2018年数学复习课时跟踪检测50文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE7学必求其心得，业必贵于专精课时跟踪检测(五十)[高考基础题型得分练]1．双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝（）A.eq\f（1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4答案：D解析:双曲线的方程可化为x2－eq\f（y2,\f（1,m)）＝1,∴实轴长为2，虚轴长为2eq\r（\f（1,m）），∴2＝2×2eq\r(\f（1，m）)，解得m＝4.2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点（2,2）,则C的方程为（）A.eq\f（x2，3）－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f（x2，12)－eq\f(y2，3）＝1C.eq\f（y2，3）－eq\f(x2，12)＝1 D．eq\f（y2，12）－eq\f(x2,3)＝1答案:A解析:由题意，设双曲线C的方程为eq\f（y2,4)－x2＝λ(λ≠0），因为双曲线C过点(2，2),则eq\f(22，4）－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为eq\f（y2,4)－x2＝－3，即eq\f(x2,3)－eq\f（y2，12）＝1。3．［2017·吉林长春模拟]已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0，b＞0）的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A。eq\r(2） B．eq\r(3)C．2 D．5答案:D解析:不妨设点P位于第一象限，F1为左焦点，|PF2|＝m－d，｜PF1｜＝m,｜F1F2|＝m＋d,其中m＞d＞0,则有（m－d）2＋m2＝(m＋d)2，解得m＝4d,故双曲线的离心率e＝eq\f(｜F1F2|,|PF1|－｜PF2｜）＝5.4．[2017·安徽黄山一模]设F1，F2是双曲线x2－eq\f（y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△PF1F2的面积等于（)A．4eq\r（2) B．8eq\r（3）C．24 D．48答案：C解析：由已知，得F1（－5，0)，F2(5，0），｜F1F2设|PF2|＝x，∵3|PF1｜＝4｜PF2｜，∴|PF1|＝eq\f（4，3)x.由双曲线的性质知eq\f（4，3）x－x＝2,解得x＝6.∴|PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，∴∠F1PF2＝90°,∴△PF1F2的面积＝eq\f（1，2)×8×6＝24，故选C。5．［2017·吉林长春二模]过双曲线x2－eq\f(y2,15）＝1的右支上一点P，分别向圆C1:(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N,则｜PM|2－｜PN｜2的最小值为(）A．10 B．13C．16 D．19答案：B解析：由题意可知，|PM｜2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(｜PC2｜2－1）,因此｜PM|2－｜PN|2＝|PC1|2－｜PC2|2－3＝（|PC1｜－|PC2｜)（｜PC1|＋|PC2|)－3＝2（|PC1｜＋｜PC2｜)－3≥2|C1C26．已知椭圆eq\f(x2，a\o\al（2,1））＋eq\f（y2，b\o\al（2,1))＝1（a1>b1〉0）的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线eq\f(x2，a\o\al(2,2)）－eq\f(y2，b\o\al（2，2）)＝1（a2〉0,b2〉0）的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列,离心率为e2.则e1e2等于（)A。eq\f(\r（2),2) B．1C.eq\r（3) D．2答案：B解析:由beq\o\al（2，1）＝a1c1，得aeq\o\al（2,1）－ceq\o\al(2，1)＝a1c1，∴e1＝eq\f(c1,a1）＝eq\f（\r（5）－1，2）。由beq\o\al(2,2）＝a2c2，得ceq\o\al(2,2）－aeq\o\al(2，2)＝a2c2，∴e2＝eq\f(c2，a2）＝eq\f（\r（5)＋1,2）。∴e1e2＝eq\f(\r(5)－1,2)×eq\f(\r(5）＋1，2)＝1。7．已知F为双曲线C:eq\f(x2，9）－eq\f（y2，16)＝1的左焦点，P,Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________．答案：44解析：由eq\f(x2，9）－eq\f（y2,16)＝1,得a＝3，b＝4，c＝5.∴|PQ|＝4b＝16>2a又∵A（5,0）在线段PQ上,∴P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（｜PF|－｜PA|＝2a＝6，,｜QF|－｜QA｜＝2a＝6，））∴|PF｜＋|QF|＝28.∴△PQF的周长是|PF｜＋|QF｜＋｜PQ|＝28＋16＝44.8．已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．答案：eq\r（3）＋1解析：因为MF1的中点P在双曲线上，｜PF2｜－|PF1｜＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以eq\r(3)c－c＝2a,所以e＝eq\f（c，a）＝eq\f(2,\r（3）－1）＝eq\r（3)＋1.9．过双曲线C：eq\f（x2，a2）－eq\f（y2,b2)＝1(a〉0，b>0）的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P。若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．答案：2＋eq\r(3）解析:如图，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，将点P的横坐标2a代入eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2）＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－eq\r（3)b），此时kPF2＝eq\f（\r（3）b，c－2a)＝eq\f（b,a)，得到c＝(2＋eq\r（3))a,即双曲线C的离心率e＝eq\f（c,a）＝2＋eq\r(3).10．[2017·江西师大附中、鹰潭一中联考]过双曲线eq\f（x2，4）－eq\f（y2,5）＝1的左焦点F1作圆x2＋y2＝4的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点为M，则｜MO|－｜MT｜＝________.答案：eq\r(5)－2解析：设双曲线的右焦点为F2,则MO是△PF1F2所以|MO|＝eq\f（1，2)｜PF2｜,｜MT|＝eq\f(1,2）|PF1｜－｜F1T｜.由双曲线的方程,知a＝2，b＝eq\r(5）,c＝3，所以｜OF1|＝3。因为PF1是圆x2＋y2＝4的切线，所以｜OT|＝2,所以在Rt△OTF1中，｜F1T｜＝eq\r（5),所以|MO|－|MT|＝eq\f（1，2）｜PF2|－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)|PF1｜－|F1T|)）＝｜F1T|－eq\f(1,2)(｜PF1｜－|PF2｜)＝eq\r(5）－a＝eq\r（5)－2。［冲刺名校能力提升练］1．如图,F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2，4）＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A。eq\r(2） B．eq\r(3)C。eq\f(3，2） D．eq\f(\r（6),2）答案:D解析：｜F1F2|＝2eq\r(3）。设双曲线的方程为eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a＞0，b＞0)．∵｜AF2｜＋|AF1｜＝4，|AF2｜－|AF1|＝2a∴｜AF2|＝2＋a,|AF1|＝2－a。在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1｜2＋｜AF2｜2＝|F1F2｜2即(2－a)2＋(2＋a）2＝(2eq\r(3）)2，∴a＝eq\r(2),∴e＝eq\f(c，a)＝eq\f(\r(3），\r(2）)＝eq\f(\r（6),2).故选D.2．[2017·山西太原二模］已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1（a〉0，b>0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B，若|AB|＝｜AF2|,∠F1AF2＝90°，则双曲线的离心率为（)A。eq\f（\r(6)＋\r（3)，2) B．eq\r（6）＋eq\r（3）C。eq\f（5＋2\r（2),2) D．eq\r（5＋2\r（2))答案：B解析：∵|AB|＝|AF2|,∠F1AF2＝90°，∴｜BF2|＝eq\r(2）｜AF2｜.又由双曲线的定义知|BF1|－|BF2|＝2a∴｜AF1|＋｜AB｜－eq\r(2）｜AF2|＝2a，即|AF1|＋(1－eq\r（2))·|AF2|＝2a.又｜AF2｜－|AF1|＝2a∴|AF2｜＝2（2＋eq\r（2))a，|AF1|＝2(1＋eq\r（2）)a。在Rt△AF1F2|AF1｜2＋|AF2|2＝｜F1F2｜2即[2(2＋eq\r(2)）a]2＋［2（1＋eq\r(2））a]2＝（2c)2，∴eq\f(c2，a2）＝9＋6eq\r(2)，∴e＝eq\r（9＋6\r(2））＝eq\r（6）＋eq\r（3）.故选B.3．[2017·广东汕尾调研]已知双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a>0，b〉0)的左、右焦点为F1，F2，点A在其右支上．若eq\o(AF1,\s\up10（→））·eq\o(AF2，\s\up10(→)）＝0，∠AF1F2∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)））,则该双曲线的离心率e的取值范围为________．答案:(1，eq\r(2))解析：设∠AF1F2＝α,因为eq\o(AF1,\s\up10（→）)·eq\o(AF2，\s\up10（→））＝0,所以∠A＝90°.所以AF1＝2ccosα，AF2＝2csinα,又AF1－AF2＝2a，则2c（cosα－sinα)＝所以eq\f(c,a）＝eq\f(1,cosα－sinα)＝eq\f（1,\r（2)cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f（π，4）))）.因为α∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f（π，12))）,所以coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4）)）∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)，\f（\r（2）,2））），所以eq\f（c，a）∈(1，eq\r（2）），即e∈（1，eq\r（2））．4．［2017·甘肃兰州诊断］已知曲线C：eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2）＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝eq\r(3)x,右焦点F到直线x＝eq\f(a2,c）的距离为eq\f(3,2）.（1）求双曲线C的方程；（2）斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1,0)，若eq\o（DF，\s\up10(→)）·eq\o(BF,\s\up10（→）)＝1，证明：过A,B，D三点的圆与x轴相切．(1)解：依题意有eq\f(b,a）＝eq\r(3)，c－eq\f（a2，c)＝eq\f(3，2），∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a,∴a＝1,c＝2，∴b2∴双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,3）＝1。(2）证明:设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0），B（x1，x1＋m），D(x2,x2＋m),BD的中点为M，由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，，x2－\f（y2，3)＝1）)得2x2－2mx－m2－3＝0,∴x1＋x2＝m，x1x2＝－eq\f（m2＋3,2），又eq\o(DF,\s\up10(→)）·eq\o（BF,\s\up10(→))＝1，即（2－x1)(2－x2）＋（x1＋m)（x2＋m)＝1，∴m＝0（舍去)或m＝2，∴x1＋x2＝2，x1x2＝－eq\f（7，2），M点的横坐标为eq\f（x1＋x2,2)＝1。∵eq\o(DA,\s\up10（→)）·eq\o(BA,\s\up10（→）)＝(1－x1)（1－x2）＋(x1＋2)（x2＋2）＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，∴AD⊥AB,∴过A，B，D三点的圆以点M为圆心,BD为直径．∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴．∴过A，B，D三点的圆与x轴相切．5．已知双曲线eq\f(y2，a2)－eq\f(x2,b2）＝1（a〉0,b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为eq\f(2\r（5),5).(1）求此双曲线的方程；（2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若eq\o(AP，\