2018年数学二轮复习专题突破训练压轴大题规范练2含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精(二）直线与圆锥曲线（2）1．(2017·北京）已知椭圆C的两个顶点分别为A（－2,0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为eq\f（\r(3),2）。（1）求椭圆C的方程;（2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E。求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5。（1)解设椭圆C的方程为eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1(a＞b＞0),由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2,,\f（c,a)＝\f(\r(3)，2),）)解得c＝eq\r（3)，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1。(2)证明设M(m，n）,则D（m，0），N（m,－n)，由题设知m≠±2，且n≠0。直线AM的斜率kAM＝eq\f（n，m＋2）,故直线DE的斜率kDE＝－eq\f（m＋2，n），所以直线DE的方程为y＝－eq\f(m＋2，n)(x－m)，直线BN的方程为y＝eq\f(n,2－m）(x－2)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝－\f（m＋2,n)x－m，，y＝\f（n,2－m）x－2，））解得点E的纵坐标yE＝－eq\f(n4－m2,4－m2＋n2).由点M在椭圆C上,得4－m2＝4n2，所以yE＝－eq\f(4,5)n.又S△BDE＝eq\f（1，2)|BD|·|yE｜＝eq\f(2，5）｜BD|·｜n|，S△BDN＝eq\f（1，2）｜BD|·|n｜，所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5。

2．（2017届江西省重点中学盟校联考）已知椭圆C：eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉0，b〉0）的右顶点为A(2,0),离心率e＝eq\f(\r(3）,2)。(1）求椭圆C的方程；（2)设B为椭圆上顶点，P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问△PMN与△PAB面积之差是否为定值？说明理由．解(1)依题意得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2，,\f（c,a）＝\f（\r（3）,2），，a2－b2＝c2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，，b＝1，))则椭圆C的方程为eq\f（x2,4)＋y2＝1.（2)设P(x0，y0)（x0>0,y0>0），则xeq\o\al(2,0）＋4yeq\o\al(2,0)＝4,直线PA：y＝eq\f(y0，x0－2)(x－2），令x＝0,得yM＝eq\f（－2y0，x0－2），则|BM｜＝｜1－yM|＝yM－1＝－1－eq\f（2y0，x0－2)。直线PB：y＝eq\f(y0－1,x0）x＋1，令y＝0，得xN＝eq\f（－x0,y0－1)，则｜AN|＝|2－xN｜＝xN－2＝－2－eq\f（x0,y0－1)，∴S△PMN－S△PAB＝eq\f(1,2)|AN｜·（|OM|－|OB｜)＝eq\f(1,2）｜AN｜·|BM｜＝eq\f（1，2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－2－\f(x0，y0－1)）)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(2y0,x0－2)）)＝eq\f(1，2)·eq\f（x\o\al（2，0)＋4y\o\al(2,0)＋4x0y0－4x0－8y0＋4，x0y0－x0－2y0＋2)＝eq\f（1，2）·eq\f（4x0y0－4x0－8y0＋8,x0y0－x0－2y0＋2)＝2.3．（2017届河北省衡水中学押题卷)已知椭圆C：eq\f(y2，a2）＋eq\f(x2,b2)＝1（a〉b>0)的上、下两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点,且△MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为eq\f（\r（3），2).（1)求椭圆C的标准方程;（2)已知O为坐标原点，直线l:y＝kx＋m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M′，N′是直线l上的两点,且F1M′⊥l,F2N′⊥l，求四边形F1M′N′F2面积S的最大值．解(1)因为△MNF2的周长为8，所以4a＝8,所以a＝2.又因为eq\f(c，a)＝eq\f（\r（3），2），所以c＝eq\r（3）,所以b＝eq\r（a2－c2)＝1，所以椭圆C的标准方程为x2＋eq\f（y2，4）＝1。(2）将直线l的方程y＝kx＋m代入到椭圆方程x2＋eq\f（y2，4)＝1中，得(4＋k2）x2＋2kmx＋m2－4＝0。由直线与椭圆仅有一个公共点知，Δ＝4k2m2－4（4＋k2）（m2－4）＝0,化简得m2＝4＋k2.设d1＝｜F1M′|＝eq\f(｜－\r(3)＋m|,\r(k2＋1）)，d2＝|F2N′｜＝eq\f(|\r（3)＋m｜，\r（k2＋1)），所以deq\o\al(2,1）＋deq\o\al（2，2）＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(m－\r（3）,\r（k2＋1））)）2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(m＋\r（3），\r（k2＋1））））2＝eq\f（2m2＋3，k2＋1)＝eq\f（2k2＋7，k2＋1)，d1d2＝eq\f（|－\r（3）＋m｜,\r（k2＋1)）·eq\f(|\r（3）＋m|,\r（k2＋1)）＝eq\f（｜m2－3｜,k2＋1）＝1，所以｜M′N′|＝eq\r(|F1F2|2－d1－d22）＝eq\r(12－d\o\al(2,1）＋d\o\al(2,2)－2d1d2)＝eq\r（\f（12k2，k2＋1）).因为四边形F1M′N′F2的面积S＝eq\f（1，2）|M′N′|（d1＋d2）,所以S2＝eq\f（1，4）×eq\f（12k2,k2＋1)×(deq\o\al（2，1）＋deq\o\al（2,2）＋2d1d2）＝eq\f(3k24k2＋16,k2＋12）。令k2＋1＝t(t≥1），则S2＝eq\f（3t－1[4t－1＋16］，t2)＝eq\f（12t－1t＋3，t2）＝eq\f(12t2＋2t－3，t2)＝12＋12eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－3\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，t）－\f（1,3）))2＋\f（1,3)）)，所以当eq\f(1，t)＝eq\f（1,3）时,S2取得最大值16,故Smax＝4，即四边形F1M′N′F2面积的最大值为4。4．（2017届江西师范大学附属中学模拟)已知椭圆C：eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a>b〉0）的左、右焦点为F1,F2，其离心率为eq\f（\r(2），2)，又抛物线x2＝4y在点P（2，1）处的切线恰好过椭圆C的一个焦点．(1)求椭圆C的方程;（2）过点M（－4,0)，斜率为k（k≠0)的直线l交椭圆C于A，B两点,直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2,是否存在常数λ，使得k1k＋k2k＝λk1k2？若存在,求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)∵抛物线x2＝4y在点P（2，1）处的切线方程为y＝x－1，它过x轴上的点(1，0），∴椭圆C的一个焦点为(1,0）,即c＝1.又∵e＝eq\f（c,a)＝eq\f(\r（2),2），∴a＝eq\r（2)，b＝1，∴椭圆C的方程为eq\f(x2，2)＋y2＝1。(2）设A（x1，y1)，B（x2,y2),l的方程为y＝k(x＋4），联立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx＋4,,x2＋2y2＝2）)⇒（1＋2k2）x2＋16k2x＋32k2－2＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Δ〉0,,x1＋x2＝－\f（16k2，1＋2k2）,,x1x2＝\f(32k2－2,1＋2k2）。)）∵F1（－1，0），k1＝eq\f(y1，x1＋1),k2＝eq\f(y2,x2＋1)，∴eq\f(1,k1)＋eq\f（1，k2)＝eq\f(x1＋1，y1）＋eq\f（x2＋1，y2)＝eq\f(1，k)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（x1＋1,x1＋4）＋\f(x2＋1，x2＋4）)），∴eq\f(k，k1)＋e