2023年分式知识点总结与分式方程的应用

知识点１、分式概念重点:掌握分式的概念和分式故意义的条件难点：分式故意义、分式值为0的条件分式的概念:形如，其中分母B中具有字母,分数是整式而不是分式.(1）分式无意义时,分母中的字母的取值使分母为零,即当B=０时分式无意义.(2)求分式的值为零时,必须在分式故意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式故意义，就是分式里的分母的值不为零.易错易混点(1）对分式的定义理解不准确；(2)不注意分式的值为零的条件；知识点2、分式的基本性质重点:对的理解分式的基本性质.难点:运用分式的基本性质,将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表达是:ＡB=，ＡB=．(其中M是不等于零的整式)分式中的A，B，M三个字母都表达整式,其中Ｂ必须具有字母,除A可等于零外，B,M都不能等于零.由于若B＝０,分式无意义；若Ｍ=0,那么不管乘或除以分式的分母,都将使分式无意义.分式的约分和通分（1)约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分．(２)分式约分的依据：分式的基本性质.(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式．求几个分式的最简公分母的环节：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2.各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母(或因式)的幂取指数最大的；4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积(其中系数都取正数）即为最简公分母。各个分式的分母都是多项式,并且可以分解因式。这时,可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再拟定各分式的最简公分母,最后通分。易错易混点分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂,注意系数也要约分。①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才可以依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的解决．分子或分母的系数是负数时,一般先把负号提到分式自身的前边．(3)约分时,分式的分子或分母中因式符号的变化容易犯错。知识点3、分式的运算重点:掌握分式的运算法则难点:纯熟进行分式的运算1.分式加减法法则(1)通分:把异分母的分式化为同分母分式的过程,叫做通分（2)同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减.(３)异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母分式后再加减．2．分式的化简分式的化简与分式的运算相同,化简的依据、过程和方法都与运算同样,分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保存最简分式或整式．3．分式的四则混合运算分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序同样，先乘方，再乘除,最后加减,有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分派律,再计算更简便些.分式混合运算法则口诀:分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算,除法符号须变（乘）：乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同．分母化积关键;找出最简公分母,通分不是很难;变号必须两处.结果规定最简．以开放题的形式出现的分式计算,字母的取值范围很广，在选取字母合适的值时．存在许多种选法，一般地，取易于计算的值,但要考虑分式的分母不为零.易错易混点(1)分式乘除法运算顺序容易错误；(２)把通分当成去分母、错用分派律;（3)结果没有化成最简分式或整式。知识点4、分式方程重点:掌握分式方程的解法与环节难点:解分式方程的思想转化以及验根分式方程是方程中的一种,且分母里具有字母的方程叫做分式方程。分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母：①最小公倍数②相同字母的最高次幂③只在一个分母中具有的照写），将分式方程化为整式方程;若碰到互为相反数时.不要忘了改变符号};②按解整式方程的环节（移项，若有括号应去括号,注意变号,合并同类项，系数化为1）求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根，由于在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围,也许产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，假如最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根,则原方程无解。解分式方程的基本思绪是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思绪和做法。解分式方程的基本思绪是：先拟定最简公分母,再通过去分母把分式方程转化成整式方程,从而求得其解.要注意的是解分式方程必须检查，若为增根,须舍去分式方程的无解,就是分式方程中未知数的取值使分母的值为０，导致分式无意义.分式方程无解，实质就是指相应整式方程的解是原分式方程的增根,其整式方程的解会使最简公分母的值为零．易错易混点（1)解分式方程不检查;(2）验根方法错误，将所求到的根只代入化为整式的方程中,而不是代入最简公分母或原方程的各个分母中；(3）认为增根也是原方程的根。知识点5、分式方程的应用重点:掌握解分式方程应用题的环节难点：审题弄清题目中的等量关系列分式方程与列整式方程解应用题同样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰本地设出未知数,列出方程.与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检查,一是检查是否是增根，二是检查是否符合题意．(１)行程问题：基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.(2)数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表达法.(3）工程问题基本公式:工作量=工时×工效．(4)顺水逆水问题、（5)计划任务应用性问题分式应用题一、营销类应用性问题例1某校办工厂将总价值为２０２3元的甲种原料与总价值为480０元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kｇ少3元，比乙种原料0.5kｇ多1元,问混合后的单价0.5ｋg是多少元？某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求,商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了４元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元,最后剩下的150件按八折销售,不久售完,在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。某商店甲种糖果的单价为每公斤2０元，乙种糖果的单价为每公斤１6元,为了促销,现将10公斤的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售,假如将混合后的糖果单价定为每公斤17。5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同,这包甲糖果有多少公斤？二、工程类应用性问题例2某工程由甲、乙两队合做6天完毕,厂家需付甲、乙两队共87０0元，乙、丙两队合做１0天完毕,厂家需付乙、丙两队共9５00元，甲、丙两队合做5天完毕所有工程的，厂家需付甲、丙两队共55０0元．⑴求甲、乙、丙各队单独完毕所有工程各需多少天?⑵若工期规定不超过15天完毕所有工程，问由哪个队单独完毕此项工程花钱最少?请说明理由.一批货品准备运往某地,有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货品量不变，且甲、乙两车单独运这批货品分别运２ａ次、a次能运完;若甲、丙两车合运相同次数运完这批货品时,甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货品时,乙车共运了270t．问：⑴乙车每次所运货品量是甲车每次所运货品量的几倍;⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货品运完时，货主应付车主运费各多少元?(按每运1t付运费２０元计算)一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天?三、行程中的应用性问题例３甲、乙两地相距８28km,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的１.５倍．直达快车比普通快车晚出发2ｈ，比普通快车早４h到达乙地，求两车的平均速度.如图,小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为3km,王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按照到校，王老师天天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,天天比平时步行上班多用了20min,问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少?从甲地到乙地有两条公路:一条是全长6０0Km的普通公路,另一条是全长４80Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快４5Ｋm,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。从甲地到乙地的路程是15千米,A骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后，B骑自行车从甲地出发,结果同时到达。已知B的速度是Ａ的速度的3倍，求两车的速度。四、轮船顺逆水应用问题例4轮船在顺水中航行3０千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等,已知水流速度为2千米/时,求船在静水中的速度？某人沿一条河顺流游泳ｌ米,然后逆流游回出发点,设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。（1）小芳在一条水流速度是０．01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是０.3９m／ｓ,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是６０m，求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。(2）志勇是小芳的邻居,也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了2.５miｎ,假设当时水流的速度是0.０15m／ｓ，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m／s,那么出发点与柳树间的距离大约是多少?五、计划任务应用性问题某煤矿现在平均天天比原计划多采3３０吨,已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采2３1０0吨煤的时间相同,问现在平均天天采煤多少吨。某农场原有水田400公顷,旱田1５０公顷，为了提高单位面积产量,准备把部分旱田改为水田,改完之后,规定旱田占水田的10％,问应把多少公顷旱田改为水田。两块面积相同的小麦实验田,第一块使用原品种，第二块使用新品种,分别收获小麦900０Kｇ和15000Ｋg,已知第一块实验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块实验田每公顷的产量。A做90个零件所需要的时间和B做１20个零件所用的时间相同,又知每小时A、Ｂ两人共做35个机器零件。求A、Ｂ每小时各做多少个零件。能力提高某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价10０0元，假如卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元．(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（２）为了增长收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑,已知甲种电脑每台进价为3500元,乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共１５台,有几种进货方案？(3）假如乙种电脑每台售价为３800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客钞票元，要使（2)中所有方案获利相同,值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?某校原有6０0张旧课桌急需维修，通过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完毕,C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，规定至多６天完毕维修任务．三个工程队都按本来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张,为了不超过6天时限,工程队决定从第3天开始,各自都提高工作效率,A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才干成整个维修任务.⑴求工程队A本来平均天天维修课桌的张数；⑵求工程队A提高工作效率后平均天天多维修课桌张数的取值范围．北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服可以畅销,就用32023元购进了一批这种运动服，上市后不久脱销,商场又用6８0０0元购进第二批这种运动服,所购数