2022年度北京西藏中学高三数学文模拟试卷含解析

2022年度北京西藏中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则A∩B=（

）A.（2，3） B.（0，3） C.（-3，0） D.（0，2）参考答案：A【分析】分别求得集合，再根据集合交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由对数的运算，可得，，根据集合的交集运算，可得，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记对数的运算性质和一元二次不等式的解法，准确求解得到集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.若是真命题，是假命题，则

A．是真命题

B．是假命题

C．是真命题

D．是真命题参考答案：D或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D.3.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离小于，则周末去踢球，否则去图书馆.则小波周末去图书馆的概率是A.

B.

C.

D.

参考答案：B4.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，则p=10，则抛物线的焦点为（5，0）；因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，所以c=5，因为点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，所以a=4，b=3所以e==故选B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用是关键．5.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A6.给出以下四个判断，其中正确的判断是(

)A．若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题B．命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y＜2”C．若x≠300°，则cosx≠D．命题“?x0∈R，≤0”是假命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】由复合命题的真假判断判断A；写出原命题的逆否命题判断B；举例说明C错误；由指数函数的值域说明D正确．【解答】解：若“p或q”为真命题，则p，q至少一个为真命题，故A错误；命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4或y＜2”，故B错误；若x≠300°，则cosx≠错误，如x=60°≠300°，但cos60°=；由指数函数的值域可知，命题“?x0∈R，≤0”是假命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，考查了命题的逆否命题，考查指数式的值域，是基础题．7.已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围(

) A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，+∞） D．（，+∞）参考答案：C考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．解答： 解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．8.在△ABC中，a=9，b=3；A=120°，则sin（π﹣B）等于（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】利用已知及正弦定理即可求得sinB，结合诱导公式即可得解．【解答】解：由正弦定理：，可得sinB===，解得：sin（π﹣B）=sinB=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，诱导公式的综合应用，属于基础题．9.设a＞0，b＞0，若是4a与2b的等比中项，则的最小值为（）A．2 B．8 C．9 D．10参考答案：C【考点】基本不等式；等比数列的性质．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为5+，利用基本不等式就可得出其最小值．【解答】解：因为4a?2b=2，所以2a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选C．【点评】此题是基础题．本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力和计算能力．10.下列命题中的真命题是A．,使得

B.C．

D.

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为

．参考答案：以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ的中点，由题得所以=设，所以，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：

12.如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为_______．参考答案：【分析】设，，在中利用正弦定理得出关于的函数，从而可得的最小值．【详解】解：设，，则，，∴，在中，由正弦定理可得，即，∴，∴当即时，取得最小值．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．13.定义运算法则如下：；若，，则M＋N＝

．参考答案：514.若直线平分圆的周长,则的取值范围是________

参考答案：.试题分析：直线平分圆的周长，因此直线过圆心，圆的圆心坐标，因此得，即，因此.考点：直线与圆的方程应用.15.已知二次函数的值域为，则的最小值为

.参考答案：10略16.的展开式中含的项的系数为__________。（结果用数值表示）参考答案：17

本题考查求解二项展开式中指定项系数问题.考查了对基础知识的应用能力和计算求解能力.属中等题，令.所以所求系数为.17.已知函数满足，当时，的值为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于点P，Q．（1）若?=2，求c的值；（2）若c=1，P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点．（3）若c=1，直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB的中点？说明理由．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】（1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值；（2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证；（3）设A（t，t2），这里xA=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点．【解答】解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x2联立，得x2﹣kx﹣c=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=﹣c，从而y1y2=x12x22=c2，由?=2，可得c2﹣c=2得c=2或﹣1（舍去），得c=2；（2）证明：由（1）可得，故直线PQ：x=，可得Q（，﹣1）．设，kQA==，由（1）可得x1x2=﹣1，即有x2=﹣，可得kQA==2x1，由y=x2的导数为y′=2x，可得过A的切线的斜率为2x1，故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点；（3）设A（t，t2），这里xA=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．与y=﹣1相交，得xQ=，故xP=，=（t，t2﹣1），所以直线AC：y=（t﹣）x+1，与y=x2联立，得x2﹣（t﹣）x﹣1=0，即（x﹣t）（x+）=0，故xB=﹣．这样，即P是AB的中点．19.（本小题满分12分）

如图五面体中，四边形为矩形，平面，四边形为梯形，且,（1）求证：平面（2）求此五面体的体积。参考答案：20.（本大题12分）

设数列的前项和为，点在直线上，其中．（I）求数列的通项公式；（II）设，求证：．参考答案：（I）；

（II）略．

略21.已知向量，设函数,（Ⅰ）求函数的表达式及它的值域；

（Ⅱ）在中，分别是角的对边，为锐角,

若，，的面积为，求边的长．参考答案：

，

……………5

（Ⅱ）由得：，化简得：,

又因为，解得：

…8分由题意知：，解得，………………10分又,所以故所求边的长为5。

……12分

略22.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于两点