江苏省常州市金坛岸头中学高三数学理月考试题含解析

江苏省常州市金坛岸头中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知非负实数满足,则关于的一元二次方程有实根的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．解答： 解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合．4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有下列五个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则；⑤若，，，则．则所有正确命题的序号是A.①③⑤

B.②④⑤

C.①②⑤

D.①②④参考答案：C略5.设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．8参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22=4个．故选择答案C．6.已知函数，若方程的其中一个根在区间（1，2）内，则a－b的取值范围为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B7.设为等比数列的前项和，已知，则公比（

）（A）3

（B）4

（C）5

（D）6参考答案：B8.以表示等差数列的前项的和，若，则下列不等关系不一定成立的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】等差数列的性质．D2B

解析：∵表示等差数列的前项的和，，∴S6﹣S5=a6＜0，则有可能成立，即A有可能成立；∵5a5﹣（a1+6a6）=5（a1+4d）﹣[a1+6（a1+5d）]=﹣2a1﹣10d=﹣2a6＜0，∴不成立，即B不成立；∵a5＞0，a4＞0，a3＞0，∴有可能成立，即C是有可能成立；∵a3+a6+a12﹣2a7=（3a1+18d）﹣（2a1+12d）=a1+6d=a7＜0，∴，故D成立．故选：B．【思路点拨】a5＞0，a6＜0，这个数列是递减数列，公差d＜0．由此入手对各个选项逐个进行分析，能求出结果．9.某几何体的正视图和侧视图均如图（1）所示，则该几何体的俯视图不可能是（

）

参考答案：D因为图形为D时，正视图上方的矩形中间应该有一条虚线．10.函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x﹣8+2x若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）?f（b）＜0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案．【解答】解：当x=3时，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0当x=4时，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0即f（3）?f（4）＜0又∵函数f（x）=log3x﹣8+2x为连续函数故函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（3，4）故选B【点评】本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：①解方程；②利用零点存在定理；③利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取[0,3]上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为

．参考答案：

12.在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线(为参数)的距离是_________.参考答案：13.动点在边长为1的正方体的对角线上从向移动，点作垂直于面的直线与正方体表面交于，，

则函数的解析式为

参考答案：14.复数z满足条件，则的取值范围是_______。参考答案：

[]15.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，D，E分别为BC，AB上的点，∠ADC=∠EDB=，DB=，AE=3EB，则边长AC的值为．参考答案：【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，设DE=y，EB=x，AE=3x，则AD=，AC=CD=，在两个三角形中，分别建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，设DE=y，EB=x，AE=3x，则AD=，AC=CD=，∴△DEB中，x2=2+y2﹣2=2+y2﹣2y，△ABC中，16x2=（）2+（+）2，联立解得AC=，故答案为．【点评】本题考查余弦定理、勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16.在展开式中含的项的系数

参考答案：略17.在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，其中．（I）当a=1时，求不等式的解集．（II）若不等式的解集为｛x|，求a的值．参考答案：

因为，所以不等式组的解集为

由题设可得=，故…………10分19.（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前3项和＝9，且成等比数列.（1）求数列的通项公式和前n项和；（2）设为数列的前n项和，若对一切恒成立，求实数的最小值.参考答案：（1）设，由＝9得：①；……2分成等比数列得：②；联立①②得；……4分故………………6分（2）∵…………8分∴………………10分由得：令，可知f(n)单调递减，即………………12分20.（12分）已知函数f（x）＝cos（x﹣），g（x）＝ex?，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y＝g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x?f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）试探究当x∈[，]时，方程g（x）＝x?f（x）的解的个数，并说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）依题意得，，,所以曲线在点处的切线方程为

……4分（Ⅱ）等价于对任意，．设，．则 8分因为，所以，所以，故在单调递增，因此当时，函数取得最小值；所以，即实数的取值范围是． 12分（Ⅲ）设，．①当时，由（Ⅱ）知，函数在单调递增，故函数在至多只有一个零点，又，而且函数图象在上是连续不断的，因此，函数在上有且只有一个零点.②当时，恒成立．证明如下：设，则，所以在上单调递增，所以时，，所以，又时，，所以，即，即．故函数在上没有零点.③当时，，所以函数在上单调递减，故函数在至多只有一个零点，又，而且函数在上是连续不断的，因此，函数在上有且只有一个零点.综上所述，时，方程有两个解.

21.（本题满分14分）如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小．参考答案：解:（Ⅰ）连接，如图，∵、分别是、的中点，是矩形，∴四边形是平行四边形，∴．

…2分∵平面，平面，∴平面．…………4分（Ⅱ）连接，∵正方形的边长为，，∴，，，则，∴．

……6分∵在长方体中，，，∴平面，又平面，∴，又，∴平面．

………………8分（Ⅲ）在平面中过点作于，连结，∵，，∴平面，又平面，

………………9分∴，又，且，∴平面，而平面，

…………10分∴．∴是二面角的平面角．

………12分在中，，∴，，∴二面角的大小为．

…14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，∴又点，，∴∴，且与不共线，∴．又平面，平面，∴平面．

…………………4分（Ⅱ）∵，∴，，即，，又，∴平面．

……8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，∴为平面的法向量．∵，，∴为平面的法向量．∴，∴与的夹角为，即二面角的大小为．…14分（Ⅲ）（法三）设二面角的大小为，在平面内的射影就是，根据射影面积公式可得，，∴，∴二面角的大小为

…14分22.设椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心及C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：x3﹣24y﹣20﹣4（1）求曲线C1、C2的标准方程；（2）设直线l过抛物线C2的焦点F，l与椭圆交于不同的两点M，N，当=0时，求直线l的方程．参考答案：考点：抛物线的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意（﹣2，0），一定在椭圆C1上，设C1方程为（a＞b＞0），可得a=2．于是椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2．可判断点（，）也在C1上，代入椭圆方程即可解得b2，因此得到椭圆的方程．从而（3，﹣2），（4，﹣4）一定在抛物线C2上，设C2的方程为y2=2px（p＞0），把其中一个点的坐标代入即可得出．（2）假设直线l过C2的焦点F（1，0）．分类讨论：当l的斜率不存在时，得出M，N的坐标，然后验证是否满足=0，即可，当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x﹣1）代入C1方程并整理可得根与系数的关系，利用=0，可得k的值即可．解答： 解：（1）由题意（﹣2，0），一定在椭圆C1上，设C1方程为（a＞b＞0），则a=2，∴椭圆C1上任何点的横坐标|x|≤2．∴（，）也在C1上，代入椭圆方程，解得b2=1，∴C1的方程为+y2=1．从而（3，﹣2），（4，﹣4）一定在抛物线C2上，设C2的方程为y2=2px（p＞0），可得（﹣4）2=2p×4．∴p=2，即C2的方程为y2=4x．（2）假设直线l过C2的焦点F（1，0）．当l的斜率不存在时，则M（1，），N（1，﹣）．此时=1﹣=≠0，与已知矛盾．

当l的斜率存在时设为k，则l的方程为y=k（x﹣1）代入C1方程并整理得，（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0