2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题22与圆的有关解答题（共50题）（含答案解析）

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）

专题22与圆的有关解答题（共50题）

一.解答题（共50小题）

1.（2020•铜仁市）如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，连接AC,CELA8于点E,。是直径A8延

长线上一点，且

（1）求证：是。。的切线；

2.（2020•温州）如图，C,。为。。上两点，且在直径4B两侧，连结CO交AB于点E,G是衣上一点,

/A£）C=NG.

（1）求证：/I=Z2.

（2）点C关于。G的对称点为F,连结CF.当点尸落在直径上时，CF=10,tanNl=（,求。。的

半径.

3.（2020•衢州）如图，ZXABC内接于。。，AB为。。的直径，AB=IO,AC=6,连结。C,弦A。分别交

OC,8c于点E,F,其中点E是AO的中点.

（1）求证：ZCAD^ZCBA.

（2）求OE的长.

4.(2020•嘉兴)已知：如图，在△O4B中，04=08,。。与AB相切于点C.求证：AC=BC.小明同学

的证明过程如下框：

证明：连结OC,

'：OA=OB,

：.NA=NB,

5L'：OC=OC,

：.^OAC^/\OBC,

：.AC=BC.

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“J”；若错误，请写出你的证明过程.

5.(2020•湖州)如图，已知△ABC是。0的内接三角形，A。是。。的直径，连结8。，8c平分乙4BD

(1)求证：ZCAD=ZABC；

(2)若AD=6,求前的长.

6.(2020•遵义)如图，AB是。。的直径，点C是。。上一点，NCAB的平分线AO交就于点。，过点。

作£>E〃BC交AC的延长线于点E.

(1)求证：QE是。。的切线；

(2)过点。作。FLAB于点F,连接BD若OF=1,BF=2,求8。的长度.

E

7.(2019•陕西)如图，OO的半径OA=6,过点A作。O的切线AP,且AP=8,连接P。并延长，与。0

交于点B、D,过点8作BC〃。/1,并与。0交于点C,连接AC、CD.

(1)求证：DC//AP-,

(2)求AC的长.

8.(2020•聊城)如图，在aABC中，AB=BC,以AABC的边AB为直径作。0,交AC于点。，过点。作

DEVBC,垂足为点E.

(1)试证明。E是0。的切线：

(2)若OO的半径为5,4c=6g,求此时OE的长.

9.(2020•上海)如图，△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，B。的延长线交边AC于点£).

(1)求证：NBAC=2NABD；

(2)当△BCD是等腰三角形时，求/BCD的大小；

(3)当A£>=2,CC=3时;求边8c的长.

A

10.(2020•金华)如图，屈的半径OA=2,OC_LA2于点C,ZAOC=60°.

(I)求弦48的长.

(2)求丽的长.

11.(2020•齐齐哈尔)如图，为0。的直径，C、。为00上的两个点，AC=CD=DB,连接40,过

点D作DEA.AC交AC的延长线于点E.

(1)求证：OE是的切线.

(2)若直径AB=6,求AO的长.

12.(2020•泸州)如图，A8是。0的直径，点力在。。上，AO的延长线与过点B的切线交于点C,E为

线段4。上的点，过点E的弦尸G_LAB于点凡

(1)求证：ZC—ZAGDi

(2)已知BC=6.CD=4,且CE=2AE,求EF的长.

13.（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是

数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具

--三分角器.图1是它的示意图，其中AB与半圆。的直径8c在同一直线上，且AB的长度与半圆的

半径相等；与AC垂直于点8,08足够长.

D

使用方法如图2所示，若要把/MEN三等分，只需适当放置三分角器，使。8经过NMEN的顶点E,点

4落在边上，半圆。与另一边EN恰好相切，切点为凡则E8,EO就把NME7V三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，

并写出“证明”过程.

已知：如图2,点4,B,O,C在同一直线上，EBLAC,垂足为点8,.

求证：.

14.（2020•安徽）如图，AB是半圆O的直径，C,。是半圆。上不同于A,8的两点，AD=BC,AC与8。

相交于点F.BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.

（1）求证：

（2）若BE=BF,求证：AC平分ND4B.

15.（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题:

如图，点。是比上一动点，线段BC=8"”，点A是线段BC的中点，过点C作CF〃B£>,交D4的延长

线于点凡当△£>€：/为等腰三角形时，求线段BD的长度.

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请

将下面的探究过程补充完整：

（1）根据点。在元上的不同位置，画出相应的图形，测量线段B。，CD,尸。的长度，得到下表的几组

对应值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD!cm8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中发现：

①''当点D为我的中点时，BD=5.0cm”.则上表中”的值是；

②“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.

（2）将线段8。的长度作为自变量x,CD和产力的长度都是x的函数，分别记为ye。和”并在平面

直角坐标系xOy中画出了函数的图象，如图所示.请在同一坐标系中画出函数），8的图象；

（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△OCF为等腰三角形时，线

16.（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的。。上，点。是半圆AB的中点，连接AC,BC,AD,BD.过

点D作DH//AB交CB的延长线于点H.

(I)求证：直线。”是OO的切线；

(2)若A8=10,BC=6,求AO,班7的长.

17.(2020•长沙)如图，A2为O。的直径，C为。0上一点，AO与过C点的直线互相垂直，垂足为

AC平分/D4B.

(1)求证：DC为的切线.

(2)若AQ=3,£>C=V3,求。。的半径.

18.(2020•襄阳)如图，AB是。0的直径，E,C是00上两点，且比=元，连接4E,AC.过点C作

CDA.AE交AE的延长线于点D.

(1)判定直线CD与0。的位置关系，并说明理由;

(2)若AB=4,CD=V3,求图中阴影部分的面积.

19.(2020•衡阳)如图，在△ABC中，ZC=90°,A。平分/BAC交BC于点O,过点A和点Q的圆，圆

心O在线段AB上，交AB于点E,交AC于点F.

(1)判断8c与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若AD=8,AE=10,求8。的长.

20.(2020•淮安)如图，A8是。。的弦，C是。。外一点，OCJ_OA,CO交AB于点P,交。。于点。,

且CP=CB.

(1)判断直线8c与。。的位置关系，并说明理由：

(2)若/4=30°,OP=\,求图中阴影部分的面积.

21.(2020•南京)如图，在AABC中，AC=8C,。是AB上一点，经过点A、C、D,交8c于点E,

过点。作。尸〃BC,交。0于点F.

求证：(1)四边形O8CF是平行四边形；

(2)AF=EF.

22.(2020•辽阳)如图，在平行四边形A8C。中，AC是对角线，ZCAB=90°,以点A为圆心，以A8的

长为半径作。4,交BC边于点E,交AC于点F,连接OE.

(1)求证：DE与。4相切；

(2)若NA8C=60°,AB=4,求阴影部分的面积.

23.(2020•荷泽)如图，在△ABC中，AB=AC,以4B为直径的。0与BC相交于点。，过点。作。0的

切线交AC于点E.

(1)求证：DELAC-,

(2)若。。的半径为5,BC=16,求QE的长.

24.(2020•天津)在。。中，弦C。与直径AB相交于点P,NABC=63°.

(I)如图①，若NAPC=100°,求NBA。和NCQB的大小；

(II)如图②，若CDYAB,过点D作。0的切线，与AB的延长线相交于点E,求/E的大

25.(2020•凉山州)如图，。。的半径为R,其内接锐角三角形ABC中，NA、NB、NC所对的边分别是

a、b、c.

ab

(1)求证:=2R；

sinZ-AsinZ-Bsinz.C

(2)若NA=60°,NC=45°,BC=4四,利用(1)的结论求AB的长和sin/8的值.

O

B

26.(2020•深圳)如图，AB为。。的直径，点C在。。上，AO与过点C的切线互相垂直，垂足为£>.连

接BC并延长，交AO的延长线于点E.

(1)求证：AE=AB；

(2)若4B=10,BC=6,求CD的长.

27.(2020•陕西)如图，ZVIBC是。0的内接三角形，NB4C=75°,N4BC=45°.连接40并延长，交

OO于点。，连接BD.过点C作。。的切线，与的延长线相交于点E.

(1)求证：AD//EC；

(2)若AB=12,求线段EC的长.

28.(2020•天水)如图，在△ABC中，/C=90°,A£>平分N84C交8c于点£>,点。在AB上，以点O

为圆心，04为半径的圆恰好经过点。，分别交AC、A8于点E、F.

(1)试判断直线与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若8。=28，AB=6,求阴影部分的面积(结果保留n).

29.(2020•内江)如图，AB是。。的直径，C是OO上一点，ODLBC于点D,过点C作。。的切线，交

。。的延长线于点E,连结BE.

(1)求证：8E是O。的切线；

(2)设OE交。。于点凡若DF=2,BC=4V3,求线段EF的长；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

F

30.(2020•武威)如图，。0是AABC的外接圆，其切线AE与直径BO的延长线相交于点E,且AE=AB.

(1)求NAC8的度数；

(2)若DE=2,求的半径.

31.(2020•福建)如图，AB与。。相切于点B,A。交。。于点C,A。的延长线交。。于点£>,E是池上

不与B,。重合的点，sinA=

(1)求NBED的大小；

(2)若。。的半径为3,点尸在A8的延长线上，且B尸=36，求证：。F与。0相切.

32.（2020•扬州）如图，ZVIBC内接于00,/8=60°,点E在直径C0的延长线上，且AE=AC.

（1）试判断AE与。。的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=6,求阴影部分的面积.

33.（2020•临沂）已知OOi的半径为ri,。。2的半径为底.以Oi为圆心，以ri+相的长为半径画弧，再以

1_

线段0102的中点P为圆心，以aO1O2的长为半径画弧，两弧交于点A,连接O1A,O2A,O1A交OO1

于点B,过点B作。24的平行线BC交0102于点C.

（1）求证：3c是。02的切线；

（2）若ri=2,,2=1,O1O2-6,求阴影部分的面积.

34.（2020•山西）如图，四边形OABC是平行四边形，以点。为圆心，OC为半径的。。与48相切于点8,

与A。相交于点。，A。的延长线交。。于点E,连接EB交OC于点F.求NC和/E的度数.

35.（2020•广元）在RtZSABC中，/ACB=90°,OA平分/BAC交BC于点O,以O为圆心，OC长为半

径作圆交BC于点D.

A

(1)如图1,求证：AB为OO的切线：

(2)如图2,AB与。。相切于点E,连接CE交0A于点F.

①试判断线段0A与CE的关系，并说明理由.

②若OF：FC=1：2,OC=3,求tanB的值.

36.(2020♦湘潭)如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的00交BC于点。，过点。作。E_LAC,

垂足为点E.

(1)求证：△A3。丝△ACZ)；

(2)判断直线。E与。0的位置关系，并说明理由.

37.(2020•武汉)如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,以A8为直径的。。交AC于点。，A£与过点。

的切线互相垂直，垂足为E.

(1)求证：A。平分/BAE；

(2)若CD=DE,求sinNBAC的值.

38.（2020•随州）如图，在RtZ:\A8C中，ZACB=90°,以斜边A8上的中线CD为直径作。0,与BC交

于点M,与AB的另一个交点为E,过M作垂足为N.

（1）求证：MN是。。的切线；

39.（2020•江西）已知NMPN的两边分别与。。相切于点A,B,。。的半径为r.

（1）如图1,点C在点A,8之间的优弧上，NMPN=80°,求/ACB的度数；

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，的度数应为多少？请

说明理由；

（3）若PC交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.

40.（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，。0的半径为1,48为。。外两点，AB=1.

给出如下定义：平移线段AB,得到。。的弦Ab（4,B'分别为点A,8的对应点），线段4V长度的最

小值称为线段AB到的“平移距离”.

（1）如图，平移线段A8得到的长度为I的弦PlP2和P3P4,则这两条弦的位置关系是；在

点P,Pi,P3,尸4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到。。的“平移距离”；

（2）若点A,B都在直线），=僚+26上，记线段42到。。的“平移距离”为力，求力的最小值：

3

（3）若点A的坐标为（2,-）,记线段AB到。。的“平移距离”为d2,直接写出“2的取值范围.

41.(2020•哈尔滨)已知：。0是△ABC的外接圆，A。为。0的直径，ADLBC,垂足为E,连接B。，延

长8。交AC于点尸.

(1)如图1,求证：NBFC=3NCAQ；

(2)如图2,过点。作DG〃BF交。0于点G,点"为DG的中点，连接OH,求证：BE=OH；

9>/2

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CG,若DG=DE,△AOF的面积为三，求线段CG的

42.(2020•咸宁)定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形.

理解:

(1)若四边形ABC。是对余四边形，则N4与NC的度数之和为

证明:

(2)如图1,历N是00的直径，点A,B,C在00上，AM,CN相交于点。.

求证：四边形ABC。是对余四边形;

探究:

(3)如图2,在对余四边形A8CO中，AB=BC,N4BC=60°,探究线段AD,CO和8。之间有有怎

样的数量关系？写出猜想，并说明理由.

B

图1图2

43.(2020•陕西)问题提出

(I)如图1,在RtZsABC中，ZACB=90°,AC>BC,NAC8的平分线交AB于点D.过点。分别作

DELAC,DFYBC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是.

问题探究

(2)如图2,A8是半圆。的直径，AB=8.尸是彳&上一点，且丽=2或，连接AP,BP.NAPB的平

分线交AB于点C,过点C分别作CELAP,CF±BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长.

问题解决

(3)如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知。。的直径AB=70m,点C在。。上,

且CA=CB.P为48上一点，连接“并延长，交。。于点力.连接AD,BD.过点尸分别作

PF±BD,重足分别为E,F.按设计要求，四边形尸££>尸内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，

圆内其余部分为绿化区.设4P的长为x(〃?)，阴影部分的面积为y(机2).

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30机时，整体布局比较合理.试求当AP=30m

时.室内活动区(四边形PEDF)的面积.

图1图2图3

44.(2020•北京)如图，48为。0的直径，C为BA延长线上一点，C。是。。的切线，D为切点,OF,

A。于点E,交CD于点、F.

(1)求证：NADC=/AOF：

45.(2020•凉山州)如图，4B是半圆4OB的直径，C是半圆上的一点，AD平分NBAC交半圆于点。，过

点。作DHVAC与AC的延长线交于点H.

(1)求证：DH是半圆的切线；

(2)若。H=2而，sin/BAC=卓，求半圆的直径.

46.(2020•枣庄)如图，在△ABC中，AB=^AC,以AB为直径的。0分别交AC、BC于点。、E,点F在

4c的延长线上，且NBAC=2NC8£

(1)求证：BF是。。的切线；

(2)若OO的直径为4,CF=6,求tan/CBF.

47.(2020•苏州)如图，已知NMON=90°,。7是NMON的平分线，A是射线OM上一点，O4=8cm动

点尸从点A出发，以Icw/s的速度沿A。水平向左作匀速运动，与此同时，动点。从点。出发，也以lcm/s

的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连接P。，交OT于点艮经过。、P、。三点作圆，交。7于点C,

连接PC、QC.设运动时间为,(6),其中0<f<8.

(1)求。P+OQ的值；

(2)是否存在实数r,使得线段OB的长度最大？若存在，求出f的值；若不存在，说明理由.

48.(2020•乐山)如图1,AB是半圆。的直径，AC是一条弦，。是死1上一点，于点E,交4c于

点凡连结8C交AC于点G,且AF=FG.

(1)求证：点。平分然；

(2)如图2所示，延长B4至点H,使连结£>，.若点E是线段AO的中点.求证：。，是

的切线.

49.(2020•成都)如图，在△ABC的边BC上取一点O,以。为圆心，OC为半径画。0,。。与边AB相

切于点。，AC=AD,连接OA交。。于点E,连接CE,并延长交线段A8于点F.

(1)求证：4C是。。的切线；

(2)若AB=10,tanB=［求。。的半径；

(3)若尸是A8的中点，试探究8D+CE与4F的数量关系并说明理由.

50.(2020•甘孜州)如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，A。和过点C的切线互相垂直，垂足为。.

(1)求证：ZCAD^ZCAB；

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）

专题22与圆的有关解答题（共50题）

一.解答题（共50小题）

1.（2020•铜仁市）如图，42是00的直径，C为。。上一点，连接AC,CELA8于点E,£＞是直径A8延

长线上一点，且NBCE=NBCD.

（1）求证：CQ是。。的切线；

BE1

（2）若AO=8,—=求C。的长.

CE2

【分析】（1）连接OC,根据圆周角定理得到/AC8=90°,根据余角的性质得到=求得/

A^ZBCD,根据等腰三,角形的性质得到/A=NAC。,等量代换得到/ACO=NBCQ,求得/Z）CO=90°,

于是得到结论；

（2）设BC=k,AC=2k,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解析】（1）证明：连接OC,

是OO的直径，

AZACB=90°,

,：CE1.AB,

：.ZCEB=90°,

ZECB+ZABC=NA8C+NC48=90°,

・・・NA=/ECB,

■:NBCE=/BCD,

：.ZA=ZBCDf

•：OC=OA,

/.ZA=ZACO,

：./ACO=/BCD,

AZACO-^-ZBCO=ZBCO^ZBCD=90°,

.,.ZDCO=90°,

・・・C。是O。的切线；

(2)解：VZA=ZBCE,

..BC,BE1

・・lanA=瑟=tanZBCE=市=衰

设5C=匕AC=2女,

VZD=ZD,ZA=ZBCD,

:.XACDsXCBD,

.BCCD1

AC~AD~2

VAD=8,

ACD=4.

2.(2020•温州)如图，C,。为OO上两点，且在直径AB两侧，连结CD交A8于点E,G是松上一点,

NA£>C=NG.

(1)求证：N1=N2.

7

(2)点C关于DG的对称点为F,连结CF.当点F落在直径4B上时，CF=10,tanZl=1,求。0的

半径.

G

B

【分析】(1)根据圆周角定理和A8为。。的直径，即可证明/1=/2；

(2)连接。尺根据垂径定理可得FO=FC=10,再根据对称性可得3C=。凡进而可得OE的长，再

根据锐角三角函数即可求出。。的半径.

【解析】(1)'：ZADC^ZG,

：.AC=AD,

,：AB为。。的直径，

：.BC=BD,

(2)如图，连接。R

'JAC=AD,A2是。。的直径,

：.AB1.CD,CE=DE,

：.FD=FC=\0,

:点C,F关于。G对称，

.•.DC=。尸=10,

：.DE=5,

2

VtanZ1=g,

AEB=DE*tanZl=2,

VZ1=Z2,

2

tanZ2=耳,

.人口DE25

-AE=t^Z2=^

29

：.AB=AE+EB=^-f

29

・・・OO的半径为一.

4

3.(2020•衢州)如图，△ABC内接于。0,AB为。。的直径，A8=10,AC=6,连结OC,弦AD分别交

OC,BC于点E,F,其中点后是A。的中点.

(1)求证：ZCAD^ZCBA.

(2)求OE的长.

【分析】(1)利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可.

CEAC

(2)证明△AECS2\BC4,推出一=一,求出EC即可解决问题.

ACAB

【解析】(1)证明：・・・AE=OE,OC是半径，

：.AC=CD,

：.ZCAD=ZCBA.

(2)解：・.・48是直径,

-ZACB=90°,

，AE=DE,

.OCLAD,

・NAEC=90°,

.ZAEC=ZACBf

.△AEC^ABCA,

CEAC

*AC~AB'

CE6

•—，

610

・CE=3.6,

4.(2020•嘉兴)已知：如图，在△OAB中，OA=OB,。。与AB相切于点C.求证：AC=BC.小明同学

的证明过程如下框：

证明：连结OC,

"：OA=OB,

：.ZA=ZB,

又,.•OC=OC,

.".△OAC^AOfiC,

：.AC=BC.

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“J”；若错误，请写出你的证明过程.

【分析】连结OC,根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.

【解析】证法错误；

证明：连结OC,

：。0与A8相切于点C,

：.OCVAB,

；OA=OB,

：.AC^BC.

5.(2020•湖州)如图，已知△ABC是。。的内接三角形，AZ)是。。的直径，连结8。，8c平分乙48£).

(1)求证：ZCAD=ZABC；

(2)若AO=6,求前的长.

【分析】(1)由角平分线的性质和圆周角定理可得NC8C=/A8C=NC4。；

(2)由圆周角定理可得前=祀，由弧长公式可求解.

【解析】(1)平分NA8D,

：.ZDBC^ZABC,

"：ZCAD^ZDBC,

：.ZCAD=ZABC；

(2),：ZCAD=ZABC,

：.CD=AC,

是。。的直径，AD=6,

CD的长=2x2xnX6=

6.(2020•遵义)如图，AB是。0的直径，点C是。。上一点，NCA8的平分线A。交尻1于点。，过点。

作DE//BC交AC的延长线于点E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)过点。作力于点凡连接BD若。尸=1,BF=2,求8。的长度.

【分析】(1)连接0。，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出/4Z)O=NL>AE,从而OO〃AE,由

OE〃BC得ZE=90°,由两直线平行，同旁内角互补得出NOOE=90°,由切线的判定定理得出答案;

(2)先由直径所对的圆周角是宜角得出/AQB=90°,再由OF=\,BF=2得出OB的值，进而得出

AF和加的值，然后证明△OB/s△AB。，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BJ的值，求算术

平方根即可得出BD的值.

【解析】(1)连接OD,如图：

•：OA=OD,

：.ZOAD=ZADO.

•・・AO平分NC43,

：.ZDAE=ZOADf

：.NADO=NDAE,

OD//AE,

■:DE〃BC,

：.ZE=90°,

：.ZODE=]SO°-ZE=90",

・・・QE是。。的切线；

(2)TAB是。。的直径，

/.ZADB=90°,

VOF=l,BF=2,

：.08=3,

・・・A尸=4,84=6.

VDF±AB,

：.ZDFB=90°,

/.NADB=4DFB,

又•：/DBF=NA3D,

:•△DBFS^ABD,

BDBF

BABD

：.BD1=BF9BA=2X6=n.

：.8。=2g.

7.（2019•陕西）如图，。。的半径。4=6,过点A作。0的切线AP,且AP=8,连接尸。并延长，与。。

交于点B、D,过点3作8C〃OA,并与。0交于点C,连接AC、CD.

(1)求证：DC//AP；

【分析】(1)根据切线的性质得到NOAP=90°,根据圆周角定理得到/BCQ=90°,根据平行线的性

质和判定定理即可得到结论；

(2)根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解析】(1)证明：：A尸是。。的切线，

4P=90°,

：8。是。。的直径，

:.NBCD=90°,

,COA//CB,

ZAOP=ZDBC,

：.NBDC=ZAPO,

：.DC//AP,

(2)解：'：AO//BC,OD=OB,

延长A。交。C于点E,

则AE_LQC,OE=jfiC,CE=jcD,

在RtZviOP中，"="62+82=10,

由(1)知，/XAOP^/XCBD,

.DBBCDC

"OP~0A~AP'

12BCDC

即——=——=——，

1068

在RtAAEC中，AC=y/AE2+CE2=J(6+^)24-(^)2=

8.(2020•聊城)如图，在△ABC中，AB=BC,以△ABC的边A8为直径作。0,交AC于点£>,过点。作

DELBC,垂足为点E.

(1)试证明DE是。。的切线；

(2)若。0的半径为5,AC=6V10,求此时。E的长.

【分析】(1)连接。。、BD,求出BD±AC,瑞成4O=OC,根据三角形的中位线得出OD〃BC,推出

ODLDE,根据切线的判定推出即可；

(2)根据题意求得AZ),根据勾股定理求得8C,然后证得△CDEs/XAB。，根据相似三角形的性质即可

求得DE.

【解析】(1)证明：连接OQ、BD,

是OO直径，

.../4。8=90°,

：.BDLAC,

'：AB=BC,

二。为AC中点,

"：OA=OB,

：.OD//BC,

,CDELBC,

.".DE1.OD,

为半径，

.,.QE是OO的切线;

(2)由(1)知8。是AC的中线,

：.AD=CD=^AC=3\/10,

的半径为5,

.\AB=6,

：.BD=yjAB2-AD2=J102-(3V10)2=V10,

*：AB=AC,

NA=NC,

VZADB^ZCED^90a,

.,.△CDE^AABD,

CDDE3^10DE

—=—,即----=~p=,

ABBD109

：.DE=3.

9.(2020•上海)如图，ZVIBC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圆，B。的延长线交边AC于点D

(1)求证：/BAC=2/ABD；

(2)当△BC£＞是等腰三角形时，求NBC。的大小；

(3)当AO=2,CD=3时、求边8c的长.

【分析】(1)连接04利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可.

(2)分三种情形：①若BD=CB,则NC=N8OC=N/WD+N84C=3NA8D②若CD=CB,则NC8D

=NCDB=3NABD.③若。B=QC,则。与A重合，这种情形不存在.分别利用三角形内角和定理构

建方程求解即可.

AEAD2AOAE4

(3)如图3中，作AE//BC交BD的延长线于E.则一=—=一，推出一=—=设O8=OA

BCDC3OHBH3

=4〃，0H=3a,根据5”2=4?2_4〃2=0屏一。“2,构建方程求出。即可解决问题.

【解析】(1)证明：连接04.

\,AB=AC.

：.AB=ACf

J.OALBC,

：.ZBA0=ZCA0f

♦：0A=0B,

・・・ZABD=ZBAO,

：.ZBAC=2ZBAD.

(2)解：如图2中，延长AO交8。于〃.

图2

①若BD=CB,则/C=N8OC=NA8O+N84C=3NA8D,

u

：AB=ACf

：.ZABC=ZC,

:"DBC=2/ABD,

VZD^C+ZC+ZBDC=180°,

A8180°,

・・・NC=3N4BO=67.5°.

②若CD=CB,则NCBO=NCD3=3NABD,

・・・NC=4NA8。，

VZDBC+ZC+ZCDB=180°,

A10ZABD=180°,

：.ZBCD=4ZABD=12°.

③若DB=DC,则。与A重合，这种情形不存在.

综上所述，NC的值为67.5°或72°♦

(3)如图3中，作AE〃8。交8。的延长线于£

*

图3

,AEAD2

则——=——=-，

BCDC3

AOAE4

/.——=—=一，设08=04=4”，OH=3小

OHBH3

'：BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

.•.25-49〃2=16“2-9/,

.225

”=患

：.BH=喀

:.BC=2BH=贲.

10.(2020•金华)如图，才&的半径。4=2,OC_L48于点C,NAOC=60°.

(1)求弦AB的长.

(2)求屈的长.

0

CB

【分析】（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到A3的长;

（2）根据NAOC=60°,可以得到NA08的度数，然后根据弧长公式计算即可.

【解析】（1）•.•砂的半径04=2,0C_L48于点C,NA0C=6（）°,

...AC=OA・sin60°=2x空=倔

：.AB=2AC=2^3；

(2)VOCLAB,NAOC=60°,

/.ZAOB=\20°,

\"0A=2,

12071X247r

通的长是:

180一3

11.（2020•齐齐哈尔）如图，AB为。。的直径，C、。为。。上的两个点，AC=CD=DB,连接49,过

点。作DELAC交AC的延长线于点E.

（1）求证：DE是的切线.

（2）若直径A8=6,求AO的长.

【分析】⑴连接0。，根据已知条件得到/80。=9180°=60°,根据等腰三角形的性质得到N4。。

=/D48=30°,得到NED4=60°,求得ODLDE,于是得到结论；

（2）连接8。，根据圆周角定理得到/4。8=90°,解直角三角形即可得到结论.

【解析】（1）证明：连接OD,

\'AC=CD=DB,

.,.ZBOD=1xl80°=60°,

'：CD=DB,

：.ZEAD=ZDAB=^Z.BOD=30°,

9：OA=OD,

：.ZADO=ZDAB=30°,

VDE±AC,

：.ZE=90°,

：.ZEAD+ZEDA=90°,

：.ZEDA=60°,

/.ZEDO=ZEDA+ZADO=90°,

:.OD.LDE,

・・・。七是O。的切线；

(2)解：连接3D,

•・・A8为。。的直径，

AZADB=90°,

9：ZDAB=30°,AB=6,

1

：.BD=^AB-3,

.".AD=V62-32=3>/3.

12.（2020•泸州）如图，A8是。。的直径，点。在。。上，AO的延长线与过点8的切线交于点C,E为

线段AO上的点，过点E的弦/GJ_A8于点H.

(1)求证：ZC=ZAGD；

(2)已知BC=6.C£>=4,且CE=24E,求EF的长.

c

d

G

【分析】(1)连接BO,根据圆周角定理得到NAE>8=90°,根据切线的性质得到NA8C=90°,得到/

C=ZABD,根据圆周角定理即可得到结论；

(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论.

【解析】(1)证明：连接

是。。的直径，

AZADB=90°,

：.ZDAB+ZDBA^90Q,

是。。的切线，

...NA8C=90°,

.•./C+NC4B=90°,

AZC=ZABD,

ZAGD=ZABD,

：.ZAGD=ZC；

(2)解：；NBOC=/A8C=90°,ZC=ZC,

/.△ABC^ABDC,

.BCCD

••=,

ACBC

64

••——,

AC6

：.AC=9,

：.AB=y/AC2-BC2=375,

9：CE=2AE,

・-3,CE=6,

■:FHLAB,

：.FH//BC,

.^AHE^/XABC,

.AHEHAE

**AB~BC~AC

tAHEH3

3^569

：.AH=V5,EH=2,

连接AF,BF,

・・・A5是。。的直径，

AZAFB=90°,

：.NAEH+/BFH=NAFH+NFAH=90°,

:.NFAH=NBFH,

.FHBH

a，AH~FH

・里_延

V5FH

：.FH=\<10,

：.EF=y/10-2.

13.（2020•河南）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是

数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具

--三分角器.图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且A8的长度与半圆的

半径相等；与AC垂直于点B,足够长.

D

使用方法如图2所示，若要把NMEN三等分，只需适当放置三分角器，使08经过NMEN的顶点E,点

A落在边EM上，半圆0与另一边EN恰好相切，切点为尸，则EB,E0就把/MEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，

并写出“证明”过程.

已知：如图2,点4,B,0,C在同一直线上，EBLAC,垂足为点8,EN切半圆。于C.

求证：EB,E。就把NMEN三等分.

【分析】根据垂直的定义得到NA8E=NOBE=90°,根据全等三角形的性质得到N1=/2,根据切线

的性质得到N2=/3,于是得到结论.

【解析】己知：如图2,点A,B,0,C在同一直线上，EB±AC,垂足为点8,AB=0B,E7V切半圆0

于H

求证：EB,E。就把NMEN三等分，

证明：VEBXAC,

:.NABE=N0BE=9Q°,

'：AB=OB,BE=BE,

.♦.△ABE四△OBE(SAS),

,,.Z1=Z2,

"：BEYOB,

•••8E是OE的切线，

YEN切半圆。于F,

；./2=N3,

；.Nl=N2=/3,

：.EB,EO就把/MEN三等分.

故答案为：AB=OB,EN切半圆。于尸；EB,£。就把NMEN三等分.

14.(2020•安徽)如图，是半圆。的直径，C,£＞是半圆。上不同于A,8的两点，AD=BC,AC与80

相交于点足BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E.

(1)求证：ZXCBA岭△D4B；

(2)若BE=BF,求证：AC平分/D4B.

【分析】(1)根据圆周角定理得到/AC8=/AOB=90°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

(2)根据等腰三角形的性质得到根据切线的性质得到NA8E=90°,根据三角形的内角

和以及角平分线的定义即可得到结论.

【解析】(1)证明：•.,AB是半圆。的直径，