【中考复习】2021年九年级中考数学试题真题汇编：二次函数综合压轴题七（解析版）（全国通用）

2021年九年级中考数学试题真题汇编：二次函数综合压轴题七

一、选择题

1.（4分）（2020•自贡）函数y=［与），=0?+加+,的图象如图所示，则函数的大

【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知%>0,

根据二次函数的图象确知“VO,b<0,

.•.函数〉=人-6的大致图象经过一、二、三象限，

故选：D.

2.（3分）（2020•随州）如图所示，已知二次函数y=o?+fev+c的图象与x轴交于A（-1,

0）,B（3,0）两点，与），轴的正半轴交于点C,顶点为£>,则下列结论：

®2a+b=0；

②2c<3例

③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；

④当△BCQ是直角三角形时，a=-号.

其中正确的有（）

【解答】解：•••二次函数y=/+儿+c的图象与x轴交于A(-1，0),B(3,0)两点,

对称轴为直线1=一/=1，

••b=z-2a,

2a+h=0,故①正确，

当X—1时，0=a-b+c,

.'.a+2a+c=0,

••~3a,

：.2c=3h,故②错误；

,二次函数>=这2-2取-3a,(qVO)

.,.点C(0,-3a),

当BC=A8时，4=V9+9a2,

当AC=8C时，4=Vl+9a2,

...当△ABC是等腰三角形时，。的值有2个，故③正确;

,二次函数尸以2-2ox-3a=a(x-1)2-4a,

顶点0(1,4a),

ABD2=4+16a2,BC2=9+9a2,CD2=a2+l,

若/8Z)C=90。，可得8。2=8£>2+82,

.,.9+9a2=4+l6a2+a2+l,

.42

若NDCB=90°,可得3£>2=C£>2+3C2,

/.4+16cp=9+9a1+ci2+1,

*.a=-1,

...当△BC£>是直角三角形时，a=-1或一乎，故④错误.

故选：B.

3.（4分）（2020•天水）若函数y=a?+hE+c（aW0）的图象如图所示，则函数y=ox+匕和

）,=芯在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

【解答】解：；由函数图象交y轴的正坐标可知c>0，

反比例函数）=三的图象必在一、三象限，故C、。错误；

•.,据二次函数的图象开口向上可知a>0,对称轴在），轴的右侧，b<0,

，函数y=ox+3的图象经过一三四象限，故A错误，B正确.

故选：B.

4.（3分）（2020•泸州）已知二次函数），=/-2bx+2b2-4c（其中x是自变量）的图象经过

不同两点A（\-b,机），B（2b+c,机），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则〃+c的值

为（）

A.B.2C.3D.4

【解答】解：由二次函数产/-2版+2庐-40的图象与苫轴有公共点,

:.（.-2b）2-4X1X（21-4c）》0,即b2-4cW0①，

由抛物线的对称轴x=-字=6,抛物线经过不同两点A（1-ZJ,m）,BC2b+c,m）,

b=l^b+2b+cr即，c=6-l②，

②代入①得，b2-4(b-1)WO,即(6-2)2・0,因此方=2,

c=h-1=2-1=1,

b+c=2+1=3,

故选：C.

5.（4分）（2020•德州）二次函数y=〃/+6x+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是

A.若（-2,yi）,（5,”）是图象上的两点，则yi>”

B.3a+c=0

C.方程a^+bx+c^-2有两个不相等的实数根

D.当x20时，y随x的增大而减小

【解答】解：...抛物线的对称轴为直线x=l,a<0,

...点（-1,0）关于直线x=l的对称点为（3,0）,

则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3,0）,点（-2,yi）与（4,yi）是对称点,

•.•当x>l时，函数y随x增大而减小，

故A选项不符合题意；

把点（-1,0）,（3,0）代入y=or2+〃x+c得：a-b+c=O®,9a+3Z>+c=0②，

①X3+②得：12a+4c=0,

故B选项不符合题意;

当y=-2时，y=ax2+bx+c--2,

由图象得：纵坐标为-2的点有2个，

，方程a^+bx+c=-2有两个不相等的实数根，

故C选项不符合题意；

•.♦二次函数图象的对称轴为x=l,a<0,

当xS1时，y随x的增大而增大；

当时，y随x的增大而减小；

故。选项符合题意；

故选：D.

二、填空题

6.（3分）（2020•枣庄）如图，己知抛物线）=苏+法+。的对称轴为直线x=l.给出下列结

论：

①ac<0；

@tr-4ac>0；

③2a-b—Qt

@a-b+c=0.

其中，正确的结论有—①②④（填序号）

【解答】解：抛物线开口向下，a<0,对称轴为戈=一卷=1,因此b>0,与），轴交于正

半轴，因此c>0,

于是有：ac<0,因此①正确；

由工=一搭=1,得2〃+匕=0,因此③不正确，

抛物线与x轴有两个不同交点，因此及-4ac>0,②正确，

由对称轴x=l,抛物线与x轴的一个交点为（3,0）,对称性可知另一个交点为（-1,

0),因此a-b+c=0,故④正确，

综上所述，正确的结论有①②④,

7.(3分)(2020•巴中)现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支

抛物线的一部分组成，且关于y轴对称.其中半圆交y轴于点E,直径AB=2,OE=2；

两支抛物线的顶点分别为点A、点艮与x轴分别交于点C、点D；直线BC的解析式为：

y=kx+^.则零件中BD这段曲线的解析式为y=-1(x-l)2+iQ4工-3).

•：AB=2,且半圆关于〉轴对称，

：.FA=FB=FE=\,

•：OE=2,

：.OF=1,

则右侧抛物线的顶点8坐标为(1,1),

将点8(1,1)代入尸区+.得%+充=1,

解得k另,

•••尸3得

1Q

当y=0时，一天+彳=0,

4，

解得x=-3,

：.C(-3,0),

则D(3,0),

设右侧抛物线解析式为y=”(x-1)2+1,

将点。(3,0)代入解析式得4〃+1=0,

解得a=-p

2

.".y=-(x-1)+1(1WXW3).

2

故答案为：y=-i(x-1)+1(1WXW3).

三、解答题

8.(6分)(2020•鹤岗)如图，已知二次函数y=-f+fcc+c的图象经过点4(-1,0),8(3,

0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P,使/抬8=/ABC,若存在请直接写出点P的坐标.若不

存在，请说明理由.

【解答】解：(1)根据题意得｛二;I：：；1)。，

解得

故抛物线的解析式为y=-/+2r+3；

(2)二次函数y=-/+2x+3的对称轴是x=(-1+3)+2=1,

当x=0时，y=3,

则C(0,3),

点C关于对称轴的对应点P(2,3),

设直线BC的解析式为y=kx+3,

则3%+3=0,

解得％=-1.

则直线BC的解析式为y=-x+3,

设与BC平行的直线AP的解析式为y=-x+m,

则1+m=0,

解得m—~1.

则与BC平行的直线AP的解析式为y=-x-1,

联立抛物线解析式得J'=,Q，

(y=一行+2%+3

解得心=4件;/(舍去).

(71--5(y20

Pi(4,-5).

综上所述，Pl(2,3),P2(4,-5).

9.(12分)(2020•巴中)如图，抛物线y=a/+6x+c(aWO)与x轴交于A、B两点(点A

在点B左侧)，交y轴正半轴于点C,"为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A

坐标(-1,0),且O2=2OC=4OA.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当△PCM丝△POM时，求的长；

(3)当4%ABC=5SABCP时，求点尸的坐标.

【解答】解：(1)VA(-1,0),

.\OA=1,

又；OB=2OC=4OA,

：.0C=2,OB=4,

：.B(4,0),C(0,2),

；点8,点C,点A在抛物线上，

c=2

A16a+4b+c=0

a—b+c=0

解得:b=j,、

(c=2

.••抛物线解析式为：y=-1x2+1x+2；

：.M(2,1),

■:丛PCM乌丛POM,

：.CM=OM,PC=PO,

是OC的垂直平分线，

，PM〃x轴，

.•.点P的纵坐标为1,

当y=l时，代入y=-'1/+怖万+2,

解得：x=当豆，

(当口，1)或含尹，1),

鸟匚或包之

22

(3)

1

*.*S^ABC=2xABX0C=5,4s△ABC=5SNCP,

.*.SABCP=4,

VB(4,0),C(0,2),

，直线BC解析式为》=-3+2,

当点尸在5c上方时，如图2,过点尸作尸轴，交BC于点E,

19

:.PE=一铲+2”，

11o

4—x4X(-a"+2p),

:・p=2,

.•.点P(2,3)；

当点P在8c下方时，如图3,过点P作尸轴，交8c于点E,

.,.4=/x4X(-p2-2p),

：.p=2±2>/2,

...点P（2+2夜,-1一遮）或（2—2式，-1+V2）；

综上，点P的坐标为：（2,3）或（2+2近，一1一企）或（2-2夜，-1+V2）.

10.（10分）（2020•枣庄）如图，抛物线交x轴于A（-3,0）,B（4,0）两

点，与y轴交于点C,AC,BC.M为线段。8上的一个动点，过点何作轴，交

抛物线于点尸，交BC于点Q.

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点P作尸MLBC,垂足为点N.设M点的坐标为0）,请用含〃?的代数式

表示线段PN的长，并求出当机为何值时PN有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,。为顶点的三角

形是等腰三角形.若存在，请求出此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.

__1

a=

【解答】解：（1）将点4、B的坐标代入抛物线表达式得1J。,解得•-3

1

b=

3

故抛物线的表达式为：尸—#+1x+4；

（2）由抛物线的表达式知，点。（0,4）,

由点8、C的坐标得，直线8c的表达式为：y=-x+4；

设点M（机，0）,则点尸Cm,一揖2+协+4）,点。（m,-〃任4）,

.171174

PQ=—方m+o/71+4+zn-4=—与加+

匕3333

・：OB=OC,故NA8C=NOC8=45°,

・・・NPQN=NBQM=45°,

&4

-x/22

—

手

机

=726|加-

・・・PN=PQsin4502y\

<0,故当加=2时，PN有最大值为这；

63

（3）存在，理由：

点A、C的坐标分别为（-3,0）,（0,4）,则AC=5,

①当AC=CQ时，过点Q作轴于点E,

则Cf^^CE^+EQ2,即nr+[4-(-m+4)4=25,

解得：机=±—(舍去负值)，

,,一5>/28-5V2

故点。(-y，---)；

②当AC=A。时，贝ijAQ=AC=5,

在Rt/\AMQ中，由勾股定理得：[〃?-(-3)]2+(-m+4)2=25,解得：小=1或0(舍

去0),

故点Q(1.3)；

2

③当CQ=AQ时，则2m2=[m=(-3)]+(-〃?+4)2,解得：〃口竽(舍去);

5y/28-572

综上，点Q的坐标为(1,3)或(？,

2,

11.(12分)(2020•泸州)如图,己知抛物线yna?+fer+c经过A(-2,0),B(4,0),C

(0,4)三点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)经过点B的直线交y轴于点。，交线段AC于点E,若BD=5DE.

①求直线BD的解析式；

②己知点Q在该抛物线的对称轴/上，且纵坐标为1,点尸是该抛物线上位于第一象限

的动点，且在/右侧，点R是直线B。上的动点，若△PQR是以点。为直角顶点的等腰

直角三角形，求点P的坐标.

【解答】解：⑴：抛物线产/+法+「经过A(-2,0),B(4,0),

设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),

将点C坐标(0,4)代入抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)中，得-8a=4,

：.a=-1,

，抛物线的解析式为y=(x+2)(x-4)=-1X2+X+4；

(2)①如图1,

设直线AC的解析式为y=fcv+〃，

将点A(-2,0),C(0,4),代入y=fcv+"中，得『2k+b'

=4

.(k=2

,ety=4*

二直线AC的解析式为y=2x+4,

过点E作E凡Lx轴于F,

J.OD//EF,

MBODsABFE,

.OB_BD_

••二,

BFBE

*：B(4,0),

・・・。3=4,

•；BD=5DE,

■££_BD5DE_5

「BE-BD+DE~5DE+BE-6’

・BE0八Bn=64.=24

,*BF=前X5X亏'

244

・•・OF=BF-OB=言-4=

4419

将工=一可代入直线AC：y=2x+4中，得y=2义(一耳)+4=-g->

412

:♦E(一日)»

55

设直线BD的解析式为y=iwc+n,

(4m4-n=0

：.\4,12,

tn=2

直线BD的解析式为)，=一%+2；

②1、当点R在直线/右侧时，

•••抛物线与x轴的交点坐标为A(-2,0)和B(4,0),

...抛物线的对称轴为直线尤=1,

.•.点Q(1,1),

1r

如图2,设点P(%,一/+x+4)(l<x<4),

过点尸作PGJJ于G,过点R作RHL于H,

PG=x-1,GQ=—#+4+4-1=—4/+x+3,

:PGU,

：.ZPGQ=90°,

・,.NGPQ+NPQG=90°,

•••△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形,

:・PQ=RQ，NPQR=90°,

・・・NPQG+/RQ〃=90°,

：.ZGPQ=ZHQR,

•••△PQG丝△QRH(A4S),

・・・RH=GQ=-#+x+3,QH=PG=x-1,

:.R(-々/+工+4,2-x),

由①知，直线8。的解析式为y=一1+2,

11o、

•••~2(-/+元+4)+2=2-Xf

.\x=2或x=4(舍)，

当x=2时，y=-2^+x+4=—2x4+2+4=4,

：.P(2,4),

II、当点R在直线/左侧时，记作"，

设点P'(x,-32+X+4)(1<X<4),

过点P作P'G'JJ于G,过点R作RH_U于H,

"G'=x-1,G'Q=-#+x+4-1=-#+x+3,

同I的方法得，△PQGWAQRHCAAS),

：.RH=G'Q=-i.r+jc+3,QU=PG=x-1,

1

A/?1(-x20-x-2,x),

2

由①知，直线BD的解析式为y=-1A-+2,

(-.V2-x-2)+2—x,

：.x=-1+旧或X=-1-713(舍),

当X--1+V13时,y=-2，+X+4=27]3—41

：.P'(-1+V13,2V13-4),

即满足条件的点P的坐标为(2,4)或(-1+VH,2V13-4).

图1

12.(10分)(2020•丽水)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-±(x-/«)2+4

图象的顶点为A,与y轴交于点B,异于顶点A的点CQ,n)在该函数图象上.

(1)当"?=5时，求〃的值.

(2)当〃=2时，若点A在第一•象限内，结合图象，求当y22时，自变量x的取值范围.

(3)作直线AC与y轴相交于点D当点B在x轴上方，且在线段0。上时，求机的取

值范围.

【解答】解：(1)当加=5时，y=(x-5)2+4,

当x=l时，n=X42+4=-4.

(2)当〃=2时，将C(l,2)代入函数表达式丫=一±(%-/»)2+4,得2=-4(1-〃?)

2+4,

解得机=3或-1(舍弃)，

.••此时抛物线的对称轴x=3,

根据抛物线的对称性可知，当y=2时，x=l或5,

.♦.X的取值范围为1WXW5.

(3)•.•点4与点C不重合，

・・tn-/-1,

:抛物线的顶点A的坐标是Cm,4),

；•抛物线的顶点在直线y=4上，

当x=0时，y=-^W2+4,

.,.点B的坐标为(0,-i/n2+4),

抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，机逐渐减小，点8沿y轴向上移动,

当点B与。重合时，一方"2+4=0,

解得加=2a或-2VL

当点B与点。重合时，如图2,顶点A也与B,。重合，点B到达最高点，

.•.点B(0,4),

-与?/+4=4,解得m=0,

当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段。。上,

点在线段。。上时，机的取值范围是：0W机＜1或1V2近.

13.（12分）（2020•朝阳）如图，抛物线y=-4/+"+c与x轴交于点A,点B,与y轴交

于点C,抛物线的对称轴为直线x=-1，点C坐标为（0,4）.

（1）求抛物线表达式；

（2）在抛物线上是否存在点P,使/ABP=/8C0,如果存在，求出点P坐标；如果不

存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线8P上方抛物线上的一个动点，

求点M到直线BP的最大距离；

（4）点G是线段AC上的动点，点，是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，

三个动点都不与点A,B,C重合，连接GH,GQ,HQ,得到△GHQ,直接写出△G//Q

周长的最小值.

【解答】解：（1）•••抛物线对称轴为x=-1,

/.------=-1,

2x（4）

:.b=-1,

将（0,4）代入尸一—x+c,中，

.♦.c=4,

y=-yX2-x+4.

图1

♦：/ABP=/BCO,NPEB=/BOC=90°,

：./\PEB^/\BOC,

.•.鬓=要=;（此处也可以由等角的正切值相等得到），

BEOC2

设2则一^

P（m,-1m-m+4）,PE=|7?2-%+4，BE=2-m,

1o

①当点尸在X轴上方时：—---------=

2—m2

解得〃?1=-3,历2=2（不符题意，舍），

1Q

-m^+m-41

②当点P在X轴下方时：-------

2-m2

解得〃21=-5,mi=2（不符题意，舍），

q7

・，・P(—3,力或P(—5，-2),

(3)作M凡Lx轴于点F,交BP于点R,作MML3产于点M

图2

*/y=一尹2—%+4=--(x+4)(x-2),

AA(-4,0),B(2,0),

设泗p=fcx+3i,

将P(-3,f),(2,0)代入得解得A=-耳瓦=1,

.・•yBP=—/1、+1,

设—。+4),贝+

MR=(_2@2_Q+4)_(_2Q+1)=_2a2_]〃+3,

■:/MNR=/RFB=9。。,/NRM=NFRB,

：.△MNRS^BFR,

・NRRF

…MN一FB'

••/ADD1RFNR

-tmZABP=2=FB=MNf

在RtAMNR中NR：MN：MR=1：2：V5,

,MN22V5

••=1——,

MRV55

..MN=_-g-Q/--g-Q+-g-=--g-(a+2)+~^-，

当。=一号时，MN最大为

（4）作。点关于AC的对称点Q1,作。关于CB的对称点。2,连接Q\Q1与4c于Gi,

与CB交于点Hi,连接QQi交AC于连接交C8于K,此时△QGIHI的周长最

小，这个最小值=QiQ.

'：QJ^JQ\,QK=KQz,

：.Q\Q1=2JK,

...当JK最小时，Q1Q2最小，如图2中:

'：ZCJQ=ZCKQ=9Q0,

；.C、人Q、K四点共圆，线段CQ就是圆的直径，JK是弦,

：NJCK是定值，

/.直径CQ最小时，弦JK最小，

二当点。与点0重合时，CQ最小，此时JK最小，如图3中:

••在RtZ\COA中，ZCOA=90°,。。=4,A0=4,

\AC=y/AO2+CO2=V42+42=4A/2,

.,RtACOB,NCOB=90。,CB=VCO2+BO2=V42+22=25/5,

・・OJJ_AC,OK_LC8,

11

CB•OK=OUOB,

•・一22一

•.OK=等，

CK=7c。2-0K2=J42一（竽）=誓

：ZJCO=ZOCA,ZCJO=ZCOA,

♦.△CJOs^cOA,

.CJCO

"co-CA

,.CO2=CJ'CA,同理可得：CO2=CK*CB,

,.CJ・CA=CK,CB,

.CJCK

'CB-CA

：2JCK=NBCA,

,.△CJAT^ACBA,

.JKCK

"BA-CA

6一472

.RK=缪,

...△QGH周长的最小值=QIQ=2JK=5gx2=耳皿.

14.（14分）（2020•赤峰）如图，已知二次函数y=a/+fcc+c（aWO）的图象与x轴交于A

1

(1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,直线产一加2经过B,C两点.

(1)直接写出二次函数的解析式丫=#-|x+2；

(2)平移直线BC,当直线BC与抛物线有唯一公共点。时，求此时点。的坐标；

(3)过(2)中的点Q作QE〃y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N

是x轴上一个动点，是否存在以E,M,N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶

点)与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件

的点"的坐标；如果不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)••♦直线y=-1+2经过8,C两点.

.•.点C(0,2),

•.,二次函数)，=0?+公+,(aWO)的图象经过A(1,0),B(4,0),点C(0,2),

0=a+b+c

•*-0=16a+4b+c,

解得:

.♦.抛物线解析式为尸p-最+2,

故答案为：摄+2；

(2);B(4,0),点C(0,2),

二直线BC解析式为：)=—2尤+2,

二设平移后的解析式为：尸—会+2+加,

•••平移后直线BC与抛物线有唯一公共点。

&x+2=一品+2+加，

222

1

/.△=4-4xx（-加=0,

••m=-2,

.♦.设平移后的解析式为：）=一3，

（1

y=-5%

联立方程组得：<12,

\.y=2x-2x+l2

.（X=2

・•（y=-I>

・・・点。（2,-I）；

（3）设点M的坐标为（m,与2一,%+2）,

・・•以E,M,N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似,

・•.①当△MENs△OBC时，

：.NMEN=NOBC,

过点M作MH_Lx轴于从

AZEHM=90°=NBOC,

:.XEHMSXBOC,

.EHOB

•*MH-OC

15

:.MH=^n9r-豺+2|,EH=依-2|,

VOB=4,OC=2.

•g-2|_____

飞向_

1m+2|-2，

，根=3土次或MI=2±V2,

当机=3+我时，，〃?+2=

2，2

lV3+1

：.M（3+国，-----）,

2

当"2=3一百时，-"2—3m+2=]中,

2，2

l1-V3

：.M（3-V3,-------）,

2

当"z=2+&时，-毋一"+2=—

222

M(2+V2>

当"7=2一鱼时，一"?2—3m+2=，，

222

,r~V2

・・M(2—企,—),

2

②当△NEMs/\08C时，

同①的方法得，1pu-=1

|加2一我+2|2

.9士闻粉1士历

・・〃2=----2----或"7=----2----，

当m=叶晅3时，一,/—^m+2=5+y/33,

22幺

9+V33,—

：.M(―--,5+V33),

1+V17i-

：.M(-----,3-717),

2

当“主理时，1^-1^2=3+717,

1-V17,_

(------，3+V17),

2

即满足条件的点M共有8个，其点的坐标为（3+百，凶些）或（3-遮，匕3或（2+企,

22

、万一企9+V33,_9-V33_1+V17,_

一警）或（2-VL—）或（-----，5+V33）或（------，5-V133）或（------，3-V17）

22222

15.（10分）（2020•常州）如图，二次函数y=/+fcv+3的图象与y轴交于点A,过点A作x

轴的平行线交抛物线于另一点8,抛物线过点C(1,0),且顶点为。，连接AC、BC、

BD、CD.

(1)填空：b=-4；

(2)点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1,直线PC交直线BZ)于点Q.若NCQD

=ZACB,求点P的坐标；

(3)点E在直线AC上，点E关于直线8。对称的点为F,点尸关于直线BC对称的点

为G,连接AG.当点F在x轴上时，直接写出AG的长.

【解答】解：(1)抛物线y=/+以+3的图象过点C(1,0),

：.0=1+6+3,

."=-4,

故答案为：-4；

(2)'：b=4,

.•.抛物线解析式为>=/-叙+3

•••抛物线-4x+3的图象与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点

B,

.•.点A(0,3),3=/-4x,

.*.xi=0(舍去)，X2=4,

1点B(4,3),

*/)>=x2-4x+3=(x-2)2-1,

顶点D坐标(2,-1),

如图1,当点0在点。上方时，过点C作于E,设8。与x轴交于点凡

图1

;点A(0,3),点、B(4,3),点C(1,0),CEYAB,

.•.点E(l,3),CE=BE=3,AE=1,

Af71

：.ZEBC=ZECB=45°,tanZACE=

：.ZBCF=45°,

・・,点3(4,3),点C(1,0),点O(2,-1),

A^C=V9T9=3V2,CD=V1TT=V2,BD=7(4-2)2+(3+l)2=2>/5,

V^C2+CD2=20=BD2,

：.ZBCD=90°,

・♦CD421

..tanZDBC=^=^=3FanNACE,

・•・/ACE=NDBC,

ZACE+ZECB^ZDBC+ZBCF,

：.ZACB^ZCFD,

又；NCQO=NAC8,

...点F与点Q重合，

.•.点P是直线CF与抛物线的交点,

.*.0=x2-4x+3,

•»xi1»x2~~3,

.•.点P(3,0)；

当点。在点。下方上，过点C作C"J_OB于H,在线段BH的延长线上截取HF=。”,

连接CQ交抛物线于点P,

VCH±DBfHF=QH,

：・CF=CQ,

；・NCFD=NCQD,

：.ZCQD=ZACB,

•:CH1.BD,

•:点B(4,3),点。(2,-1),

・・・直线5。解析式为：y=2r-5,

5

1点F(-,0),

2

・,・直线C”解析式为：产一%+最

1,1

.・.)=_尹+2,

y=2x-5

r11

解得,一=，

3=-百

11Q

・・・点”坐标为(二，一^),

55

■:FH=QH,

.•.点。(焉-f),

1UJ

44

直线CQ解析式为：y—一三+3,

__44

联立方程组、=一尹+不

y=x2-4%+3

.•.点pg-1）;

综上所述：点尸的坐标为（3,0）或（|,-1）；

（3）如图，设直线AC与的交点为N,作于H,过点N作MNLx轴，过

点E作EM_LMM连接CG,GF,

二直线AC解析式为:y=-3x+3,

.(y=­3x+3

,7y=2x-5，

8Q

・••点N坐标为(1-X),

55

11o

・・•点”坐标为(=，一

53

：.CH2=(­-1)2+(-)2=卷，Hi

555

：.CH=HN,

:.NCNH=45°,

I点E关于直线BD对称的点为F,

:・EN=NF,NENB=NFNB=45°,

:./ENF=90°,

:・/ENM+NFNM=9C,

又•：/ENM+/MEN=9G,

:・/MEN=/FNM,

：・/\EMNm4NKF(AAS)

9

:.EM=NK=W，MN=KF,

.♦.点E的横坐标为J，

一，118

:•点E(―甲—),

35

:.MN=气27=KF,

8,271一

•・CF—耳H—g—1—6,

:点F关于直线BC对称的点为G,

:.FC=CG=6,/BCF=NGCB=45°,

ZGCF=90°,

:.点G(L6),

.".AG=y/1~2+(6-3)~2=T/10.

16.(13分)(2020•天水)如图所示，抛物线y=o?+bx+c(“#0)与x轴交于4、8两点，

与y轴交于点C,且点A的坐标为A(-2,0),点C的坐标为C(0,6),对称轴为直

线x=l.点。是抛物线上一个动点，设点。的横坐标为相(1＜加＜4),连接AC,BC,

DC,DB.

(1)求抛物线的函数表达式；

3

(2)当△8CO的面积等于△AOC的面积的一时，求机的值；

4

(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否

存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直

接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)由题意得：

(C=6

。=一4

解得：,3,

b=2

4=6

二抛物线的函数表达式为：尸等2+|计6；

（2）过点。作OELx轴于E,交BC于G,过点C作CFLEC交EC的延长线于F,如

图1所示：

丁点A的坐标为（-2,0）,点。的坐标为（0,6）,

.\OA=2fOC=6,

1i

：.S^AOC=今OA・OC=1x2X6=6,

.339

.**SABCD=^5AAOC=4x6=

当y=0时，-$2+,X+6=0,

解得：xi=-2,&=4,

，点B的坐标为（4,0）,

设直线BC的函数表达式为：y=kx+n,

解得：卜=",

(71=6

・，・直线BC的函数表达式为：y=—|A-+6,

・・•点。的横坐标为〃z(l<m<4),

.•.点。的坐标为：5,2+藐+6),

4L

o

点G的坐标为：(m,-豺+6),

/.DG=—|/7Z+6-(—|/w+6)=一脑2+3m,CF=m,BE=4-m,

：.SABCD=SCCDG+S&BDG=WDG・CF+±DG，BE=JDGX(CF+BE)=JXX

LLLL4,

3

(m+4-m)=—严2+6〃z,

.3?9

:.—亍%+6m=2，

解得：向=1（不合题意舍去），62=3,

・・・加的值为3；

,?O?4rq1R

(3)由(2)得：m=3f—彳机+5777+6=-彳x3~+5x3+6=才,

q/q，q

・,•点。的坐标为：(3,—),

4

分三种情况讨论：

①当。3为对角线时，如图2所示：

,/四边形BNDM是平行四边形，

:,DN〃BM,

・・・£W〃不轴，

，点。与点N关于直线x=l对称，

15

，N(-1,—)，

4

：.DN=3-(-1)=4,

•:B(4,0),

；.M(8,0)；

②当QM为对角线时，如图3所示：

15

由①得：N(-1,—DN=4,

4

・・・四边形BNDM是平行四边形，

:・DN=BM=4,

VB(4,0),

：.M(0,0)；

③当ON为对角线时，

・・・四边形BNDM是平行四边形，

:.DM=BN,DM//BN,

:./DMB=/MBN,

・・・点D与点、N的纵坐标相等，

115

■:点D(3,—),

4

.二点N的纵坐标为：—皇，

将尸-羊代入户一#+|x+6中，

ZB32,3久_15

得：一甲+尹6=一甲

解得：Jti=l+V14,X2=l-V14,

当x=l+V14时，如图4所示：

则N(14-V14»

分别过点。、N作x轴的垂线，垂足分别为瓜。,

在Rtz^OEM和RtZ\NQ8中，曜:部,

:.RtADEMgRtANQB(HL),

:.BQ=EM,

"：BQ=1+V14-4=V14-3,

.".£M=V14-3,

,:E（3,0）,

：.M（V14,0）；

当x=i-VT5时，如图5所示：

则N（I-E,一苧）,

同理得点M（-m，0）；

综上所述，点M的坐标为（8,0）或（0,0）或（E，0）或（一旧，0）.

图5

17.（14分）（2020•辽阳）如图，抛物线丫=--2岳+。（“W0）过点。（0,0）和4（6,

0）.点8是抛物线的顶点，点。是x轴下方抛物线上的一点，连接OB,OD.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当N8OO=30°时，求点。的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段。。于点E,点

F是线段OB上的动点（点F不与点。和点8重合），连接EF,将ABEF沿EF折叠，

点8的对应点为点9，与△O3E的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一

点、H,使以点E,F,G,”为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点，的坐标,

若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)把点。(0,0)和4(6,0)代入y=--2倔:+c中,

c=0

得到

36a-12V3+C=0'

解得卜=月,

c=0

抛物线的解析式为y=坐，-2岳.

(2)如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于与。。交于点N.

'.")»=苧r2-2V5x=苧(x-3)2-3国,

二顶点8(3,-3V3),M(3,0),

；.OM=3.BM=3g

tanZMOS==V3,

：.ZMOB=60°,

VZBOD=30°,

・・・ZMON=/MOB-ZBOD=30°,

・・・MN=OM・tan300=V3,

：.N(3,-V3),

直线ON的解析式为尸-事,

(V3

由f，解得忧假5后

、=彖2_2痔ty-0\y=--

Z)(5>——^―).

（3）如图②-1中，当NE~G=90°时，点”在第一象限，此时G,夕，。重合，由

题意。尸=",可得出一竽），d3,一同利用平移的性质可得人|，争.

图②-1

如图②-2中，当NEGF=90°时，点，在对称轴右侧，由题意，NEBF=NFEB=30°

：.EF=BF,可得尸（2,-2国），利用平移的性质可得“0，一孥）.

如图②-3中当/FGE=90°时，点H在对称轴左侧，点B'在对称轴上，由题意

BE,可得F（1,—\/3）＞G,—亨），利用平移的性质，可得H（",——

综上所述，满足条件的点4的坐标为（|,y）或（|,一婴）或弓，-哈.

18.（10分）（2020•盐城）若二次函数y=o?+法+c的图象与x轴有两个交点M（xi,0）,

NqXI,0）（OCXICJQ）,且经过点A（0,2）.过点A的直线，