2023版高考数学考点13利用导数探求参数的范围问题试题解读与变式

考点十三：利用导数探求参数的范围问题【考纲要求】〔1〕了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间〔其中多项式函数一般不超过三次〕.〔2〕了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值〔其中多项式函数一般不超过三次〕；会求闭区间上函数的最大值、最小值〔其中多项式函数一般不超过三次〕.【命题规律】利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比拟多.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变别离，转化为求函数的最值问题来处理．这也是2023年考试的热点问题.【典型高考试题变式】〔一〕利用单调性求参数的范围例1.【2023全国1卷〔文〕】假设函数在上单调递增，那么的取值范围是〔〕．A．B．C．D．【答案】C【方法技巧归纳】谈到必要条件的问题，如取，那么转化为，因此直接选择C选项．这缘于运气好，假设不然取，那么式子恒成立；取，那么，此时只能排除A选项．此外，可在未解题之前取，此时，那么，但此时，不具备在上单调递增，直接排除A，B，D.应选C．【变式1】【改编例题中条件，给定函数在给定区间上单调〔并未告知单增还是单减〕，求参数范围】【2023河北大名一中高三实验班第一次月考〔理〕】假设函数在区间上为单调函数,那么的取值范围是_______.【答案】或【解析】此题考查导数的运算、函数的性质,考查恒成立问题与转化思想、计算能力.在区间上,,当函数在区间上为单调增函数时,恒成立,那么;当函数在区间上为单调减函数时,恒成立,那么,所以或【变式2】【改编例题中条件，给定函数不单调，求参数取值范围】【2023福建高三总复习训练〔文〕】函数在不单调，那么的取值范围是___.【答案】【解析】令得或，那么或，解得.【变式3】【改编例题中条件，给定函数存在单调区间，求参数取值范围】【2023河北武邑中学高三下学期期中考试〔文〕】函数，〔为常数〕.〔1〕函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；〔2〕假设函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；〔3〕假设，，且，都有成立，求实数的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕〔3〕试题解析:〔1〕因为，所以，因此，所以函数的图象在点处的切线方程为，由得.由，得.〔还可以通过导数来求〕〔2〕因为，所以，由题意知在上有解，因为，设，因为，那么只要解得，所以的取值范围是.〔3〕不妨设，因为函数在区间上是增函数，所以，函数图象的对称轴为，且.当时，函数在区间上是减函数，所以，所以，等价于，即，等价于在区间上是增函数，等价于在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，所以，又，所以.〔二〕利用极值、最值求参数的取值范围例2.【2023山东卷〔理〕】设函数〔为常数，是自然对数的底数〕.〔Ⅰ〕当时，求函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】〔I〕的单调递减区间为，单调递增区间为.〔II〕函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【解析】试题分析：〔I〕函数的定义域为，由可得，得到的单调递减区间为，单调递增区间为.〔II〕分，，，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.试题解析：〔I〕函数的定义域为，由可得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.〔II〕由〔I〕知，时，函数在内单调递减，故在内不存在极值点；当时，设函数，因为，当时，当时，，单调递增，故在内不存在两个极值点；当时，得时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以函数的最小值为，函数在内存在两个极值点；当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.【方法技巧归纳】转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特成效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答.【变式1】【改编函数条件，给定函数极大、极小值都有求参数范围】【2023河南驻马店正阳第二高级中学开学考〔文〕】函数既存在极大值又存在极小值，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】函数既存在极大值，又存在极小值，，方程有两个不同的实数解，，解得或，实数的取值范围是，应选B.【变式2】【改编函数条件，给定函数有最大值求参数范围】【2023海南八校联盟考试〔理〕】函数在区间上有最大值，那么实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B〔三〕在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围例3.【2023天津，文19】设，.函数，.〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕函数和的图象在公共点〔x0，y0〕处有相同的切线，〔i〕求证：在处的导数等于0；〔ii〕假设关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕递增区间为，，递减区间为.〔2〕〔ⅰ〕在处的导数等于0.〔ⅱ〕的取值范围是.【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求函数的导数，再根据，求得两个极值点的大小关系，，再分析两侧的单调性，求得函数的单调区间；〔Ⅱ〕〔ⅰ〕根据与有共同的切线，根据导数的几何意义建立方程，求得，得证；〔Ⅲ〕将不等式转化为，再根据前两问可知是极大值点，由〔I〕知在内单调递增，在内单调递减，从而在上恒成立，得，，再根据导数求函数的取值范围.〔II〕〔i〕因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.〔ii〕因为，，由，可得.又因为，，故为的极大值点，由〔I〕知.另一方面，由于，故，由〔I〕知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，.令，，所以，令，解得〔舍去〕，或.因为，，，故的值域为.所以，的取值范围是.【方法技巧归纳】此题此题考点为导数的应用，此题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，防止讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比拟容易入手，但第三问，需分析出，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.【变式1】【改编例题中函数模型，求参数的最值】【2023全国2卷〔理〕改编】函数=.〔1〕讨论的单调性；〔2〕设，当时，,求的最大值.【答案】〔1〕函数在R上是增函数；〔2〕2.【解析】试题分析：此题第〔1〕问，判断函数的单调，关键是判断导数的正数；对第〔2〕问，可构造函数.试题解析：〔1〕因为，当且仅当时等号成立，所以函数在R上是增函数；〔2〕因为=，所以=.(1)当时,,等号仅当时成立，所以在R上单调递增，而，所以对任意，；〔2〕当时，假设满足，即时，，而，因此当时，，综上，的最大值为2.【变式2】【改编例题条件，在不等式有解条件下，求参数的取值范围】【2023全国1卷〔文〕】设函数，曲线处的切线斜率为0〔1〕求b；〔2〕假设存在使得，求a的取值范围。【答案】〔1〕;〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：，利用上述关系不难求得，即可得;〔2〕由第〔1〕小题中所求b，那么函数完全确定下来，那么它的导数可求出并化简得：根据题意可得要对与的大小关系进行分类讨论，那么可分以下三类：〔ⅰ〕假设，那么，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.〔ⅱ〕假设，那么，故当时，；当时，，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，无解那么不合题意.〔ⅲ〕假设，那么.综上，a的取值范围是.试题解析：〔1〕，由题设知，解得.〔2〕的定义域为，由〔1〕知，，〔ⅰ〕假设，那么，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.【变式3】【改编例题条件，双变量问题求参数的取值范围】【2023湖南永州高三上学期一模〔文〕】函数，，其中为自然对数的底数.〔1〕讨论函数在区间上的单调性；〔2〕，假设对任意，有，求实数的取值范围.【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕对函数进行求导可得，分为，，和四种情形，根据导数与0的关系可判断出其单调性；〔2〕将题意转化为恒成立，利用导数判断单调性求出最值即可.试题解析：〔1〕，①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减〔2〕，依题意，时，恒成立.，那么当时，，在上单调递减，而在上单调递增，，，得，当时，，与在上均单调递增，，，，得与矛盾，综上所述，实数的取值范围是【变式4】【改编例题条件，函数中的恒成立与存在性的综合问题】【2023河北石家庄二中八月模拟考试〔理〕】函数.〔Ⅰ〕求的单调区间；〔Ⅱ〕假设，假设对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间时;(2).【解析】试题分析：〔1〕求导，由得减区间，由得增区间；〔2〕当时，，又，所以对任意，存在，使得成立，存在，使得成立，存在，使得成立，的图象与直线有交点，方程在上有解.试题解析：〔Ⅰ〕因为，所以，因为的定义域为，当时，或时，所以的单调递减区间是，单调递增区间时.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，又，所以对任意，存在，使得成立，存在，使得成立，存在，使得成立，因为表示点与点之间距离的平方，所以存在，使得成立，的图象与直线有交点，方程在上有解，设，那么，当时，单调递增，当时，单调递减，又，所以的值域是，所以实数的取值范围是.【数学思想】数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数〞和“以数辅形〞两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比方应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地说明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.【利用导数探求参数的范围问题注意点】〔1〕研究函数问题应竖立定义域优先原那么；(2)任意，指的是区间内的任意一个自变量；存在，指的是区间内存在一个自变量，故此题是恒成立问题和有解问题的组合.【典例试题演练】1．【2023云南师大附中高考适应性月考卷二〔理〕】函数，，如果对于任意的，都有成立，那么实数的取值范围为〔〕A.B.C.D.【答案】C2．【2023山西五校第一次联考〔理〕】，假设对任意的，不等式恒成立，那么的最大值为()A.B.3C.D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，应选A.3．【2023辽宁大连八中模拟考试〔理〕】设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A4．【2023安徽合肥高三调研性检测〔理〕】函数，假设有且仅有一个整数，使，那么实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数使得或〞。因为，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，即函数在处取最大值，由于，因此由题设可知，解之得，应填答案。5．【207广西柳州铁路一中月考〔文〕】函数有两个极值点，那么实数的取值范围是_____【答案】【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx令f′(x)=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1，函数有两个极值点,等价于f′(x)=lnx−2mx+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，，当m=时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切，由图可知,当0<m<时，y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，那么实数m的取值范围是(0,)，故答案为：(0,).6．【2023贵州遵义四中第一次月考〔理〕】函数在内存在最小值，那么的取值范围为__________．【答案】【解析】由题，令可得或，当时在上恒成立，在上单调递增，在内不存在最小值；当时在和上单调递增，在上单调递减，根据题意此时得到；当时在和上单调递增，在上单调递减，根据题意此时得到；综上的取值范围为7．【2023河北邢台第一次月考〔文〕】函数的图象在点处的切线方程为.〔1〕假设在上是单调函数，求的取值范围；〔2〕证明：当时，.【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕函数的图象在点处的切线方程为，得出，得出m的值，在上是单调函数，利用子集的思想得解.〔2〕证明：当时，，可证出即可.〔2〕证明：由〔1〕知.设那么，令得；令得.∴.∵，∴，∴，∴，∴.8．【2023河南豫南九校第二次质量考评数学〔文〕】函数.〔1〕假设在处的切线是，求实数的值；〔2〕当时，函数有且仅有一个零点，假设此时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕假设在处的切线是得出解得a;(2)有且仅有一个零点即方程〔〕有唯一的实数根,别离〔，即直线与函数〔〕的图象有唯一的交点，构造函数研究单调性得出最值即得解.试题解析：〔1〕，〔〕，由，∴〔2〕由〔〕即方程〔〕有唯一的实数根所以〔〕即直线与函数〔〕的图象有唯一的交点构造函数〔〕〔〕令，，而，∴；，，；，，∴，；，且，；，所以可化为〔〕的最小值〔〕所以在上减，在上增所以综上实数的取值范围是9．【2023辽宁大连八中模拟考试〔理〕】函数，函数.〔Ⅰ〕求函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；〔Ⅲ〕假设，求证：不等式：.【答案】(1)略〔2〕〔3〕略〔Ⅱ〕即在上恒成立设，考虑到，在上为增函数，当时，在上为增函数，恒成立当时，，在上为增函数，在上，，递减，，这时不合题意，综上所述，〔Ⅲ〕要证明在上，只需证明由〔Ⅱ〕当a=0时，在上，恒成立再令在上，，递增，所以即，相加，得所以原不等式成立.10．【2023江西名校模拟考试第一次五校联考数学〔理〕】函数的图象在点处的切线方程为.(1)求曲线在处的切线方程；(2)假设存在，满足，求的取值范围.【解析】试题分析：〔1〕由求得切线方程为；〔2〕将问题转化为在上有解，令，,再由求得，在上递减.试题解析：〔1〕由，得.所以，，那么，故所求切线方程为即.〔2〕，即，所以问题转化为在上有解.令，，那么因为，所以，，从而，，所以，即函数在上递减，因此，.要使在上有解，必须有，即所以的取值范围为11．【2023江苏常州横林高级中学高三月考〔理〕】函数，实数为常数〕．〔1〕假设，且函数在上的最小值为0，求的值；〔2〕假设对于任意的实数，函数在区间上总是减函数，对每个给定的，求的最大值．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕先求导，求函数在区间上的极值，注意极值点是否在定义域内，进行分类讨论，确定最小值，列出关于的方程即可得结果；〔2〕函数在区间上单调递减，转化为导函数小于等于0恒成立，再转化为二次函数根的分布问题.试题解析：〔1〕当时，．那么．令，得〔舍〕，．①当>1时，1-0+↘↗∴当时,．令，得．②当时，≥0在上恒成立，在上为增函数，当时,．令，得〔舍〕．综上所述，所求为．(2)∵对于任意的实数，，在区间上总是减函数，那么对于x∈(1,3)，＜0，∴在区间[1,3]上恒成立．设g(x)=，∵，∴g(x)在区间[1,3]上恒成立．由g(x)二次项系数为正，得即亦即∵=，∴当n＜6时，m≤，当n≥6时，m≤，∴当n＜6时，h(n)=，当n≥6时，h(n)=，即12．【2023天津市滨海新区八校联考〔理科〕】函数.〔1〕假设函数在定义域单调递增，求实数的取值范围；〔2〕令，，讨论函数的单调区间；〔3〕如果在〔1〕的条件下，在内恒成立，求实数的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕见解析〔3〕试题解析：〔1〕，因为在定义域单调递增，所以恒成立即而〔当且仅当时等号成立〕，故即为所求.〔2〕，①假设，，那么在单调递增②假设，令，，，那么在单调递增，在单调递减〔3〕由题意，须对任意恒成立，设，∵，，∴，，∴即在上单调递增，假设对任意恒成立，那么应令综上所述，即为所求.13．【2023贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考〔一〕〔理〕】设，.〔1〕令，求的单调区间；〔2〕在