江苏省南京市龙潭职业中学2021年高三数学理联考试题含解析

江苏省南京市龙潭职业中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中的最小值为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B2.已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的曲线关于原点对称，则函数f（x）的图象(

) A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D略3.定义在上的函数满足（），，则等于（

）

A．2

B．3

C．6

D．9参考答案：【解析】令，令；令得．4.在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：C由余弦定理，知，所以所以，可化为：，所以，，所以，B＝。5.下列四个函数中，在区间，上是减函数的是(

).

.

.

.参考答案：B6.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数：，，，.则“同形”函数是

(

)

A．与

B．与

C．与

D．与参考答案：D7.分别是双曲线：的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，则的周长为（

）A．15

B．16

C.

17

D．18参考答案：D8.直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则△ABP面积的取值范围是A.[2,6] B.[4,8]C. D.参考答案：A分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点,则点P在圆上圆心为（2，0），则圆心到直线距离故点P到直线的距离的范围为则故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。9.复数z满足，则复数z等于（）A. B. C.2 D.－2参考答案：B【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数满足，∴，故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．10.设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(?UQ)＝()A．{1,2,3,4,6}

B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}

D．{1,2}参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为,则________.

参考答案：由题意知，因为，所以，所以，所以切线方程为，即，令x=0得；令y=0得，因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为,，所以。12.在的展开式中项的系数为__________．参考答案：1120【分析】求出二项展开式的通项，令的指数为2，求出项数，即可求解.【详解】展开式的通项为，令，得，所以展开式中含项的系数为．故答案为：【点睛】本题考查二项展开式定理，熟记展开式通项是解题的关键，属于基础题.13.如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为

.参考答案：314.已知定义在R上函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且当x＞0时，f（x）=1+ax，若f（﹣1）=﹣，则实数a=．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），f（1）=，利用当x＞0时，f（x）=1+ax，建立方程，即可求出a的值．【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），f（1）=，∵当x＞0时，f（x）=1+ax，∴1+a=，∴．故答案为．15.已知函数是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，则____________．参考答案：2014略16.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则数列{an}的公差是________．参考答案：417.在的展开式中的常数项为

.参考答案：10略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，若存在实数使成立，求实数a的取值范围.参考答案：试题分析：先将问题“存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.试题解析：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“”，故常数的取值范围是．考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.19.（本小题满分12分）据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的学生就其上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图。（I）为减轻学生负担，学校规定上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿，请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可以申请在校内住宿；（II）从新入校的学生中任选4名学生，以频率分布直方图中的频率作为概率，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和期望．

参考答案：（I）78；（Ⅱ）见解析

【知识点】频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差（I）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：（0.0030+0.0021+0.0014）×20=0.13，所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为600×0.13=78．（Ⅱ）X取到的可能值为0,1,2,3,4，由频率分布直方图知，每位学生上学所需时间少于20分钟的频率为，;X的分布列为【思路点拨】（I）就是新生上学所需时间不少于1小时的频率，然后求解校600名新生中可申请在校内住宿的人数．（Ⅱ）X取到的可能值为0,1,2,3,4，先由频率分布直方图求出每位学生上学所需时间少于20分钟的频率，再计算概率，然后列出分布列，最后求出期望。

20.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足8Sn=a+4an+3（∈N*），且a1＜3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=，设{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn+对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案：【考点】数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得Tn，对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）∵，∴8Sn﹣1=+4an﹣1+3（n≥2），∴，∴，∵an＞0，∴an﹣an﹣1=4（n≥2）．∴数列{an}是以4为公差的等差数列，又∵，∴而a1＜3，∴a1=1，∴an=4n﹣3（n∈N*）．（2），，=+…++n×，两式相减得，∴，∴．若n为偶数，则．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，∴λ＞﹣2．∴﹣2＜λ＜3．【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（本小题共13分）如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中

，且为中点.(I)求证：平面；(II)求证：.

参考答案：证明:(I)因为为中点，所以

………1分又，所以有

…2分所以为平行四边形,所以

………3分又平面平面所以平面.

………5分(II)连接.因为所以为平行四边形，

…6分又,所以为菱形，所以，

…7分因为正三角形,为中点，所以，

…8分

又因为平面平面,平面平面，

所以平面，

…10分而平面，所以，[来源:Zxxk.Com]又，所以平面.

…12分又平面，所以.