人教版九年级数学上册一元二次方程2解一元二次方程2配方法（有答案）

21.2解一元二次方程21.2.1配方法预习要点1．一般地，对于方程x2＝p，(Ⅰ)(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根x1＝−eq\r(,p)，x2＝eq\r(,p)；(2)当p＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根x1＝x2＝0；(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根。2．（2016春•赣县校级期中）一元二次方程x2−1=0的根是（）A．1 B．−1 C．eq\f(1,2) D．±13．方程（x−1）2=2的根是（）A．−1，3 B．1，−3 C．1−eq\r(,2)，1+eq\r(,2) D．eq\r(,2)−1，eq\r(,2)+14．（2016•双柏县模拟）一元二次方程2x2−2=0的解是 ．5．（2016春•泰山区期中）一元二次方程4x2−9=0的根是 ．6．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。7．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2＝p(Ⅱ)的形式，那么就有：(1)当p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根x1＝−n−eq\r(,p)，x2＝−n+eq\r(,p)；(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根xl＝x2＝−n；(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根。8．（2016•夏津县二模）用配方法解一元二次方程x2+4x−5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9 B．（x−2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x−2）2=19．（2016•黔东南州二模）用配方法解一元二次方程2x2−x−l=0时，配方正确的是（）A．（x−eq\f(1,4)）2=eq\f(9,16) B．（x+eq\f(1,4)）2=eq\f(9,16) C．（x−eq\f(1,2)）2=eq\f(5,4) D．（x+eq\f(1,2)）2=eq\f(5,4)10．（2016•东河区一模）用配方法解方程2x2−x=4，配方后方程可化为（x−eq\f(1,4)）2= ．11．（2016春•长兴县月考）用配方法将方程x2+6x−7=0化为（x+m）2=n的形式为 ．同步小题12道一．选择题1．一元二次方程x2−4=0的根为（）A．x=2 B．x=−2 C．x1=2，x2=−2 D．x=42．方程（x−2）2+4=0的解是（）A．x1=x2=0 B．x1=2，x2=−2 C．x1=0，x2=4 D．没有实数根3．（2016•新疆）一元二次方程x2−6x−5=0配方组可变形为（）A．（x−3）2=14 B．（x−3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=44．（2016•富顺县校级模拟）用配方法解方程2x2−4x+1=0时，配方后所得的方程为（）A．（x−2）2=3 B．2（x−2）2=3 C．2（x−1）2=1 D．2(x−1)2＝eq\f(1,2)5．（2016•周口校级一模）用配方法解方程x2−1=6x，配方后的方程是（）A．（x−3）2=9 B．（x−3）2=1 C．（x−3）2=10 D．（x+3）2=96．（2016春•绍兴期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2−12x+14的值的范围．解：2x2−12x+14=2（x2−6x）+14=2（x2−6x+32−32）+14=2[（x−3）2−9]+14=2（x−3）2−18+14=2（x−3）2−4．∵无论x取何实数，总有（x−3）2≥0，∴2（x−3）2−4≥−4．即无论x取何实数，2x2−12x+14的值总是不小于−4的实数．问题：已知x可取任何实数，则二次三项式−3x2+12x−11的最值情况是（）A．有最大值−1 B．有最小值−1 C．有最大值1 D．有最小值1二．填空题7．（2016春•建湖县校级月考）一元二次方程x2=3的根是 ．8．（2016•石家庄二模）用配方法解方程3x2−6x+1=0，则方程可变形为（x− ）2= ．9．（2016•云南模拟）一元二次方程x2−4x+4=0的解是 ．10．（2016春•当涂县期末）已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m−n）2016= ．三．解答题11．（1）（2016•淄博）解方程：x2+4x−1=0．（2）（2016•安徽）解方程：x2−2x=4．（3）（2016•金乡县一模）解方程：x2−6x+5=0

（配方法）12．（1）（2016•天门模拟）用配方法解方程：2x2−3x−3=0．（2）（2016春•巢湖市校级月考）用配方法解方程：2x2−4x−1=0．（3）2x2−4x−3=0．答案：21.2解一元二次方程21.2.1配方法预习要点2．【分析】首先把−1移到等号左边，再两边直接开平方即可．【解答】解：x2−1=0，x2=1，两边直接开平方得：x=±1，则x1=1，x2=−1．故选：D3．【分析】根据平方根的定义首先开方，求得x−1的值，进而求得x的值【解答】解：x−1=±eq\r(,2)，∴x=1±eq\r(,2)．故选C4．【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=−1．答案：x1=1，x2=−15．【分析】先把方程变形为x2=eq\f(9,4)，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：4x2=9，x2=eq\f(9,4)，所以x1=eq\f(3,2)，x2=−eq\f(3,2)．答案：x1=eq\f(3,2)，x2=−eq\f(3,2)．8．【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：x2+4x−5=0，x2+4x=5，x2+4x+22=5+22，（x+2）2=9．故选A9．【分析】在本题中，化二次项系数为1后，把常数项−eq\f(1,2)移项，应该在左右两边同时加上一次项系数−eq\f(1,2)的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2−eq\f(1,2)x=eq\f(1,2)，x2−eq\f(1,2)x+eq\f(1,16)=eq\f(1,2)+eq\f(1,16)，（x−eq\f(1,4)）2=eq\f(9,16)．故选A10．【分析】把二次项的系数化为1；加上（eq\f(1,4)）2变形后，即可得到结果．【解答】解：由原方程，得x2−eq\f(1,2)x=2，配方，得x2−eq\f(1,2)x+（eq\f(1,4)）2=2+（eq\f(1,4)）2，即（x−eq\f(1,4)）2=eq\f(33,16)．答案：eq\f(33,16)．11．【分析】先将常数项移到等号的右边为：x2−6x=−7，再配方得（x−3）2=2，故可以得出结果．【解答】解：移项，得x2−6x=−7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x2−6x+9=−7+9，（x−3）2=2．答案：（x−3）2=2．同步小题12道1．【分析】根据开平方法，可得方程的解．【解答】解：移项，得x2=4，开方，得x1=2，x2=−2．故选：C2．【分析】先移项得到（x−2）2=−4，由实数的平方是非负数推知该方程无解．【解答】解：由已知方程得到：（x−2）2=−4，∵（x−2）2≥0，−4＜0，∴该方程无解．故选：D3．【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．【解答】解：x2−6x−5=0，x2−6x=5，x2−6x+9=5+9，（x−3）2=14，故选：A4．【分析】利用配方法得到（x−1）2=eq\f(1,2)，然后对各选项进行判断．【解答】解：x2−2x=−eq\f(1,2)，x2−2x+1=−eq\f(1,2)+1，所以（x−1）2=eq\f(1,2)．故选C5．【分析】先把方程变形为x2−6x=1，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2−6x=1，x2−6x+9=10，（x−3）2=10．故选C6．【分析】通过配方可得−3x2+12x−11=−3（x−2）2+1，即可知其最值情况【解答】解：−3x2+12x−11=−3（x2−4x）−11=−3（x2−4x+4−4）−11=−3（x−2）2+12−11=−3（x−2）2+1，∵无论x取何实数，总有（x−2）2≥0，∴−3（x−2）2≤0，∴−3（x−2）2+1≤1，即无论x取何实数，二次三项式−3x2+12x−11有最大值1．故选：C7．【分析】利用直接开平方法解方程．【解答】解：x=±eq\r(,3)，所以x1=eq\r(,3)，x2=−eq\r(,3)．故答案为x1=eq\r(,3)，x2=−eq\r(,3)．8．【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程整理得：x2−2x=−eq\f(1,3)，配方得：x2−2x+1=eq\f(2,3)，即（x−1）2=eq\f(2,3)．故答案为：1；eq\f(2,3)9．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再开方，即可求出答案．【解答】解：x2−4x+4=0，（x−2）2=0，x−2=0，x=2，即x1=x2=2．故答案为：x1=x2=2．10．【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．【解答】解：由（x+m）2=3，得：x2+2mx+m2−3=0，∴2m=4，m2−3=n，∴m=2，n=1，∴（m−n）2016=1．答案：1．11．（1）【分析】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．解：∵x2+4x−1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=−2±eq\r(,5)∴x1=−2+eq\r(,5)，x2=−2−eq\r(,5)．（2）【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解解：配方x2−2x+1=4+1∴（x−1）2=5∴x=1±eq\r(,5)∴x1=1+eq\r(,5)，x2=1−eq\r(,5)．（3）【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：由原方程移项，得x2−6x=−5．等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得x2−6x+32=−5+32，即（x−3）2=4．∴x=3±2．∴原方程的解是：x1=5，x2=1．12．（1）【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：2x2−3x−3=0．x2−eq\f(3,2)x−eq\f(3,2)=0．x2−eq\f(3,2)x+eq\f(9,16)=eq\f(9,16)+eq\f(3,2)．（x−eq\f(3,4)）2=eq\f(33,16)．x−eq\f(3,4)=±eq\f(\r(,33),4)．解得：x1=eq\f(3+\r(,33),4)，x2=eq\f(3−\r(,33),4)．（2）【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：2x2−4x−1=0．2x2−4x=1．x2−2x=eq\f(1,2)．配方得：x2−2x+1=eq\f(1,2)+1．（x−1）2=eq