2018版高中数学小问题集中营专题2.6正弦定理、余弦定理与不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14学必求其心得，业必贵于专精专题2。6正弦定理、余弦定理与不等式一、问题的提出正弦定理和余弦定理的应用除了解三角形外，还往往与基本不等式结合求面积范围、周长范围、角的范围以及求代数式的范围等，这些题目都是考生容易错解的地方，所以本节内容从这些难点内容出发，希望给学生带来启发。二、问题的探源1.基本不等式，，，，．2.正弦定理和余弦定理略三、问题的佐证一、面积的范围问题例1中,内角,，所对的边分别为，，，已知,且，则面积的最大值是__________．【答案】二、周长的范围问题例2在中，内角,,所对的边分别为，，，已知，．（1）当时，求的面积；（2）求周长的最大值;三、利用消元法确定三角形中的范围问题例3在锐角中,角的对边分别为，若，，则的取值范围是()A。B.C。D.【答案】B【解析】。故选B。点睛：解三角形问题的两重性：①作为三角形问题,它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换,只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．四、角或边的范围问题例4在中,,则的取值范围是（）A。B.C.D。解由于，根据正弦定理可知，故．又,则的范围为.故本题正确答案为C.例5。在中，，，在边上存在一点,满足，作,为垂足,若角,则的取值范围是__________．【答案】四、问题的解决一、单选题1．设向量满足，，,则的最大值等于（）A。4B。2C。D。1【答案】A2．已知锐角中，角的对边分别为，若，，则的面积的取值范围是（)A。B。C.D.【答案】C3．若锐角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围是（)A。B。C。D。【答案】C【解析】不妨设，则由三角形内角的度数成等差数列，得，又,，由，，知，解得,，，即的取值范围是，故选C.4．已知为的内心,，若，则的最大值为(）A。B.C.D。【答案】D5．已知是锐角三角形，若，则的取值范围是()A。B。C.D。【答案】A【解析】由题意得，在中，由正弦定理可得，又因为，所以，又因为锐角三角形,所以所以故选A．6．一个三角形具有以下性质：（1）三边组成一个公差为1的等差数列；（2）最大角是最小角的2倍。则该三角形的最大边长为（）A.6B.5C.4D。3【答案】A7．锐角中，角、、所对的边分别为、、，若,则的取值范围是(）A.B.C。D。【答案】B【解析】由正弦定理得，又故选B。点睛:本题主要考查正弦定理和正弦两角和差公式的应用．正弦定理和余弦定理在解三角形中应用比较多，这两个定理和其推论一定要熟练掌握并能够灵活运用,注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.8．在锐角中，，则的取值范围是()A.B。C.D。【答案】D【解析】由已知及余弦定理得，由此解得，选D。9．中,角的对边分别为,且满足，，，则的取值范围是A。B。C。D。【答案】B【解析】由,得因为,所以.又，得A为钝角.,由正弦定理，，,所以，选B.10．在锐角中，分别是角所对的边，的面积，且满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】在锐角△ABC中，∵a,b，c分别为角A，B，C所对的边,满足acosB=b（1+cosA)，∴sinAcosB=sinB+sinBcosA,sin（A−B)=sinB，∴A−B=B,即A=2B〈，∴B∈(0，）,∴A+B=3B>∴B〉∴〈B<，，故选A11．的内角，，所对的边分别为,，.已知，且,有下列结论：①;②；③，时,的面积为；④当时，为钝角三角线.其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）【答案】①②④【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形,要注意三角形内角和为来减少角的个数,及两边之和大于第三边,两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧。12．已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且．则使得sin2B+sin2C=msinBsinC成立的实数m的最大值是______．【答案】4【解析】∵sin2B+sin2C=msinBsinC∴b2+c2=bcm,∴,∵，∴，∴cosA=，∴m=2cosA+2sinA=4sin(A+），∴当sin(A+）=1即A=时，m取得最大值4．故答案为4．13．如图半圆的半径为1,为直径延长线上一点，且，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积最大值为___________.【答案】故答案为：．14．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的取值范围为__________．【答案】【解析】依题意，故，则,因为,所以，化简得，由于，故,因为，故，由已知及余弦定理得，即，可得，，即,当且仅当时，取等号，所以，故周长的取值范围为，故答案为。15．在中，角所对的