【附加15套高考模拟试卷】四川省成都市龙泉某中学2020届高三3月月考数学（理）试题含答案

四川省成都市龙泉第二中学2020届高三3月月考数学（理）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知全集。=11,集合A={x|x（—1或r）l},则品4=

A.S,T)(l,+oo)B.(-oo,-l][1,+<»)

(-1,1)D,[-1,1]

2.将函数/（x）=sin（2x+0）+J5cos（2x+0）（（）<°（乃）图象向左平移2个单位后，得到函数的图象

关于点百对称，贝！］函数g（x）=cos（x+0）在-晨上的最小值是（）

A.2B.2C.2D.2

3.已知定义在R上的函数tG）=a-22f与函数g（x）=2x、+lx-2l的图像有唯一公共点，则实数a的值为。

A.-1B.0C.1D.2

4.边长为2的菱形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段0D的中点，AE的延长线与CD相交于点F.若

NBAD=60。，贝M/EF'=()

13招21

A.1B.4C.^LO-D.20

5.若0<。<,,——</?<0,cosf+—j=—cos((—，)=理，则cos(a+,)等于(

6G5出A/6

A.3B.3c.9D.9

6.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有

趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军

营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为/+/〈1,若将军从点4（2,0）

处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”

的最短总路程为（）

A.质-1B,2^2-1c.2垃D.回

7.“若。之（，则都有/（x）20成立”的逆否命题是（）

A.1»:<0有/。）<0成立，则a<gB.1c<0有/（x）20成立，则

11

Q<_Cl<--

C.立2°有/(%)<°成立，贝Ij2D.*2°有/(x)<°成立，贝|J2

x+y>l,

8.设x,y满足约束条件x-yN-l,若目标函数z=ox+3y仅在点(1,0)处取得最小值，则。的取值范围

2x-y<2,

为()

A.(F3)B.(-6,-3)c,(0,3)D(-6,0]

9.已知函数y=/(x)是奇函数,当xe[0,1]时，/a)=0,当x>1时，/(x)=log2(x-l)，则/(x-1)<0

的解集时()

A.u(2,3)B.(—1,0)52,3)

C.(2,3)口.(一%-3)52,3)

10.函数/(x)=sin(2x—£)的图象与函数g(x)的图象关于直线x=£对称，则关于函数y=g(x)以下

28

说法正确的是()

A.最大值为1,图象关于直线x=1对称B.在(0,上单调递减，为奇函数

C.在I88J上单调递增，为偶函数口.周期为乃，图象关于点<8J对称

X24-2

11.函数y=(f—i)?---的部分图象是()

2(X2+1)

A.\B.

5

，•T

T:

12.若由函数/=$后12%+；的图像变换得到^=5皿(5+(]的图像，则可以通过以下两个步骤完成:

第一步，把丁=5皿(2%+|^

图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得

图像沿X轴()

7157r

A.向右移w个单位B.向右平移二个单位

12

715乃

C.向左平移3个单位D.同左平移12个单位

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

A=（x|8<2'x2+2x+a<121

13.若集合।1」中恰有唯一的元素，则实数。的值为.

q-nsinn71

14.数列｛4J的通项公式””3,其前〃项和为S”，则52018=.

15.已知i是虚数单位，xeR,复数z=（x+i）（2+i）为纯虚数，则2x—i的模等于（）

A.1B.后C.&D.2

16.如图所示，在直角梯形ABC。中，3。，。。,4E，。。,例,7分别是4。,8£：的中点，将三角形

AOE沿AE折起，下列说法正确的是（填上所有正确的序号）.

①不论。折至何位置（不在平面ABC内）都有MN〃平面。EC；

②不论D折至何位置都有MN工AE；

③不论。折至何位置（不在平面ABC内）都有“VAB

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）四棱锥P—ABCO中，平面ABC。，AB±AD,AD//BC,AB=\,

AD=2BC=血,PD=6•

求证：平面PBO,平面为棱上异于B的点，且AM_LMC,

求直线AM与平面MCO所成角的正弦值.

18.（12分）选修4-5：不等式选讲

设/（x）=3|x—1|+卜+1|的最小值为上求实数k的值；设“，〃eR,"+4〃2=々,求证:

11、3

------1--------->—

m2rr+12.

nA

/(x)=x+-^(x>0)f(\f(\

19.(12分)设函数x,当“=1时，求‘I刃的单调区间；若'I叼存在极

值点，求。的取值范围.

20.(12分)已知函数"*)=k一］送(*)=注+3］.解不等式/(x)-g(x)?2；若2/(x)Wg(x)+m对

于任意xeR恒成立，求实数机的最小值，并求当相取最小值时x的范围.

21.(12分)已知不等式k+1+k一时"4的解集为［-1,叫函数/(x)=|2x+时+|2%-11求相的值，

并作出函数八幻的图象；若关于X的方程/(幻=/一1恰有两个不等实数根，求实数。的取值范围.

N：―=1(4Z>/?>0)rvcn----

22.(10分)已知椭圆ab经过点C(()，l),且离心率为2.求椭圆N的方程；若

点A、8在椭圆N上，且四边形C4O3是矩形，求矩形。03的面积S的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.D

2.D

3.D

4.B

5.C

6.A

7.D

8.A

9.A

10.B

11.C

12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

2019G

14.2

15.B

16.①②

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)汉亘

13

【解析】

【分析】

(1)根据相似三角形，证得ACL8。，又由P。，平面ABC。，得到POJ.AC,利用线面垂直的判

定定理，证得AC_L平面P8。，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面PAC.

(2)以A为原点，A3,AT),AE所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设&0=X8P，

(2J2百、

利用以AMC0=O,求得4,得到期=京、，］一，再求得平面M。。的一个法向量

〃=(乎,6,0,利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

(1)证明：在RtABC^RtAB。中，因为•=，!，丝=1,

AB2AD2

BCAR

所以一=——,NA3C=NZM3=9O°』PAA8C-AZM3,所以NA5O=N3C4.

ABAD

因为ZABD+ZCBD=90°,所以NBCA+NCBD=90°，所以AC，8D.

因为POL平面ABC。，ACu平面ABC。，所以PD_LAC,

又BDcPD=D,所以AC,平面PBO,

又ACu平面PAC,所以平面P8O_L平面PAC.

Hc

(2)过A作AE//OP,因为PD_L平面ABC。，所以AE_L平面ABC。，即AE,AB,A。两两相垂直,

以A为原点，人民4。,4£所在的直线为羽，2轴，建立空间直角坐标系，

因为AB=1,AD=2BC=y/2>PD=6,

(Jo\

所以A(0,0,0),3(1,0,0),C1,m,0,D(0,V2,0),pg/i网,

\/

745=(1,0,0),BP=(—1,血网,CB=0,一字0),

设Xw(O4].则AM=AB+/IBP=0-4,04,百zl),

(r\

CM=CB+ABP=-2,--+V22,V32.

I2J

因为AM_LA/C,所以AA/-CA/=0，BP(1—2)(—2)+>/22^-+V22+3/2=0,

解得6储一2%=0，2=0或4=因为所以/l=g.

Q也

所以AM3),即M

\3'7万/

22V2y/3_n

y+z

n-DM=0§y—2~°~^~°=0

设〃=(』,为,Z。)为平面MC。的一个法向量，贝上

"DC=0'近

*0-3%=°n

所以取〃

设直线AM与平面MCD所成角为。,

\AM-n\++2V39

sin"cos(AM,nTTT

13

所以直线AM与平面MCD所成角的正弦值马回.

13

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能

力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同

时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公

式求解.

18.(1)&=2；(2)见详解.

【解析】

【分析】

(1)将函数表示为分段函数，再求其最小值.

(2)利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式.

【详解】

—4x+2,x<—1,

(1)f=3|x_l|+|x+l|=*—2x+4,-1<x<1,

4x-2,x>1,

当x=l时，取得最小值，即左="1)=2.

(2)证明：依题意，加2+4*=2,则加2+4(/+])=6.

〃*)氏

nrA?+1

>1（5+2V4）=|.

当且仅当4(£+l)=/L,即加2=2，〃2=。时，等号成立.

m2n2+1

【点睛】

本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值.含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零

mn

—I—

点分类讨论法求解.已知a人或〃a+4々九〃，'4是正常数，的值，求另一个的最值，这是一

种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值.

19.(1)在(。，+8)单调递增；(2)aw(-8,0)u(2/,+oo).

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

2

(2)由/(x)存在极值点可知r(x)=0在x〉0上有解，即—在(O,e)“e,+a))上有解，数形

lrir-1

结合即可得到结果.

【详解】

解：(1)当4=1时，/(耳=]+^^=，+1]叫*〉0),

2

tS：g(x)=x+l-lnx,则g，(x)=2x」=2x-％〉。),g'x)=O,x=—

xx2

当0vx<孝时，g'(x)<0,当%>?时，g'(x)>0

・•.g(x)在(0,4)为减函数，在—,+oo为增函数

2\)

33

万-In/〉。，「.恒成立

・••/（%）在（0,+8）单调递增

（2）/（X）存在极值点

.•J'（x）=O在x〉0上有解

即广（力=1+华竺LE±限M=。有解

即a（l—明+]2=0在%〉。上有解

当x=e上式不成立

2

即当x"e,”=」_在（0,6）^（4+»）上有解

lnx-1

r2

即曲线y=。与曲线雇工）二61在（O,e）u（e,y）上有交点

当0<x<e或e<x<%时，g'(x)<。

当x>"g'(x)>。

/3\

•••g极小值=g或=2e3,

\/

0<尤<e时，g'(x)<0

••・作出y=g(x)的图象如图

有a<0或a>2e?

即ae(-8,0)2(2/,+8)

【点睛】

本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数判断函数的极值，考查计算能力，属于

中档题.

43

20.(1)<x-2<x<——>(2)x<——

I3J2

【解析】

【分析】

(1)零点分段去绝对值化简/(%)-g(x)解不等式即可；⑵2/(x)<g(x)+加恒成立，即

〈加恒成立，即机训、，由绝对值三角不等式求

|2x—2|-|2%+3|2x-2|-|2x+3|)n(|2x-2|-|2x+3|"”

即可求解

【详解】

⑴/(x)-^(x)=|x-l|-|2x+3|

33

当xW-一时，不等式化为x+422,解得xN—2,可得一24元《一一；

22

3434

当一二<x<l时，不等式化为一3x—222,解得彳，可得一不<%〈一彳；

2323

当xNl时，不等式化为—X—422,解得》《一6,可得

41

综上可得，原不等式的解集为x-24x4

(2)若2/(》)<8(力+加恒成立，则|2%—2|—|2%+3]«/〃恒成立，

.-.m>(|2x-2|-|2x+3|)max

又|2x-2|-|2x+3|<|(2%-2)-(2%+3)|=5

，机最小值为5.

、3

x>1或x<——

（2x-2）（2x+3）>0,23

此时，,/解得

（2X-2）2>（2X+3）\-12

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等

式成立条件是易错点，是中档题

21.(1)见解析；(2)&€(-0),一行)。(君,+00)

【解析】

【分析】

(1)利用不等式的解集列出方程求解加，然后化简函数的解析式为分段函数的形式，即可画出函数的图

象；(2)方程=|2x+3|+|2x-l|=/一1有两个不等实根，等价于函数y=〃x)和函数y=4—］有

两个交点，结合函数的图象求解即可.

【详解】

(1)

由题意可知m>-\,

当一14尤4加时，有|1+1|+,一叫=加+1,

因为不等式上+1|+打一叫<4的解集为［-1,机］,

结合图象可得"2+1=4,即m=3,

4C1

4x4-2,x>—

3I

所以函数/(x)=|2x+3|+|2x_"=<4,--<%<-；

-4x-2,x<

2

函数/(x)图象如图,

方程〃x)=|2x+3|+|2xT=a27有两个不等实根,

即函数y=/(x)和函数丫=。2-1的图象有两个交点，

由(1)的图象可知i>4,a<—右或a>亚，

所以实数a的取值范围是ae(-oo,-J^)(75,4-00).

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式，方程的解与函数图象交点的关系，考查了数形结合思想的应用，属于中档题.

函数零点的几种等价形式：函数'=A")一8(工)的零点o函数'=/(x)-g(x)在无轴的交点o方程

/(X)-g(x)=°的根=函数y=/(x)与y=g(x)的交点.

r232

22.(1)y+/=l(2)矩形CAO8面积S的最大值为彳.

【解析】

【分析】

(1)由椭圆过点。(0/)，且离心率为也，得到匕=1,£=也，进而可求出结果；

2a2

(2)先由题意知直线AB不垂直于x轴，设直线AB:y=^+机，联立直线与椭圆方程，设A(玉,y),

3(W，%)，根据韦达定理和题中条件可求出现；再求出归-的最大值即可得出结果・

【详解】

解：(1)因为椭圆N:0+g=l(a>8〉O)经过点C(0』)，且离心率为日，

所以匕=1,£=又因为“2一。2=。2,

a2

可解得c=l,a=4i，焦距为2c=2.

2

所求椭圆的方程为工+f=i.

2一

(2)由题意知直线A5不垂直于x轴，可设直线A3:y=依+〃2,

y=kx+m

由，,得（1+2左lx?+4ZTHX+2机*-2=0,A>0

.~2

设A(药,y),8(9,%)，则X[+%2=]一7，xtx2=-----J

又因为C4=(X],y—1),CB=(x2,y2-l),

所以。4。=玉9+(%一1)(%—1)

+(例+m-l)(Ax2+m-l)

2

=(1+Z:jxjX2-^(/72-1)(^+x2)+(m-l)~

/1小2(疗一1)z、4km/、2

=(1+Zr)—----^-Z:(m-l)x-----4-(/7Z-1)=0

,)1+2公,71+2公7'7

化简可得根=-g.

所以1%_工21=j(X|+X2『-你々=g学不

•--------t2—4

设19k2+4=f，tN2,则％2=—^—，

所以…，画工F

11/32k+l2r+1

令/(缶品(*)，因为/吐端＜°

12/Q

所以=在［2,故)上单调递减，所以1西一々1=〃2)=1

设直线A3:y=乙一;与)，轴交于点E,

X

因为矩形C4OB面积S=2SMBC=仁百•%—X21_%2

32

所以矩形CADB面积S的最大值为—.

此时直线A8:y=—‘.

3

【点睛】

本主要考查椭圆的方程以及椭圆中的最值问题，熟记椭圆方程以及椭圆的简单性质，联立直线与椭圆方程,

结合韦达定理等求解，属于常考题型.

高考模拟数学试卷

考生注意：

1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚.

2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸

上的答案一律不予评分.

3.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题编号的空格内直接填写结

果，每个空格填对4分，否则一律得零分.

sinx2

1.函数/(x)=,的最小正周期是___________.

-1COSX

2.若集合A={x|Ix-1|V2},B=,x|2,贝!!AB=

Ix+4J

3.已知z=(a-i)(l+i)(aGR,i为虚数单位)，若复数z在复平面内对应的点在实轴

上，贝!Ja=.

.13冗_.n

4.已知cosa=—,且aw(—,2万)，贝(1cos(aH—)=.

422

5.若log,,2b=-1则a+b的最小值为.

6.(x+a)”’的展开式中，X’的系数为15,贝必=.(用数字填写答案)

7.已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为15万cm?,则此圆锥的体积是cm3.

8.已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=2*+x,则

f(D+g(D=.

比较感兴趣，决定至少选择两门理科，那么小王同学的选科方案有种.

10.有一列球体，半径组成以1为首项，1为公比的等比数列，体积分别记为

2

匕取…，嗑…，则lim(匕+%+•-+4)=

月Too

兀

11、在△ABC中，AN=4,BC=6近，NCBA=[,.若双曲线「以AB为实轴，且过点C,

则「的焦距为.

12.在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,边DC(包含点D、C)的动点P与CB延长线上(包含点

B)的动点Q满足|五?|=|诙则可.旃的取值范围是.

’3为十5,%为奇数:

13.已知数列{氏}的各项均为正整数，对于阀=1,2,3,…,

为为偶数.

其中k为使用为奇数的正整数.若存在次£N*,当n>m且可为奇数时，4恒为常数p,贝如的值为一

14.设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在非零常数T,对于任意xGD,都有

f(x+T)=T・f(x),则称函数y=f(x)是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f(x)

的“似周期现有下面四个关于“似周期函数”的命题：

①如果“似周期函数"y=f(x)的“似周期”为-1,那么它是周期为2的周期函数；

②函数f(x)=x是“似周期函数”；

③函数/(x)=2'是“似周期函数”;

④如果函数/（x）=COS8是“似周期函数”，那么"3=既，kG

其中是真命题的序号是.（写出所有满足条件的命题序号）

选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分.

15.“aV2”是“实系数一元二次方程X?+ax+1=0有虚根”的

（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

16.要得到函数了=sin2x+—的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）

I3j

TTTTTTJ/

（A）向左平移丁个单位（B）向左平移二个单位（C）向右平移点个单位（D）向右平移二个单位

17.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度

下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）

（A）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

（B）以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

（C）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

（D）某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

“蜷油流率，ktwL：

18.若a,b是函数/（%）二#2-g>0）的两个不同的零点，且a,b,-2这

三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）

（A）l（B）4（C）5（D）9

三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分满分6分.

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SA_L平面ABCD,AB=3,SA=4

（1）求异面直线SC与AD所成角；

（2）求点B到平面SCD的距离.

20.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分满分6分.

如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到

C,另一种从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2

分钟后，乙从A乘缆车到B,在B处停留I分钟后，再从B匀速步行到C.假设缆车

123

匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，COSX=—<COSC=-

135

(1)求索道AB的长;

(2)问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?

21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分9分.

已知AABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线1：y=x+2上，且AB/71.

(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

(2)当NABC=90°,且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程.

22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分满分6分,

第3小题满分满分6分.

已知函数f(x)=xIxaI+b,x£R.

(1)当b=0时，判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)当a=l,b=1时，若=求x的值；

4

(3)若一IWb<0,且对任意xG[0,1]不等式f(x)V0恒成立，求实数a的取值范围.

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分满分6分，

第3小题满分满分8分.

设m个正数为,42,…,（双工4,出e依次围成一个圆圈.其中外,%〃?，…，4-i，4

保〈111,146^^是公差为4的等差数列，而5,<^,4吁1，4是公比为q的等比数列.

⑴若q=4=1.g=2,上=8,求数列为,%，…，的所有项的和Sm；

⑵若a]=d=q=3,m<2015>求m的最大值；

⑶当q=2时是否存在正整数k,满足

%+电+---+%_]+4=3（am+aa2+…+&»]+%]）?若存在‘求出及值；若不存

在，请说明理由.

崇明县2015学隼第一次高考模拟考祓道卷参考答案及评分标准

一、填空题

1、灯；2、.1,2)：3s1：4、:5、^2；6、—；7、12^：

132「31

8、---：9、10；10s—不：11s8；12、一,3：

221|_4」

13、1或5；14、①，③，④

二、选择题

15、A;16、B；17、D；18、D

三、解答题

19.(1)□8C〃4D,，NSC3是异面直线SC与AD所成角....................2分

又月CJL4B..•.反7_L平面SAB,，97，防................................4分

又防=5,At3nZSCB=~,Z5CS=arctan-.............................................................5分

33

所以异面直线SC与AD所成角大小为aictan—.....................................................................6分

3

（2）□£幺_1_平面ABCD

^S—BCD=qS独CD'=6...................................................................................................8分

□SN_L平面ABCD,ASA±CD

又4D_LCD,工CD_L平面SAD,・..CD_LSD

=~............................................................................................................................10分

设点B到平面SCD的距离为心口唳-gD=嚷$00=],心3）"=6

12

二点B到平面SCD的距离为人=一...........................................12分

5

12354

20.(1)在zWBC中，*."COSJ4=—.cosC=—."'.sin74=—.cosC=—.....2分

135135

sinB=sin[7T-(A+C)]

-c5312463..................5分

=sin(j4+Cj=sinAcosC+cossinC=——x—+——x—=——

13513565

ADA/~f4/7

由正弦定理一^；=J，得43=--xsmC=1040,....................7分

sinCsinBsinB

所以索道48的长为IMO米.................................................8分

(2)假设乙出发f分钟后,甲,乙两源苫距离为d米.

此时，甲行走了(1OO+5QC)米,乙距离4处13QT米.

由余弦定理得：

1n

(ia=(100+5Qt)2+q3Qt)2-2xl3Qtx(100+5Qt)x—=200(37?-7Qt+50)……11分

1040

———,即04t48,...........................................12分

130

35

故当t=^(min)时.甲、乙两揩客距离最短............................14分

21.(1)因为〃匕且N3边通过点(60),所以所在直线的方程为y=x....1分

x2+3y2=4,

设48两点坐标分别为g,凶＞8,乃）由＜得工=±1

ty=x

所以卜却=点卜1-引=20.......................................3分

原点到直线，的距离人=近.............................................4分

所以晞皿=；［h［］刀=2...........................................5分

(2)设N3所在直线的方程为y=x+m..............................6分

由，'+3y4'得4x'+6rac+3加*-4=0.

y=x+m

因为48在椭圆上，所以△=-12，/+64>0.

设48两点坐标分别为g,乃>心，“).

m.3m3m-4

则K+与=--^-，X/2=---.

所以,理=如k1-x2|=’I'；碗-...............................10分

叫叫安.

又因为8c的长等于点Q,加)到直线/的距离.............11分

所以|dCf+|5Cfu-ma-H+iOu-s+DZ+ll.

所以当杨=一1时,2C边最长.(这时A=-12+&4>0)

此时力8所在直线的方程为y=x-l..................................14分

22.(1)当a=0时，/(JC)=JC|JC|

此时=所以/(x)是奇函数2分

当。工0时./(-0)=-a|a|,/(a)=0.所以f(-a)wf(a)且f(一。)=一/(。)

所以/(x)既不是奇函数,也不是偶函数............4分

(2)当a=l力=1时，/(力=巾一1|+1.

由得2*|2*-1卜1=9.................................5分

.2*之1f2*<1

即〈，1或〈，1......................7分

(2*)3-2r-l=0(2*)2-2*+-=0

L44

解得2*=上£或2*=匕或(舍)，或2*=4....................9分

222

1-4-

所以X=logz=Iog2(l+V^)-1或X=-1..................10分

（3）因为当x=0时.a取任意卖数,不等式/（幻＜0恒成立.

故只需考虑xw（0j],此时原不等式变为卜一同＜心..................11分

bb

即rinx+—＜a＜x--

xx

故（x+£）1Mx＜a1111Vxe（0,1]12分

XX

又当-14万＜0时函数g（x）=x+2在（0,1]上00通增.

X

所以（x+勺）1Mx=名。）=1+£＞：...................................................................13分

X

对于函数%（x）=x-2,xe（0,l],当-14b＜0时.V^eCO.l],

X

所以A（x）=x--i27ZT.当且仅当X="时铸号成立

X

即当X=4时，（x-2）1nM=2Q,....................................................15分

X

此时要使a存在，必须有‘1+》（2产即一14占＜2尤一3.

＜0

此时a的取值范围是（1+九2万）...................................16分

23.⑴依题意%=8.故数列％,。2,…，4«为1，2,3,4,5,6,7,8,4,2共10个数.

此时沉=10，S*=42・..................4分

⑶因为数列《，叼，叼，…,az，%是首项为3、公差为3的等差数列知，A=3k.

而知4,4“,...,a**%是首项为3、公比为3的第比数列知,ak=..........6分

故有3k=3***,k=3**r,所以h3*=3**L

要使扰最大，上必须最大.

又人＜小＜2015.故长的最大值3。从而变口如;产，

所以加的最大值是734............................................................................................10分

⑶由数到%%/是公差为d的等差数列知.殁=为+（左一1川，

而为,4,4.1，…,与+1，.是公比为2的等比数列/=%，2次+"..............12分

故％+（4一1R=/•2京