2020-2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示含解析新人教A版选修2-1

PAGE6-课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示[基础巩固]一、选择题1．设命题p：a，b，c是三个非零向量，命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若O，A，B，C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则()A.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线B.eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))共线C.eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共线D．O，A，B，C四点共面3．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(A1C,\s\up6(→))相等的向量是()A．－a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b＋cD．a＋b－c4．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OO′,\s\up6(→))＝b，D是四边行OABC的对角线的交点，则()A.eq\o(O′D,\s\up6(→))＝－a＋b＋cB.eq\o(O′D,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)cC.eq\o(O′D,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)cD.eq\o(O′D,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c5．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))二、填空题6．若向量a，b，c为空间向量的正交基底，则向量a，b，c的位置关系是________．7．若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________________________．8．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上的一点，BE＝3ED，以{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))}为基底，则eq\o(GE,\s\up6(→))＝________________.三、解答题9．若{a，b，c}是空间一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．10．如图，在空间直角坐标系中，有长方体OABC－O′A′B′C′，且OA＝6，OC＝8，OO′＝5.(1)写出点B′的坐标，给出eq\o(OB′,\s\up6(→))关于i，j，k的分解式；(2)求eq\o(OC′,\s\up6(→))的坐标．[能力提升]11．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且MG＝3GN，用向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))，则()A.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,8)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(7,8)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(3,8)eq\o(OC,\s\up6(→))12．如图在平行六面体ABCD－A1B1C1D中，M为AC和BD的交点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(B1M,\s\up6(→))＝________.13．如图所示，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F(1)化简eq\o(A1F1,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(FF1,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(F1A1,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(E1F1,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E1,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果的向量．14．在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求eq\o(DO,\s\up6(→))，eq\o(A1B,\s\up6(→))的坐标．课时作业17空间向量的正交分解及其坐标表示1．解析：当三个非零向量a，b，c共面时，a，b，c不能构成空间的一个基底；当{a，b，c}为空间的一个基底时，必有a，b，c都是非零向量．故命题p是命题q的必要不充分条件．答案：B2．解析：由eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OC,\s\up14(→))不能构成基底，知eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))，eq\o(OC,\s\up14(→))三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．答案：D3．解析：eq\o(A1C,\s\up14(→))＝eq\o(A1C1,\s\up14(→))＋eq\o(C1C,\s\up14(→))＝eq\o(A1B1,\s\up14(→))＋eq\o(A1D1,\s\up14(→))＋eq\o(C1C,\s\up14(→))＝eq\o(A1B1,\s\up14(→))＋eq\o(A1D1,\s\up14(→))－eq\o(AA1,\s\up14(→))＝a＋b－c.故选D.答案：D4．解析：eq\o(O′D,\s\up14(→))＝eq\o(O′O,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))＝－eq\o(OO′,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OO′,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)a－b＋eq\f(1,2)c.故选D.答案：D5．解析：如图，由已知eq\o(OG,\s\up14(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up14(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AG1,\s\up14(→)))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up14(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up14(→))＋\o(AC,\s\up14(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)[(eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→)))＋(eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→)))]＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up14(→))，从而x＝y＝z＝eq\f(1,4).故选A.答案：A6．解析：由正交基底的定义知，只有当向量a，b，c两两垂直时，才能成为空间向量的正交基底，故向量a，b，c的位置关系是两两垂直．答案：两两垂直7．解析：由向量的单位正交基底表示已知向量a的坐标为(2，－1,3)．答案：(2，－1,3)8．解析：设AC的中点为F，则eq\o(GE,\s\up14(→))＝eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FB,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up14(→))＝－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→)))＋eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up14(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up14(→))－2eq\o(AB,\s\up14(→)))＋eq\f(3,4)(eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→)).答案：－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\f(1,12)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up14(→))9．解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.因为{a，b，c}为基底，所以a，b，c不共面．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ，))此方程组无解．所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．10．解析：(1)因为OA＝6，OC＝8，OO′＝5，所以点B′的坐标为(6,8,5)，从而eq\o(OB′,\s\up14(→))＝(6,8,5)＝6i＋8j＋5k.(2)因为点C′的坐标是(0,8,5)，所以eq\o(OC′,\s\up14(→))＝(0,8,5)．11．解析：由题意得eq\o(OG,\s\up14(→))＝eq\o(OM,\s\up14(→))＋eq\o(MG,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)eq\o(MN,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(ON,\s\up14(→))－eq\o(OM,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(3,4)(eq\f(\o(OB,\s\up14(→))＋\o(OC,\s\up14(→)),2)－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up14(→)))＝eq\f(1,8)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(3,8)eq\o(OB,\s\up14(→))＋eq\f(3,8)eq\o(OC,\s\up14(→)).答案：D12．解析：eq\o(B1M,\s\up14(→))＝eq\o(AM,\s\up14(→))－eq\o(AB1,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋Aeq\o(D,\s\up14(→)))－(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AA1,\s\up14(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AA1,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c.答案：－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－c13．解析：(1)eq\o(A1F1,\s\up14(→))－eq\o(EF,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(FF1,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(F1A1,\s\up14(→))＝eq\o(AF,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BB1,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AE,\s\up14(→))＋eq\o(AB1,\s\up14(→))＋0＝eq\o(AE,\s\up14(→))＋eq\o(ED1,\s\up14(→))＝eq\o(AD1,\s\up14(→)).eq\o(AD1,\s\up14(→))在图中所示如下：(2)eq\o(DE,\s\up14(→))＋eq\o(E1F1,\s\up14(→))＋eq\o(FD,\s\up14(→))＋eq\o(BB1,\s\up14(→))＋eq\o(A1E1,\s\up14(→))＝eq\o(DE,\s\up14(→))＋eq\o(EF,\s\up14(→))＋eq\o(FD,\s\up14(→))＋eq\o(BB1,\s\up14(→))＋eq\o(B1D1,\s\up14(