数字。第43页/共46页第四十三页，共47页。练习：取7个等距离节点（包括区间端点），用复合辛普森公式计算积分近似值，估计误差，并说明结果的有效数字。第44页/共46页第四十四页，共47页。其中

为了便于编制程序，在实际计算中常将辛普森公式改写成第45页/共46页第四十五页，共47页。谢谢您的观看！第46页/共46页第四十六页，共47页。内容总结的求