江苏省无锡市锡东中学2021年高三数学理模拟试题含解析

江苏省无锡市锡东中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是Ａ．?

Ｂ.

Ｃ．

Ｄ.

参考答案：D2.已知函数（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C3.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．8

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知全集，集合，则是A． B．C.

D．参考答案：C5.若双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且，那么α的值是（

） A． B． C． D．参考答案：D6.（5分）（2015?黑龙江模拟）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：C【考点】：正弦函数的定义域和值域．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2＞m2+3，由此求得m的取值范围．解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．7.右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：D 通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.

8.将函数的图象向右平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得新图象的函数解析式是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D9.已知点D是△ABC所在平面内一点，且满足，若，则=（

）A.

B.1

C.

D.参考答案：C10.若纯虚数满足，（是虚数单位，是实数），则（A）8

（B）

（C）

（D）参考答案：B因为是纯虚数，所以设，则，即，根据复数相等，得，所以，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是．参考答案：﹣1≤m≤1+e【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化简整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，∴对任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案为：﹣1≤m≤1+e【点评】：本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．12.极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________参考答案：13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥C1﹣EFG，其中E、F、G分别为B1C1、D1C1、CC1的中点．然后由正方体体积减去三棱锥体积得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为棱长为2的正方体截去一个三棱锥C1﹣EFG，其中E、F、G分别为B1C1、D1C1、CC1的中点．∴该几何体的体积为V=．故答案为：．14.巳知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示.（1）若，则

；（2）设函数，则的大小关系为

(用“<”连接）.参考答案：15.在的二项展开式中，常数项等于

.参考答案：180展开式的通项为。由得，所以常数项为。16.设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＝－SnSn－1(n≥2)，则Sn＝

．参考答案：17.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为

．参考答案：

考点：极坐标与直角坐标的互化,直线被圆截得的弦长三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：组别候车时间人数一

2二6三4四2五1（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．参考答案：.解:（1）分钟．……3分（2）候车时间少于10分钟的概率为，

………………4分所以候车时间少于10分钟的人数为人．

………………6分（3）将第三组乘客编号为，第四组乘客编号为．从6人中任选两人有包含以下基本事件：，，，，，

………………10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为．

……………12分略19.

已知平面直角坐标系中，，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点、.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若，求实数的值.参考答案：（1）直线的普通方程为，……2分由得，，故曲线的直角坐标方程为.…4分（2）将直线的参数方程代入得，……6分

设两根为，则

由，得，于是有……10分20.(本小题满分14分)已知函数，．（1）求的最大值；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程恰有一解，其中为自然对数的底数，求实数的值．参考答案：解：（1）因为，所以，由，且，得，由，且，，所以函数的单调增区间是，单调减区间是，所以当时，取得最大值；

…………4分（2）因为对一切恒成立，即对一切恒成立，亦即对一切恒成立，设，因为，故在上递减，在上递增，，所以．

…………8分（3）因为方程恰有一解，即恰有一解，即恰有一解，由（1）知，在时，，

而函数在上单调递减，在上单调递增，故时，，故方程恰有一解当且仅当，即．

…………14分

略21.（本小题满分13分）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．（Ⅰ）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系．参考答案：（Ⅰ）设，则．点在圆上，，即点的轨迹的方程为．…………4分（Ⅱ）解法一：（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．显然与轨迹相切；（ii）当直线的斜率存在时，设的方程为，因为直线与圆相切，所以，即．………………7分又直线的斜率等于，点的坐标为．所以直线的方程为，即．…………9分由得．．故直线与轨迹相切．综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切．……………13分解法二：设（），则．……5分（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；（ii）当时，直线的方程为，即．令，则．，又点，所以直线的方程为，即．………………9分由得即．．所以，直线与轨迹相切．综上（i）（ii）知，直线与轨迹相切．……………13分22.（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．如：若

则是公差为的准等差数列．（1）求上述准等差数列的第项、第项以及前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有．求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，若，求的取值范围．参考答案：解：（1），

（2分）

（4分）（2）

①

②②-①得．

所以，为公差为2的准等差数列．

（2分）当为奇数时，；