人教版八年级数学上册学案1课题学习最短路径问题

课题学习最短路径问题【目标导引】1.经历探究最短路径问题的过程，理解利用轴对称解决最短路径问题的实质.2.能在几何图形和实际问题中利用轴对称解决最短路径问题.3.体会图形的变化在解决最值问题中的作用.【学习探究】铺垫导入与自主预习相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的营地A出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到营地B．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．1.探究一：要求饮马地点到两营地的距离之和最短.·C图··C图·营地A·营地B小河·营地A·营地B·营地A·营地B小河图二、知识探究与合作学习2.探究二：在探究一（1）中，我们能容易利用“两点之间，线段最短”来理解为什么要“连接AB”，但在探究一（2）中，为什么利用轴对称得到的方案（如图）符合要求呢?aa··BA图A′·Pa··BA图A′·PP′如图，在直线a上任取异于点P一点P′，连结PA、P′A、P′B、P′A′，小组交流为什么PA＋PB＜P′A＋BP′?3.探究三：如图，已知牧马营地在P处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线.图图营房P草地ABO·P图ABO·P图MN如图ABO·P图ABO·P图MN（1）如图，过P点分别作PM⊥OA、PN⊥OB，垂足分别为M、N，此时△PMN的周长是否最小?（2）分别作出P点关于OA、OB的对称点P1、P2；连结P1P2分别交OA、OB于M、N两点．如图，证明：△PMN的周长最小．AABO·P图P2P1NMM′N′3.探究四：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)A·BA·BMNE图 图如图，两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）试说明，当四边形MNBE满足什么条件时，从A到B的路径AMNB最短?【当堂演练】1.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）.A．（-2，0） B．（4，0） 图C．（2，0） D．（0，0）图图图2.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM=2，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．8 B．8 C．2 D．103.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）.A．40°B．100° C．140° D．50°图图图图4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A． B．4 C． D．55.如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短．图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）.A．F和C B．F和E 图C．D和C D．D和E图【拓展延伸】一、归纳反思1.如图，在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，1），

（1）有一小球从点B水平向右匀速滚去，同时一个机器人从点A以同样的速度直线前进去拦截小球，请你在图中画出机器人最快截住小球的位置点P．（作图要求：尺规作图，保留作图痕迹）

（2）在x轴上找一点Q，使AQ+BQ的和最小．图图2.如图，点A、B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P．

（1）AB′与AP+PB相等吗?为什么?

（2）在m上再取一点N，并连接AN与NB，比较AN+NB与AP+PB的大小，并说明理由．图图图图二、能力提升3.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是多少?图图4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）点D的坐标为；（2）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．图图5.如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是多少?图图6.如图，A、B两单位分别位于一条封闭