2023年数学竞赛训练题上册

函数与极限3．求，其中.4、设当时,方程有且仅有一个解,求的取值范围.5．求.6、设在上连续，证明:。证明:在上连续,因而有界，所以，当时有。８、设函数可微,,且满足,求。9．求曲线的斜渐近线方程。10、设函数在上连续,在内二阶可导,且，,证明：，使得。11、设函数满足，且对时,有，证明：(１）存在;（２）。1２、设具有二阶连续的偏导数,且满足，用变量代换，将变成,试求满足的常数和。1３.设,试讨论在处的连续性。14.设,证明:在(0，０)处可微,并求。15求分析:由于=ﻩ 且:16.试求的值。导数与微分1.设求函数ｕ在点Ｍ（1,1，1)处沿曲面在点M处的外法线方向的方向导数２、设其中函数具有二阶连续偏导数,证明：6，求7．已知,求8.设在内可导，且,又,求9．设在处的改变量为（）,,求１0.由方程（）拟定是的函数,求1１．是由拟定的函数,求１2、设函数是可微函数,假如证明:ｕ仅为的函数。中值定理与导数的应用1．设函数f（ｘ，y)可微,且对任意ｘ,y,t，满足,是曲面上的一点，求当时，在点处的法线方程.2.设连续函数在u=0处可导,且,。试求：．3、设函数在上可微，且对满足证明：４、设二元函数，其定义域为（1）设点求过点的方向向量,使为最大，并记此最大值为．(2）设在D的边界上变动，求的最大值.5、设函数在上连续,且存在使得，证明：使得。7．设函数,若为的极大值,求常数满足的条件。9、设函数在上有连续的导数，且存在，使得，证明:存在,使得10、设在上半空间上函数有连续的二阶偏导数，且其中,存在，，，求的表达式。11.设在上二阶可导,且而当时,证明在内，方程有且仅有一个实根.1２.设有二阶连续偏导数,，且，证明在取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值.13．设ｆ(x）在[0，1］上连续,f(0)=f（1),求证:对于任意正整数n，必存在，使．14.15、(10分)讨论是否存在[0,２]上满足下列条件的函数,并阐述理由：f(x)在[0，2]上有连续导数,f(0)＝f（2）＝1，不定积分与定积分1.求不定积分，其中：..２.设曲线是平面与球面的交线，试求积分..3、求最小的实数C,对于连续函数,总有成立。4、设球和球的公共部分体积为时,求的表面位于内的部分的面积．5.设,求曲线与x轴所围封闭图形的面积S.6、是否存在上的连续函数,使得:与成立7、设在上半平面内，函数具有连续偏导数,且对任意的都有.证明:对D内的任意分段光滑的有向简朴闭曲线L，都有.8、设函数在区间[０,1]上具有连续导数，，且满足,其中.求的表达式.9．设是由锥面与半球面围成的空间区域,是的整个边界的外侧,计算。10、设二元函数，求。11.设为周期函数,证明:。12．设，计算。13、求曲线积分，其中是球面与柱面的交线在的部分，的方向规定为:从轴正向往下看曲线所围成的球面部分总在的左边。1４．设Ω是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧,试求：微分方程5.设二阶线性微分方程（均为常数）有特解，求此方程的通解.6、设函数是