2023年实数经典例题及习题竞赛

经典例题

类型一.有关概念的辨认ﻫ1.下面几个数:0.２3,1.…,，3π,，,其中,无理数的个数有(）

Ａ、１Ｂ、2C、3D、４ﻫ解析:本题重要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1．…,3π，是无理数ﻫ故选Cﻫ举一反三:

【变式1】下列说法中对的的是(）ﻫA、的平方根是±３B、1的立方根是±1C、=±1Ｄ、是５的平方根的相反数

【答案】本题重要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

∵＝9，9的平方根是±3，∴Ａ对的.

∵1的立方根是１，=１,是5的平方根,∴B、C、Ｄ都不对的.ﻫﻫ【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表达的数是（)ﻫ

A、1Ｂ、1.4Ｃ、D、

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一相应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知｜AO｜=,∴Ａ表达数为，故选C.ﻫ

【变式3】ﻫ【答案】∵π=3.14１5…,∴9＜3π<１0

因此3π-９＞0,３π-10<０ﻫ∴

ﻫ类型二．计算类型题ﻫ２．设,则下列结论对的的是()

A.B．ﻫC.D.

解析：（估算）由于,所以选Bﻫ举一反三：ﻫ【变式１】１）1.２５的算术平方根是＿_＿_____＿_;平方根是_____＿_＿__．2)-２7立方根是＿＿___＿_＿__.3)___________,______＿____，_____＿___＿_.ﻫ【答案】１)；．２)-3.3）,,

ﻫ【变式2】求下列各式中的ﻫ(1）(2)（3)ﻫ【答案】(1)(２）x=4或x＝－2（3）x=-４

ﻫ类型三.数形结合

3.点Ａ在数轴上表达的数为,点Ｂ在数轴上表达的数为,则A，Ｂ两点的距离为__＿___

解析:在数轴上找到A、B两点,ﻫ举一反三：ﻫ【变式1】如图，数轴上表达１，的相应点分别为A,B，点B关于点A的对称点为Ｃ，则点Ｃ表达的数是（).

A.-1B．1－C．２－Ｄ.-2ﻫ【答案】选Cﻫ

[变式2］已知实数、、在数轴上的位置如图所示:ﻫﻫ化简ﻫ【答案】:

类型四．实数绝对值的应用ﻫ4．化简下列各式:ﻫ(1)|-１.4|(2)｜π-3．１42|

（3)|-|(４)｜x－|x-３||(x≤3)

(5）｜x2＋6x+１0|ﻫ分析:要对的去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定义对的去掉绝对值。ﻫ解:(1)∵＝１.414…＜１.４ﻫ∴|-１.4|＝1.4-

(2)∵π=３.1４15９…<3.14２

∴｜π-3.1４2|=３.1４2-π

(３)∵＜,∴｜-|＝-

（４)∵ｘ≤３,∴ｘ-3≤0,ﻫ∴|ｘ-|x-3|｜=|x-(3-x)|

＝｜2x-3|=ﻫ说明:这里对|2x-3|的结果采用了分类讨论的方法,我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的结识,并能灵活运用。

（5)|x２+6x＋1０|＝|x2+6x+９+１|=｜（ｘ+3)2＋1|ﻫ∵（x＋3）2≥0,∴(x+3)2+１＞０ﻫ∴|x2+6x+1０|=x2+6x+１0ﻫ举一反三:

【变式１】化简:

【答案】=+-=

ﻫ类型五．实数非负性的应用

5．已知：=０，求实数a，b的值。ﻫ分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0,则规定a＋7＞0，分子+|a２－４9|=0，由非负数的和的性质知：3ａ－ｂ=0且ａ2-4９=0,由此得不等式组从而求出a，ｂ的值。

解：由题意得ﻫ由（2)得a２=49∴a=±7

由(3)得a>-7,∴a=-７不合题意舍去。ﻫ∴只取a=7ﻫ把a=7代入(１）得b=3ａ=２1ﻫ∴ａ＝７，b=２1为所求。ﻫ举一反三:

【变式１】已知(x-６)2++|y＋2z|＝0,求(x-y）３-z3的值。ﻫ解：∵(x-6)2+＋|y＋2z|=0ﻫ且（x-6)2≥0,≥0,｜y+2z|≥０,

几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得ﻫ∴(x-ｙ)３-ｚ３=(６-2)3－(-1）3=64+1=６５ﻫﻫ【变式2】已知那么a+b-ｃ的值为______＿＿＿__

【答案】初中阶段的三个非负数：，ﻫa＝２,b＝-5,c＝-1;ａ+b-ｃ=-2ﻫﻫ类型六．实数应用题

6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为1３cｍ，宽为8ｃｍ的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为ｘcm,ﻫ根据题意得x２＝112+１3×８ﻫ∴x2＝２25ﻫ∴x＝±15

∵边长为正,∴ｘ=-1５不合题意舍去,ﻫ∴只取x=１５（cm)ﻫ答:新的正方形边长应取15cm。ﻫ举一反三：ﻫ【变式1】拼一拼,画一画：请你用4个长为ａ,宽为ｂ的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。(4个长方形拼图时不重叠)

ﻫ(1)计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么?

（２)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多３ｃm时，大正方形的面积就比小正方形的面积ﻫ多24cｍ2，求中间小正方形的边长.ﻫﻫ解析:（１）如图，中间小正方形的边长是：ﻫ,所以面积为=

大正方形的面积=，ﻫ一个长方形的面积＝。ﻫ所以,ﻫ

答：中间的小正方形的面积，ﻫ发现的规律是:(或）ﻫ(2）大正方形的边长:，小正方形的边长:ﻫ,即,ﻫ又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2

所以有，

化简得:ﻫ将代入,得:ﻫcmﻫ答:中间小正方形的边长2.5cｍ。ﻫ

类型七．易错题

７.判断下列说法是否对的

(１)的算术平方根是-3；(2）的平方根是±15.

（３)当ｘ=０或2时,(４）是分数

解析:（1）错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故ﻫ(2)表达225的算术平方根,即=１５．事实上，本题是求1５的平方根,

故的平方根是.ﻫ（３）注意到,当x＝0时，＝,显然此式无意义,ﻫ发生错误的因素是忽视了“负数没有平方根”,故x≠0,所以当x=2时,x=0.ﻫ（４）错在对实数的概念理解不清．形如分数,但不是分数，它是无理数.ﻫﻫ类型八．引申提高ﻫ８.（1）已知的整数部分为a，小数部分为b,求a2-ｂ2的值.ﻫ（2）把下列无限循环小数化成分数:①②③ﻫ（1)分析:拟定算术平方根的整数部分与小数部分,一方面判断这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分.ﻫ解：由得

的整数部分a＝5,的小数部分,ﻫ∴ﻫ

（2）解：（1)设x=①

则②ﻫ②-①得

9x=6

∴.

（2)设①ﻫ则②ﻫ②－①,得ﻫ99x=23

∴.

(３)设①ﻫ则②ﻫ②-①，得ﻫ９9９x=107，

∴.学习成果测评:ﻫＡ组(基础)ﻫ一、细心选一选ﻫ1．下列各式中对的的是（)ﻫA.Ｂ.C.D．ﻫﻫ2.的平方根是（)

A．4Ｂ.C.2D.

３.下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-２是４的平方根④带根号的数都是

无理数。其中对的的说法有（）ﻫＡ.3个B.2个C.1个D.0个ﻫﻫ4．和数轴上的点一一相应的是(）ﻫA.整数B.有理数C.无理数D.实数ﻫﻫ５．对于来说()

Ａ．有平方根Ｂ.只有算术平方根C.没有平方根D．不能拟定ﻫﻫ６．在(两个“1”之间依次多１个“０”）中,无理数

的个数有(）ﻫA.3个B.4个Ｃ.5个D.6个ﻫﻫ7.面积为11的正方形边长为x,则x的范围是（）

A.B．C.Ｄ.

8．下列各组数中，互为相反数的是（)ﻫA.-2与B．∣-∣与C.与D.与

ﻫ9.－8的立方根与4的平方根之和是()

Ａ.0B.4Ｃ．0或-4D.0或4

10.已知一个自然数的算术平方根是ａ,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是(）

A．Ｂ．Ｃ.D．

ﻫ二、耐心填一填

11．的相反数是＿＿___＿＿_,绝对值等于的数是__＿_____,∣∣=＿_____＿。

1２．的算术平方根是＿__＿___，＝______。

13．＿_＿＿的平方根等于它自身，____的立方根等于它自身，__＿_的算术平方根等于它自身。

1４．已知∣x∣的算术平方根是8，那么ｘ的立方根是___＿_。ﻫ1５．填入两个和为6的无理数,使等式成立:___+_＿＿＝6。

１6．大于,小于的整数有____＿_个。

1７.若∣2a－5∣与互为相反数，则a=___＿__,ｂ=_____。ﻫ１8．若∣a∣=6，=３,且ａｂ0，则ａ-b=＿_____。ﻫ19.数轴上点A，点B分别表达实数则A、B两点间的距离为___＿__。

２0．一个正数x的两个平方根分别是a＋2和a-４，则ａ=_____,ｘ=__＿__。

ﻫ三、认真解一解ﻫ21．计算

⑴⑵⑶

⑷∣∣+∣∣⑸×+×ﻫ⑹4×［9+2×()］（结果保存3个有效数字)

22．在数轴上表达下列各数和它们的相反数,并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列,用“”号连接：ﻫﻫ参考答案：ﻫ一:1、Ｂ２、D3、B4、D5、C６、A7、B8、Ｃ９、C１0、Ｄ

ﻫ二:11、，π-３１2、3,

１3、0;0，；0,114、1５、答案不唯一如：16、５

１７、1８、-151９、2２0、1，９ﻫﻫ三：ﻫ21、⑴⑵-１7⑶-9⑷2⑸-3６⑹37.9ﻫ

２2、

ﻫ

B组（提高)ﻫ一、选择题：ﻫ1．的算术平方根是()

Ａ.0．14Ｂ.0.014C.D．ﻫ

2.的平方根是(）

ﻫA．-6B．36C．±6D.±ﻫ3．下列计算或判断：①±3都是２7的立方根;②；③的立方根是２;④,

其中对的的个数有()

A．1个B.2个C.3个D.4个ﻫﻫ4．在下列各式中，对的的是（)

A．;B．;C．；Ｄ.ﻫﻫ5．下列说法对的的是（）

A.有理数只是有限小数B．无理数是无限小数Ｃ．无限小数是无理数Ｄ．是分数

6.下列说法错误的是(）

Ａ.B.C．２的平方根是D．ﻫﻫ7．若，且，则的值为()

A．B．C.D．ﻫ

８.下列结论中对的的是（）ﻫA．数轴上任一点都表达唯一的有理数;B．数轴上任一点都表达唯一的无理数；ﻫC．两个无理数之和一定是无理数；D.数轴上任意两点之间尚有无数个点

ﻫ9．-27的立方根与的平方根之和是()ﻫA．0B.6C.0或-6D．－12或6

ﻫ10．下列计算结果对的的是（)ﻫA．B.C．D.

二．填空题:

11．下列各数：①3．１４1、②0.３3333……、③、④π、⑤、⑥、ﻫ⑦０．3……(相邻两个3之间0的个数逐次增长2)、⑧０中,其中是有理数的有ﻫ_＿_____＿＿_;无理数的有＿__＿_