学习概率论与数理统计

第一 一维 量及其分布

五、连续型 连续型 量及其密度函定义对于 量X，若存在非负可积函f(x)(xR),使得X的分布函 xF(x)x

f(

yf(则称X为连续型 量,且f(x)为密度函数,或概率密度

注此定义中涉及三个名词:连续型随 密度函数

P{aXb}F(b)F(a)

bf(b设X为连续型 量,f(x)为X的密度函数F(x)为X的分布函数,

P{Xc}非负性

f(x)0,规范性

f(x)dx密度曲线f(x)x轴的上方,与x轴所形成的梯形的面积为

yf( 证前3个性质显然成立,下面只给出第4个 {Xc}{cXc}, 0P{Xc}P{cXlimP{cX

注1º性质4说明对于任意可能值c,连续型随变量取c的概率等于零2º若X为连续型 量，P{aXb}P{aXP{aXP{aX

f(x)d

连续型 量的概率与区间的开闭无 P(A) A= P{Xc}5

P(A) A=6分布函数F(x)在(,)若fx)在点x处连续，则Fxf注对连续性 量F(x)一定是连续的，但

例1设随 量X具有概率密 0x3, 2f(x)2 3x2fx未必连续，在fx的连续点处，有Fx)fx)

确定常数

其它7f(x)limF(xx)F(x)limP{xXx

求P{1X 2 称f(x)为密度函数的由

(1)由f(x)dx78P{xXxx}f(78 0dx kxdx(2 )dx 0dx

x

0x 1

(2)Fx)fxdx

,3x解之得k 6(2)k1X的概率密度

x

其它 xxd

0x

0x

0F(x) 3 x 06dx3(2 )d

3xf(x)2 3x

其它9

x

x

例2设连续型 量X的分布函数 即Fx

0x

xx32x

3x

F(x)AB

ax

x

求 (1)系数A,B的值

xP{1X7}F(7)F(1)41 7/

3

x

P{aX

f(x)dx

dx2(2

量X的概率密度 1 解(1)因为X是连续型 量,所以F(x)连续故有F(alimFxF(a)limF(x)

解之得A12

B1

xA aAB

所以Fx)

ax Barcsina

ABarcsinaAB

xa2 a2 P{aXa}F(a) 11arcsin(a) 11π2 量X的概率密度f(x)F(x)1 a2x2,ax

其它 六、典型的连续型 量的分均匀分布（规则分布）Uniform定义设连续型 量X具有概率密度

分布函数为xaF(x)ba

xaxx

F(1f(x)ba

ax其它

均匀分布的性如果X~U[a,b],

则称X在区间[ab]上服从均匀分布

b

f(

1P{Xa}P{Xb}记为X~ 概率密函数图

2当acdb时，有P{cXddcb 背景：背景：几何均匀分布的意在区间[ab]上服从均匀分布的随机变量X落在区间[ab]中任意等长度的子区间内的可能性lpbl

l1box ox 例4设 量X在[2,5]上服从均匀分布,现

由于PAPX

51dx2X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值于3的概率

3 ,3的次数X的分布密度函1,2xf(

Y~B(3

230,其它

因而

P{Y

C2()2(1 )C3()3(1 )0 A表示“对X的观测值大于AX>3

3 3

正态分布 分布)Normal

正态分布的历定

若 量X的密度函数

的数学家和天文学家莫弗（DeMoivre）于1733f(x) 2πσ

(xμ2σ

,x

出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学 大，他使正态分布同时有了 分布”的名称，后世之其中0,与为常数，则称X服从正态分布X~N(,2

是一个伟大的数学家，重要的贡献不胜枚举。现今德10的钞票上印有头像，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种观点：在的一切科学贡献中，其对正态 正态分布的应正态分布的应用非常广泛,例如测量

正态概率密度y曲线关于xμ对称 差,随机噪声,学生成绩,产品的尺寸等大量

当xμ时,fx)

2πyf(随机现象可以用正态分布描述

最大

2x时,fx即曲x轴为渐近线曲线在xμσ处有拐点

Oμ μσx= 当固定σ,改变μ的大小时,fx图形的形

正态分布的分布

(tμ不变,只是沿着x轴作平移变换当固定μ,改变σ的大小时 2πf(x)图形的对称轴不变 2π

yf(

F(x)

x 2σ d而形状在改变. σ越小,图形越高越瘦，σ越大，

x= 正态分布下的概率1

(tμx

原函数初等

标准正态分设X~N(,20，1时X服从标准正态分布，记为X~N(0,1),相应的密度函数记为x),2P{Xx}F(x)

2πσ

2σ2d

(x)

x方法一:软件包计算(演示方法一:软件包计算(演示t方法二:转化为标方法二:转化为标准正态分布查

xe22π 标准正态分布的

标准正态分布的特殊性质 x)为偶函数 (x)1(xx(0) x (x)dx

2dx 可

2dx 证 (x)1(

例5若X~N(0,1),求P{1X证明(x)

2dx x

P{1X2}F(2)F1

2dx1

2dx1e2d

(2)

1(

P{1X2}0.97730.8413 正态分布与标准正态分布的关X~N(,2),YX那么Y~N下面我们给出简单的说由Y的表达Y的分布函数FYyP{YyPXy}

例6设X~N(,2),P{aXb}(b)(a 解P{aXbP{aXb} (b)(aP{Xy}

(u 令tu,

t

本例给出了当 量X服从正态分时,如果我们要计算关于它的概率问题,FY(y) 2πexp{2所以Y~N

以转化为标准正态分布进行计算例7若X~N(,2),求P{3X3解由YX~N(0,1)P{3X3}P{3XP{3Y3}(3)(3)0.99865,P{3X3}2(3)20.998651由本例可以看出，如果X~N(,2),则X的值落在(33)之外的概0.0027，这就 指数分布Exponential定义设连续型 量X的概率密度ex xf(x) x其中0为常数,则称X服从参数为的指数分布,记作X~Exp().相应的分布函1ex,xF(x) x

指数分布也是常用分布之一,常用述各种 ”问题,如电子元器件 ,生 指数分布应用广泛， 的工业标准 指数分布具有“ 性”的特点.即对任意的s0,t0,X~Exp(),P{Xst|Xs}P{Xst}/P{Xe(st)/es因P{Xst|Xs}P{X

例8设某类日光灯管的使 X服从参数=1/2000的指数分布(单位:小时任取一只这种灯管求能正常使用1000小时以有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以 X的分布函数F(x)1

1 xx P{X1000}1P{X

1P{X1F

1

1P{XF(x)1e2000 e2P{X2000XP{X2000,XP{X

xx

1F(2000)1Fe2

1F(x)1e

xxP{XP{X

指数分布的重要性质:“ 性 ”,是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的 际情况是完全的，它违背了产品损伤累积和

内容小x连续型 量F(x)fxFx)为分布函数，fx)为概率密度函数常见连续型 量的分均匀分正态分布 分布 例1-1设连续型 量X的分布函数为F(x)ABarctan x求(1)常系数A及 量X落在(1,1)内的概率 量X的分布密度 (1)F()AπB

P{1X1}F(10)F(11π)(11 2f(x)F(x)1 2F()AπB2解之得A1 Bπ

1x例1-22xex2 x2

若是X的密度函数,求出X的分布函数求P{0Xf1(x)

x

(a

1cos 0x

x2f(x)

其他

f(x)dx 0dx

xe2adxe2 a0a cos πxπ 所以f1x)为 3f(x) 3 其他

因为当xπ]时,f2x

1cosx0,

f2x)上面f(x),f(x),f(x)是否为 量X 密度函数

是X的密度函数.

2x2x

2 22f3(x)dx 0dxcosxdx2

F(x)0dx

dte 1e22

π

综上

0 x sinx2π2

F(x)

2a

x所以f3x)不是X的密度函数由(1)知f1x)为X的分布密度,其分布函x

求P{0X1}时可以使用分布函数Fx),也可以使用密度函数f1x).则 Fx)f1(t)dt,

P{0X1}F(1)F(0)1e2a01e2x0时,f1x0,所以Fx)

11x01

P{0X1}

x e2adxee

1

1a0a0 例

设 量X的概率密度

2‐1k在(0,5)上服从均匀分布，求方ke3xf(x)

x

4x24kxk2 x

有实根的概率试确定常k并求PX

解当16k216(k2)0时即k2(k2)(k2)(k10时 由 f(x)dx1 ke3xdx 所以k

亦即k2k1时,有实根则有实根的概P{X0.1} 3e3xdx

p 51dx32 某地抽 结果表明，考生的外语成(百分制),服从正态分布，平均成绩为72分96分以上占考生总数的2.3%,试求考生的外

又 P{X96}Φ(96Φ(9672)Φ(24)成绩在60分至84分之间的概率 依题意，考生外语成绩X~N(,272

Φ(24)查表，知Φ(2)

24P{X96}于是PX96}1PX10.023

Φx)的单调增加性，得 因 X~N(72,122 P{60X

例5‐2(讲)设X的密度函Φ(8472)Φ(6072

f(x)

1e(x4x4)61

xΦ(1)

Φ(1)[1

2Φ(1)

(2)使 f(x)dx

fx)dx的C查表，

解

e(x24x4)6

e(x2)2Φ(1) P{60X84}20.8411

所以，X~N(2,3).P{1X3}321223 3 3 3 2(0.577310.438(查表

例 公共汽车车门的高度是按成年男子与门C碰头的概率不大于0.01设计的,设成年男子身高(C

f(x)dx

fx)dx,则C为概率分

位：厘米）X~N(170,62),试确定车门应设计的最的对称点.由正态分布的性态知Cμ2为所求

解设车门高度为h，则应有P{XhP{Xh}1P{Xh}1Φh1706即Φh1700.99,查表知h1702.33,于 h1702.336所以,车门最低高度应为184厘米 例 从甲地飞往乙地的航班,每天上午10:10飞飞