2015中考：圆 切线的判定

2015中考数学真题分类汇编：圆（9）

解答题（共30小题）

1.（2015•大连）如图，是。O的直径，点C,。在。。上，且/。平分/C/8,过

点。作/C的垂线，与NC的延长线相交于点E,与的延长线相交于点尸.

（1）求证：砂与。。相切；_

（2）若AB=6,AD=4&,求Ef的长.

E

2.（2015・潍坊）如图，在△N8C中，AB=AC,以/C为直径的。。交8c于点。，交

78于点E,过点。作。£1/8,垂足为尸，连接。E.

（1）求证：直线。尸与。。相切；

（2）若4E=7,BC=6,求/C的长.

3.（2015•枣庄）如图，在△/8C中，ZJ5C=90°,以4？的中点。为圆心、O/为半径

的圆交ZC于点。，E是8C的中点，连接。E,OE.

（1）判断。E与。O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2=CD»2OE；

（3）若cos/BAD=&BE=6,求OE的长.

5

4.（2015・西宁）如图，已知8c为。。的直径，比I平分NE8C交。。于点力,。是射

线8尸上的一点，且满足空=空，过点0作OM_L/C于点E,交。。于点M,连接BM,

BABC

AM.

（1）求证：是。。的切线；

（2）若sin/ABM^,AM=6,求。。的半径.

5

5.(2015・广元)如图，ZB是。。的弦，。为半径。工的中点，过。作CO_LO/交弦

于点E,交。。于点尸，且C后C8.

(1)求证：8c是。。的切线；

(2)连接ZRBF,求NZ8尸的度数；

(3)如果CD=15,BE=10,sinA=-^,求。。的半径.

13

6.(2015•北海)如图，AB、8为。。的直径，弦AE〃CD,连接交CO于点尸,

过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使NPED=NC.

(1)求证：P£是。。的切线；

(2)求证：ED平分/BEP；

(3)若。。的半径为5,CF=2EF,求尸。的长.

7.(2015・莆田)如图，在四边形/8CQ中，AB=AD,对角线/C,8。交于点E,点O

在线段ZE上，。。过8,。两点，若0c=5,08=3,且cos/BOE=3.求证：C8是。

8.(2015•锦州)如图，ZU8C中，以/C为直径的。。与边48交于点。，点E为。。

上一点，连接CE并延长交Z8于点凡连接EO.

(1)若NB+NFED=90°,求证：8C是OO的切线；

(2)若FC=6,DE=3,FD=2,求。。的直径.

9.(2015•甘孜州)如图，MBC为等边三角形,以边为直径的半圆与边AC

分别交于。，尸两点，过点。作。垂足为点£

(1)判断。尸与。。的位置关系，并证明你的结论；

(2)过点尸作尸”L8C,垂足为点”，若力8=4,求"/的长(结果保留根号).

10.(2015•包头)如图，是。。的直径，点。是金上一点，且NBDE^NCBE,BD

与AE交于点F.

(1)求证：8c是。。的切线；

(2)若BD平分N4BE,求证：DE?=DF・DB；

(3)在(2)的条件下，延长ED,BA交于点、P,若PA=4O,DE=2,求尸。的长和。O

的半径.

11.(2015•本溪)如图，点。是等边△N8C中8C边的延长线上一点，且ZO8,以

为直径作。O,分别交边ZC、BC于点、E、点、F

(1)求证：是。。的切线；

(2)连接OC,交。。于点G,若4B=4,求线段CE、CG与窟围成的阴影部分的面积

S.

12.(2015•常德)已知如图，以R/A48C的ZC边为直径作。。交斜边于点E,连

接EO并延长交8c的延长线于点。，点尸为8C的中点，连接ER

(1)求证：E尸是。。的切线；

(2)若。O的半径为3,NE4C=60°,求的长.

13.(2015•武汉)如图，是。。的直径，NABT=45。,AT=AB.

(1)求证：是。。的切线；

(2)连接07交。。于点C,连接/C,求。"N"C.

14.(2015•衡阳)如图，是。。的直径，点C、。为半圆。的三等分点，过点C

作交的延长线于点E.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)判断四边形/OCO是否为菱形？并说明理由.

15.(2015•攀枝花)如图，在。。中，45为直径，OCJ_R8,弦CD与OB交于点、F,

在的延长线上有点E,且E/三ED

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若OF：OB=L3,。。的半径R=3,求剪的值.

AD

c

16.(2015•河池)如图，为。。的直径，COL/8于。，。在。。上，连接8。,

CD,延长8与48的延长线交于E,F在BE上，且FD=FE.

(1)求证：ED是。。的切线；

(2)若N尸=8,tan/BDF工求EF的长.

4

17.(2015•毕节市)如图，以△/BC的8C边上一点O为圆心的圆，经过/,8两点,

且与8c边交于点E,。为8E的下半圆弧的中点，连接力。交8c于RAC=FC.

(1)求证：ZC是。。的切线；

(2)已知圆的半径R=5,EF=3,求。尸的长.

D

18.(2015•盐城)如图，在A/BC中，NC48=90。，/C8/=50°,以为直径作。。

交BC于点D,点E在边ZC上，且满足皮＞=£4.

(1)求NZXM的度数；

(2)求证：直线EO与。。相切.

19.(2015・怀化)如图，在&△/8C中，ZACB=90°,E是8c的中点，以/C为直径

的。。与力8边交于点。，连接DE

(1)求证：MBCsACBD；

(2)求证：直线。E是。。的切线.

20.(2015•巴中)如图，Z8是。。的直径，弦8c于点尸，交。。于点E,连结

CE、AE,CD,若N4EC=NODC.

(1)求证：直线8为。。的切线；

(2)若45=5,5c=4,求线段CD的长.

21.(2015•宁夏)如图，AC是。。的直径，8C是。。的弦，点P是。。外一点，连

接尸B、AB,NPBA=NC.

(1)求证：P8是。。的切线；_

(2)连接。尸，若。尸〃8C,且。尸=8,。。的半径为2&,求3c的长.

22.(2015•昆明)如图，是。。的直径，AE平分NFAH,交。。于点E,过点E

的直线FG，/尸，垂足为尸，B为直径OH上一点，点E、尸分别在矩形的边8C

和CD±.

(1)求证：直线尸G是。。的切线；

(2)若8=10,£5=5,求。。的直径.

DC

G

H

23.(2015•厦门)已知四边形月58内接于。0,ZADC=90°,NDCBV90。,对角线

/C平分NOC8,延长。/,C8相交于点瓦

(1)如图1,EB=AD,求证：ZU8E是等腰直角三角形；

(2)如图2,连接OE,过点E作直线E尸，使得NOEF=30。，当乙4。房30。时，判断直

分别交ZC,BC于点D,E,得到DE.

(1)求证：为。C的切线;

(2)求图中阴影部分的面积.

25.(2015•黄石)如图，。。的直径/8=4,ZABC=30°,BC交。O于D,。是5c的

中点.

(1)求8C的长；

(2)过点力作。垂足为E,求证：直线。E是。。的切线.

26.（2015•营口）如图，点尸是。。外一点，P/切。。于点4,是。。的直径,

连接OP,过点8作8C〃OP交。。于点C,连接/C交0P于点D

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）若P£）=A§C7〃，AC=Scm,求图中阴影部分的面积；

3

（3）在（2）的条件下，若点E是定的中点，连接C£,求CE的长.

E

P

27.（2015•宜宾）如图，CE是。。的直径，BD切0O于点D,DE//BO,CE的延长

线交8。于点a

（1）求证：直线BC是。。的切线；

（2）若AE=2,tan/DEOd，求力O的长.

28.（2015•随州）如图，射线尸4切。。于点Z,连接尸。.

（1）在尸。的上方作射线尸C,使NOPC=NOPN（用尺规在原图中作，保留痕迹，不

写作法），并证明：PC是。。的切线；

（2）在（1）的条件下，若PC切O。于点B,AB=AP=4,求源的长.

29.（2015•潜江）如图，ZC是。。的直径，。8是。。的半径，P4切。。于点力,PB

与AC的延长线交于点M,NCOB=NAPB.

（1）求证：尸8是。。的切线；

（2）当08=3,P/=6时，求MB,的长.

30.（2015・广安）如图，P8为。。的切线，8为切点，过8作OP的垂线84垂足

为C,交。。于点力,连接P/、AO,并延长交。。于点E,与P8的延长线交于点

D.

（1）求证：尸/是。。的切线；

2015中考数学真题分类汇编：圆（8）

参考答案与试题解析

解答题（共30小题）

1.（2015•大连）如图，是。。的直径，点C,。在。。上，且NO平分NC48,过

点。作/C的垂线，与NC的延长线相交于点E,与的延长线相交于点尸.

（1）求证：E尸与。。相切；

（2）若48=6,4。=4&,求EF的长.

考点：切线的判定.

分析：（1）连接0。由题可知，E已经是圆上一点，欲证8为切线，只需证明N

OEO=90°即可.

（2）连接8。，作。GL/8于G,根据勾股定理求出8。，进而根据勾股定理求得。G,

根据角平分线性质求得然后根据△OOFs&fEF,得出比例式，即可求

3

得EE的长.

解答：（1）证明：连接0。，

•.•/£>平分NC/8,

，NOAD=NEAD.

•・•OE=OA,

：.ZODA=ZOAD,

，/ODA=/EAD.

：.OD//AE.

'：/ODP=//EF=90°且。在。。上,

.•.E/与。O相切.

(2)连接5。，作。于G,

•.18是。。的直径，

/.ZADB=90°,_

*8=6,AD=AM，

**•S£)=7AB2_AD2=2'

；00=08=3,

设OG=x,则BG=3-x,

OD1-OG2=BD2-BG2,即32-X2=22-(3-x)

解得J

3

；.OG=I,

3

•*,DG=yjo])2-OG2^^,

平分NC/8,AE上DE,DGYAB,

:.DE=DG=^/i，

3

AE=hM-DE2=4^'

'：OD//AE,

△ODFS^AEF,

•DF-OD叩EF-ED_OD

••丽而EF-'Afi'

产一即匕

EF―四

3

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，

主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表

性.

2.(2015・潍坊)如图，在A/BC中，AB=AC,以NC为直径的。。交BC于点。，交

力8于点E,过点。作。尸，垂足为F连接。£.

(1)求证：直线。尸与。。相切；

(2)若AE=7,BC=6,求/C的长.

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.

分析：(1)连接利用/8=/C,OD=OC,证得OD〃ZD易证。凡L。。，故。尸

为。。的切线；

(2)证得求得BE,利用/C=Z5=/E+8E求得答案即可.

解答：(1)证明：如图，

连接OD

\"AB=AC,

：.ZB=ZC,

'：OD=OC,

：.ZODC=ZC,

：.ZODC=ZB,

J.OD//AB,

'：DF±AB,

：.OD±DF,

•.,点。在。。上，

二直线。尸与。。相切；

(2)解：:•四边形/C0E是。。的内接四边形,

二ZAED+ZACD=180°,

,：ZAED+ZBED=180°,

：.NBED=NACD,

'：ZB=ZB,

：.ABEDs/\BCA,

•BD_BE

,,道前‘

'：OD//AB,AO=CO,

:.BD=CD&C=3,

2

又,：AE=7,

.3_BE

"7+BE"6'

：.BE=2,

:.AC=AB=AE+BE=7+2=9.

点评：此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知

此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可.

3.（2015•枣庄）如图，在△N8C中，ZABC=90°,以的中点。为圆心、为半径

的圆交ZC于点。，E是的中点，连接QE,OE.

（1）判断。E与。O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC2=CD»2OE；

（3）若COS/BADR,BE=6,求OE的长.

5

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.

分析：（1）连接。。，BD,由Z8为圆。的直径，得到为直角，可得出三角

形8cZ）为直角三角形，E为斜边8c的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到

CE=DE,利用等边对等角得到一对角相等，再由。1=。。，利用等边对等角得到•对角

相等，由直角三角形/8C中两锐角互余，利用等角的余角相等得到/力。。与NC0E互

余，可得出NODE为直角，即。E垂直于半径。£>,可得出OE为圆。的切线；

（2）证明OE是“台。的中位线，则4C=2OE,然后证明△ZBCS^BOC,根据相似三

角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角A/IBC中，利用勾股定理求得4C的长，根据三角形中位线定理OE的长即

可求得.

解答：（1）证明：连接O£）,BD,

,.18为圆。的直径，

ZADB=90°,

在RtABDC中,E为斜边BC的中点，

：.CE=DE=BE=1BC,

2

:.NC=/CDE,

,：OA=OD,

：.ZA=ZADO,

'：ZABC=90°,即ZC+ZA=90°,

:.NADO+NCDE=90°,即/OZ）E=90°,

：.DE±OD,又。。为圆的半径，

为。。的切线；

(2)证明：是8c的中点，。点是48的中点,

.,.OE是△/BC的中位线，

：.AC=2OE,

VZC=ZC,/ABC=/BDC,

：./\ABCs/\BDC,

...区维gpB(^=AC.CD.

CDBC

：.BC2=2CD»OE；

(3)解：,:COSNBAD=3,

sinNBA,

AC5

又：8£=6,E是BC的中点，即8c=12,

：.AC=15.

又：/C=2OE,

：.OE=^AC=^.

点评：本题考查了切线的判定，垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点.要

证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即

可.

4.（2015・西宁）如图，已知8c为。O的直径，B4平分NFBC交。O于点4,D是射

线8尸上的一点，且满足以=空，过点O作OML/C于点E,交。O于点M,连接BM,

AM.

（1）求证：是0O的切线；

（2）若sinNABMW,AM=6,求。。的半径.

5

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.

分析：（1）要证/。是OO的切线，连接O/,只证/。/0=90。即可.

(2)连接CM,根据垂径定理求得筋=蔽，进而求得//胡3NC8M,AM=CM=6,从

而得出s山NC8M,在RTABMC中,利用正弦函数即可求得直径力8,进而求得半径.

5

解答：(1)证明：连接04；

为。。的直径，BA平分NCBF,ADLBF,

:.ZADB=ZBAC=9Q°,NDBA=NCBA；

"：ZOAC=ZOCA,

：.ZDA0=ZDAB+ZBA0=ZBAO+ZOAC=90°,

：.DA为。。的切线.

(2)解：连接CM,

于点£,OM是半径，

.*.MC=MA.

:.NABM=/CBM,AM=CM=6,

sinZABM-sinNCBM~,

5

•••8C为。。的直径，

ZBMC=90°,

在RTABMC中，sinNCBMW

5

•.•-M-C-_3,

BC5

：.BC=10,

：.OO的半径为5.

点评：本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆

心与这点(即为半径)，再证垂直即可.同时考查了三角函数的知识.

5.(2015・广元)如图，Z8是。。的弦，。为半径。I的中点，过。作交弦

于点E,交。。于点F,且CE=CB.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)连接/尸、BF,求N/8/的度数；

(3)如果8=15,BE=\O,sinA=&,求。。的半径.

13

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.

分析：（1）连接。8,由圆的半径相等和已知条件证明/。8。=90。即可证明8c是。

。的切线；

（2）连接ORAF,BF,首先证明△0/E是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所

对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出N/8尸的度数；

(3)过点C作CGLBE于G,根据等腰三角形的性质得到EG』E=5,由于

2

NCGE=90°,NAED=NGEC,得到/GCE=/N,LADE^/\CGE,于是得到si〃/£CG=si〃

4=旦，在R’ECG中求得CG=JCE2-EG-12,根据三角形相似得到比例式四理，

13vCGGE

代入数据即可得到结果.

解答：(1)证明：连接08

u：0B=0A,CE=CB,

:・NA=NOBA,ZCEB=ZABC

又•：CDLOA

：.ZA+ZAED=ZA+ZCEB=90°

：.ZOBA+ZABC=90°

：.OBIBC

・・・BC是。。的切线.

(2)解：如图工，连接ORAF,BF,

•:DA=DO,CD^OA,

:・AF=OF,

•：OA=OF,

・・・△04尸是等边三角形，

JZAOF=60°

：.ZABF=1ZAOF=30\

2

(3)解：如图2,过点C作CGJ_3E于G,

,:CE=CB,

:.EG』E=5,

2

NADE=ZCGE=90°,NAED=ZGEC,

：.ZGCE=ZA,

：.LADEs/\CGE,

sinN.ECG=sin/A=~^~,

13

在RtECG中，

7CG=7CE2-EG2=12>

VCZ)=15,CE=13,

：.DE=2,

'：/\ADE^/\CGE,

•ADDE

,.西F

：.AD=^,CG乌，

GE5

二QO的半径OA=2AD^..

5

点评：本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理等，熟

练掌握性质定理是解题的关键.

6.(2015•北海)如图，AB.CD为。O的直径，弦AE〃CD,连接8E交CD于点尸,

过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使NPED=NC.

(1)求证：PE是。。的切线；

(2)求证：ED平分NBEP；

(3)若。O的半径为5,CF=2EF,求PD的长.

分析：(1)如图，连接OE.欲证明PE是。。的切线，只需推知OE_LPE即可;

(2)由圆周角定理得到N/E8=NCEZ)=90。，根据“同角的余角相等"推知/3=/4,结合

已知条件证得结论；

(3)设EN=x,则C/三2x,在RTAOEF中,根据勾股定理得出52=/+(2x-5)2,求得

EF=4,进而求得8E=8,CF=8,在RTMEB中，根据勾股定理求得/£=6,然后根据

sXEEP,得出晅&求得三里，即可求得PD的长.

863

解答:(1)证明：如图，连接0E.

；CD是圆。的直径，

二ZCED=90°.

'：OC=OE,

/.Z1=Z2.

又NPED=NC,即ZPED=Z1,

：.ZPED=Z2,

：.NPED+ZOED=Z2+ZOED=90°,即Z0EP=9。。,

：.OE1EP,

又'.'点E在圆上，

••.PE是。。的切线；

(2)证明：•.78、CD为。O的直径，

二NAEB=NCED=90。,

.\Z3=Z4(同角的余角相等).

又,:NPED=N1,

:./PED=N4,

即ED平分NBEP；

(3)解：设EF=x,则CF=2x,

；。。的半径为5,

/.0F=2x-5,

222

在RTAOEF中,。片二0尸2+/，g|j5=x+(Zr-5),

解得广4,

：.EF=4,

:・BE=2EF=8,CF=2EF=8,

：.DF=CD-CF=10-8=2,

・・ZB为。。的直径，

・•・ZAEB=9Q\

U：AB=1O,BE=8,

,,.AE=6,

,：NBEP=N4,ZEFP=ZAEB=90°,

：.AAEBsAEFP,

-PF_EF即PF_4

"BEAE''86'

:.PF屋,

3

：.PD=PF-DF=E-2=M

33

点评：本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形

相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

7.（2015•莆田）如图，在四边形/8C。中，AB=AD,对角线/C,BD交于点E,点O

在线段/E上，。。过8,。两点，若OC=5,OB=3,且cos/BOEW.求证：C8是。

5

。的切线.

4%/

考j占八、、•,切线的判定.

专题:证明题.

分析:连接OD,可得OB=OD,由AB=AD,得到ZE垂直平分BD,在直角三角形BOE

中，利用锐角三角函数定义求出OE的长，根据勾股定理求出8E的长，由OC-OE求

出CE的长，再利用勾股定理求出BC的长，利用勾股定理逆定理判断得到BC与OB垂

直，即可确定出8c为圆。的切线.

解答：证明：连接0。可得。8=8,

"：AB=AD,

二/E垂直平分8。，

在对△BOE中,OB=3,cos4B0E=3,

5

：.OE3

5

根据勾股定理得：屿网02_0后2=丝，CE=OC-OE=^.,

55

在.R仙CEB中,BC=.CE2+BE2=4.

；OB=3,BC=4,OC=5,

.*.OS2+5C2=OC2,

Z08c=90。，BPBCLOB,

则8c为圆。的切线.

点评：此题考查了切线的判定，勾股定理及逆定理，熟练掌握切线的判定方法是解本

题的关键.

8.（2015•锦州）如图，△NBC中，以力C为直径的。。与边45交于点。，点£为。O

上一点，连接CE并延长交于点尸，连接ED

（1）若NB+NFED=90。,求证：8C是。。的切线；

（2）若FC=6,DE=3,FD=2,求。0的直径.

考点：切线的判定.

分析：（1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出进而得

出N8+N/=90。，求出答案；

（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出进而求出即可.

解答：（1）证明：VZA+ZDEC=180°,NFED+NDEC=18O。,

：.NFED=NA,

；N8+/F£O=90°,

ZB+ZA=90°,

：.ZBCA=90a,

.•.8C是。。的切线；

（2）解：,:NCFA=NDFE,NFED=N4,

△FEDsMAC,

•DF.DE

"FC-AC，

-2_3

‘6AC,

解得：AC=9,即。。的直径为9.

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，得出△尸皮＞

s△尸/c是解题关键.

9.（2015•甘孜州）如图，4/鸟。为等边三角形，以边为直径的半圆与边AC

分别交于。，尸两点,过点。作。EL4C,垂足为点E.

（1）判断。尸与。。的位置关系，并证明你的结论；

（2）过点尸作切_L8C,垂足为点，，若止4,求尸，的长（结果保留根号）.

考点：切线的判定.

分析：(1)连接。£),由等边三角形的性质得出N8=8C,Z5=ZC=60°,证出AOBO

是等边三角形，得出N80D=/C,证出8〃/C,得出。即可得出结论；

(2)先证明AOC尸是等边三角形，得出CF=OC」8C=LB=2,再由三角函数即可求出

22

FH.

解答：解：(1)是。。的切线；理由如下:

连接0。如图1所示：

是等边三角形，

：.AB=BC=AC,ZB=ZC=60°,

'：OB=OD,

...△08。是等边三角形，

二ZBOD=60°,

：.ZBOD=ZC,

：.OD//AC,

,：DEA.AC,

J.DELOD,

是。。的切线；

(2)连接OR如图2所示：

•：OC=OF,ZC=60°,

/是等边三角形，

・・・CF=OC=^BC=1AB=2,

22

•；FH上BC,

：./FHC=90°,

：.FH=CF»sinZC=2

图'

点评：本题考查了切线的判定、等边三角形的性质与判定、平行线的判定、三角函数；

熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

10.(2015•包头)如图，48是。。的直径，点。是众上一点，且NBDE=NCBE,BD

与AE交于点F.

(1)求证：8c是。。的切线；

(2)若BD平分N4BE,求证：DE2=DF»DB；

(3)在(2)的条件下，延长B4交于点P,PA=AO,DE=2,求PO的长和。。

的半径.

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.

分析：(1)根据圆周角定理即可得出NE/B+/EA4=90。，再由已知得出NNBE+N

CBE=90°,则从而证得8c是。。的切线；

(2)通过证得得出相似三角形的对应边成比例即可证得结论.

(3)连接。/、DO,先证得OO〃8E,得出口!』2,然后根据已知条件得出

PEPB

PQ_PD_PD_2,求得尸。=4,通过证得APD4s△POD,得出PD_PA，设OA=x则

PB-PEPD+DE3P0PDf

PA=x,PO=2x,得出_1=工，解得。4=2加.

2x4

解答：（1）证明：,・ZB是。。的直径，

J/AEB=90°,

：.ZEAB+ZEBA=90°9

■:/EDB=/EAB,/BDE=/CBE,

:・NEAB:NCBE,

JNABE+NCBE=90。,

J.CBA.AB,

・・ZB是。。的直径，

.♦.8C是。。的切线；

(2)证明：,:BD平分乙4BE,

：.ZABD=ZDBE,AD=DE，

二/DEA=/DBE,

'：ZEDB=ZBDE,

：.△DEFSXDBE,

.DE-DF

，,DB~DE，

：.DE2=DF»DB；

(3)解：连接。/、DO,

\'OD=OB,

：.NODB=NOBD,

,ZNEBD=NOBD,

：./EBD=/ODB,

：.OD//BE,

.PD_PO

，,PE-PB，

'：PA=AO,

：.PA=AO=OB,

-PQ_2

*'PB~3

•PD,2

，,PE-3，

-PD_2

"PD+DE3'

,:DE=2,

:.PD=4,

NPO4+N4DE=180。,ZABE+ZADE=180°,

：.NPDA=NABE,

'：OD//BE,

：.NAOD=NABE,

：.ZPDA=ZAOD,

"：NP=NP,

：./\PDA^/\POD,

.PD_PA

"'POPD

设OA=x,

:.PA=x,PO=2x,

•-•4一_x,

2x4_

2X2-16,X=2-\[2,

：.OA=2y/2.

E

D

、一

~0

点评：本题考查了切线的判定，三角形相似的判定和性质；要证某线是圆的切线，已

知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.

11.（2015•本溪）如图，点。是等边△力3c中8c边的延长线上一点，且/C=C3,以

为直径作。O,分别交边/C、BC于点、E、点F

（1）求证：是。。的切线；

（2）连接OC,交。。于点G,若4B=4,求线段CE、CG与彘围成的阴影部分的面积

考点：切线的判定；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算.

分析：（1）求出ND4C=3O。，即可求出NN8=90。，根据切线的判定推出即可;

（2）连接OE,分别求出△/OE、AAOC,扇形OEG的面积，即可求出答案.

解答：（1）证明：•••△Z8C为等边三角形，

：.AC=BC,

又,：心CD,

:.AC=BC=CD,

为直角三角形，

：.ABLAD,

■:AB为直径，

二/。是。。的切线；

VOA=OE,ZBAC=600,

...△O/E是等边三角形,

・•・NAOE=60°,

9：CB=BA,OA=OB,

COLAB,

：.ZAOC=90°,

：.ZEOC=30°,

•••△Z8C是边长为4的等边三角形，

：.A0=2f由勾股定理得：OC=q/一井2炳,

同理等边三角形片边A0上高是｛22-I2=炳,

22a-费・2•近一30•兀•271

S阴影=SZM（。。-S缪边AAOE-S/形EOG=-

2360~3

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积,

切线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键.

12.（2015・常德）已知如图，以M△力8c的/C边为直径作。0交斜边Z8于点E,连

接EO并延长交8c的延长线于点。，点尸为8C的中点，连接E尸.

（1）求证：EF是。。的切线；

（2）若。。的半径为3,NE4c=60。，求4）的长.

考点：切线的判定.

分析：（1）连接尸0,由F为BC的中点，AO=CO,得到。尸〃Z8,由于ZC是。。

的直径，得出CEUE,根据OF//AB,得出OFLCE,于是得到OF所在直线垂直平分

CE,推出尸C=FE,OE=OC,再由N/C8=90°,即可得到结论.

（2）证出A/OE是等边三角形，得到NEO/=60。，再由直角三角形的性质即可得到结果.

解答：证明：（1）如图1,连接尸0,

•.•尸为BC的中点,AO=CO,

：.OF//AB,

•.•/c是。。的直径，

：.CE±AE,

'：OF//AB,

：.OF±CE,

...O尸所在直线垂直平分CE,

：.FC=FE,OE=OC,

:.NFEC=/FCE,Z0EC=Z0CE,

,：NACB=9Q。,

即：N0CE+/FCE=90°,

：.NQEC+NFEC=9。。,

即：NFEO=90°,

，/方为。。的切线；

（2）如图2,:。。的半径为3,

：.AO=CO=EO=3,

VZEAC=60a,OA=OE,

：.ZEOA=60°,

：.NCOD=NEO4=6。。,

,在向△OC。中，ZCOD=E>0",OC=3,

：.CD=y/3,

,在&中，ZACD=90°,

CZ）=3V3，AC=6,

：.AD=3y[j.

点评：本题考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直

平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握定理是解题的关键.

13.（2015•武汉）如图，是。。的直径，NABT=45°,AT=AB.

（1）求证：ZT是。。的切线；

（2）连接。7交。。于点C,连接/C,求S〃N〃C.

考点：切线的判定；解直角三角形.

分析：（1）根据等腰三角形的性质求得N7X8=90。，得出以，/及从而证得Z7是

。。的切线；__

（2）作CDLNT于。，设。/=x,则Z7=2x,根据勾股定理得出。7=后，TC=（遥-

l）x,由CDLAT,8得出CD〃AB,根据平行线分线段成比例定理得出里匹=芟,

_0A0TTA

即0=（遥二1）XJD,从而求得co=（1-近）x,AD=2x-2（1-近）x必近x,

xv5x2x555

然后解正切函数即可求得.

解答：解：（1）VZABT=45°,AT=AB.

：.ZTAB=90°,

：.TALAB,

・・・Z7是。。的切线；

（2）作CQ_LZT于。，

VL41J5,TA=AB=20A,

设则NT=2x,

or=Vsv,

:・TC=（遍-1）x,

CDVAT,TALAB

：.CD//AB,

.CD-TC-TD即CD_（泥-DLTD

OAOTTAxV5x2x

:・CD=（1-亚）X,77）=2（1-近）X,

55

：.AD=2x-2（1-近）x=^&x,

55

tanNTAC二）」=上Si”

AD2限2

点评：本题考查了切线的判定，勾股定理的应用，平行线的判定和性质，解直角三角

形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.

14.（2015•衡阳）如图，是。。的直径，点C、。为半圆。的三等分点，过点C

作CE，/。，交的延长线于点E.

（1）求证：CE是。。的切线；

（2）判断四边形/OCO是否为菱形？并说明理由.

考点：切线的判定；菱形的判定.

分析：（1）连接4C，由题意得俞=而=而，NDAC=NCAB,即可证明ZE〃OC,从

而得出NOC£=90。，即可证得结论;

(2)四边形/。8为菱形.由法合，则NZ)C/=NC/8可证明四边形/。8是平行

四边形，再由0/=0C,即可证明平行四边形/。8是菱形(一组邻边相等的平行四边

形是菱形)；

解答：解：(1)连接/C,

,/点CD是半圆O的三等分点，

.,•^=CD=CB，

:./DAC=NCAB,

•：OA=OC,

：.ZCAB=ZOCA,

：.NDAC=NOCA,

北〃OC(内错角相等，两直线平行)

：.ZOCE=ZE,

'：CE±AD,

：.NOC£=90°,

.".OCLCE,

；.CE是。。的切线；

(2)四边形/。8为菱形.

理由是：

VAD=CB.

ZDCA=ZCAB,

：.CD//OA,

又,：AE〃OC,

：.四边形AOCD是平行四边形,

"：OA=OC,

平行四边形是菱形.

点评：本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判

定和性质，是中学阶段的重点内容.

15.(2015•攀枝花)如图，在。。中，4B为直径,OCLZ8,弦CD与OB交于点F,

在43的延长线上有点E,且EF=ED.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若OF：OB=1：3,。。的半径R=3,求她的值.

AD

c

考点：切线的判定.

专题：证明题.

分析：（1）连结O。，如图，由EF=ED得到NEFD=NEDF,再利用对顶角相等得N

EFD=ZCFO,则由于/OCF+/CFO=90°,ZOCF=ZODF,则/ODC+

NEDF=90。,于是根据切线的判定定理可得DE是。O的切线；

（2）由OF：05=1：3得到OF=1,BF=2,设5E=x,则。E=EF=x+2,根据圆周角定理，

由为直径得到/力。8=90。，接着证明利用相似比得里正区以，即

AEDEAD

x+2-X-BD然后求出X的值后计算些的值.

6+xx+2ADAD

解答：（1）证明：连结OD,如图,

,:EF=ED,

：./EFD=/EDF,

•IZEFD=ZCFOf

：.ZCFO=ZEDFf

丁OC.LOF,

/.ZOCF+ZCFO=90°,

而OC=OD,

：.ZOCF=ZODFf

：.NODC+NEDF=90。,即ZODE=90°f

：.ODLDE,

・・・DE是。。的切线；

(2)解：VOF：05=1：3,

AOF=1,BF=2,

设则DE=EE=x+2,

9：AB为直径，

JZADB=90°f

：.NADO;NBDE,

而NADO=N4

：.ZBDE=ZAf

而/BED=/DAE,

:.AEBDsAEDA,

•DE=BE=BD,即x+2=xBD,

AEDEAD6+xx+2AD

.*.x=2,

.BD,2,1

'*AD2+22,

c

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的

切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再

证垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.

16.(2015・河池)如图，为。。的直径，COJ_/8于。，。在。。上，连接8£),

CD,延长CD与Z5的延长线交于瓦尸在8E上，且FD=FE.

(1)求证：尸。是。。的切线；

(2)若4F=8,tanZBDF=l,求E/的长.

4

考点：切线的判定.

专题：证明题.

分析：(1)连结0。，如图，由CO1_Z8得/E+/C=90。，根据等腰三角形的性质由

FE=FD,OO=OC得到NE=NEDE,ZC=ZODC,于是有NEDE+NOOC=90。，则可根

据切线的判定定理得到FD是。O的切线；

(2)连结4),如图，利用圆周角定理，由N8为。。的直径得到乙4。8=90。，则N/+

ZABD=90°,加上/BDF+/ODB=9。。,^\ZA=ZBDF,易得AFBDS

△FDA,根据相似的性质得巫国,

AFAD

再在吊中，根据正切的定义得到tanZA=tanZBDF=^^-,于是可计算出DF=2,

AD4

从而得到EF=2.

解答：(1)证明：连结OD,如图，

,：COVAB,

：.ZE+ZC=90°,

'：FE=FD,OD=OC,

:.NE=NFDE,/C=NODC,

ZFDE+ZODC=90°,

：.NOD尸=90°,

：.ODVDF,

.•.尸£＞是€)0的切线；

(2)解：连结如图，

•.75为。。的直径，

N/Q8=90。，

乙4+//3。=90。，

'：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZA+ZODB=90°,

•//BDF+/ODB=90。,

：.ZA=ZBDF,

而/DFB=N4FD,

：.AFBDSAFDA,

•DF-BD

••屈而

在孙中，tanZA=tanZBDF=^^.,

AD4

•.•DF―_1,

84

：.DF=2,

：.EF=2.

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切

线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证

垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.

17.（2015•毕节市）如图，以A/8C的8c边上点O为圆心的圆，经过4,8两点，

且与8c边交于点£,。为BE的下半圆弧的中点，连接4）交8C于尸，AC=FC.

（1）求证：4C是。。的切线；

（2）已知圆的半径R=5,EF=3,求。尸的长.

考点：切线的判定.

专题：证明题.

分析：（1）连结OD,如图，根据垂径定理的推理，由。为的下半圆弧的

中点得到。。_L8E,则N£）+N£）R9=90。，再由ZC孑C得到氏/,根据对顶角

相等得所以/CAF=/DFO,加上NO/Z)=/OZ)R则/。4D+N

CAF=90°,于是根据切线的判定定理即可得到AC是。O的切线；

(2)由于圆的半径R=5,EF=3,则。尸=2,然后在尺也。。尸中利用勾股定理计算。F

的长.

解答：(1)证明：连结04、0D,如图，

,:D为BE的下半圆弧的中点，

.,.0DA.BE,

：.ZD+ZDFO^O°,

'：AC=FC,

：.ZCAF=ZCFA,

,/NCFA=/DFO,

：.ZCAF=ZDF0,

而OA=OD,

：.ZOAD=ZODF,

：.ZOAD+ZCAF=90°,即/。ZC=90°,

：.OA±AC,

...AC是。。的切线；

(2)解：•.,圆的半径火=5,EF=3,

：.OF=2,

在放A。。尸中，：8=5,0F=2,

.•.小%2-22=&L

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的

切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再

证垂直即可.也考查了勾股定理.

18.(2015•盐城)如图，在△Z8C中，ZCAB=90°,NCBA=50°,以ZB为直径作。0

交BC于点。，点E在边ZC上，且满足EZ)=E4.

(1)求NDO4的度数；

(2)求证：直线即与。。相切.

考点：切线的判定.

分析：(1)根据圆周角定理即可得到结论；

(2)连接0E,通过AE/。丝△皮＞。，即可得到/£。。=90。，于是得到结论.

解答：(1)解；VZDBA=50°,

：.ZDOA=2ZDBA=100°,

(2)证明：连接

'AO=DO

在与4EDO中，＜EA=ED，

EO=EO

/\EAO^/\EDO,

二NEDO=/EAO,

'：NA4c=90。，

二ZEDO=90a,

与。。相切.

点评：本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，连接OE构造全等三角形

是解题的关键.

19.(2015・怀化)如图，在心△X8C中，ZACB=90°,E是8c的中点，以XC为直径

的。。与力8边交于点。，连接。E

(1)求证：&ABCs/\CBD；

(2)求证：直线。£是。。的切线.

考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.

分析：(1)根据/C为。。的直径，得出ABC。为/?/△,通过已知条件证明ABCOs

△8/C即可；

(2)连结£)0,如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由N8Z)C=90。，E