2022年度辽宁省沈阳市永泰中学高三数学理期末试卷含解析

2022年度辽宁省沈阳市永泰中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题p：?x∈[0，＋∞），（log）x≤1，则

（）

A．p是假命题，：?x0∈[0，＋∞），（log）>1

B．p是假命题，：?x∈[0，＋∞），（log）x≥1

C．p是真命题，：?x0∈[0，＋∞），（log）>1

D．p是真命题，：?x∈[0，＋∞），（log）x≥1参考答案：C2.若数列的前项和，则数列的通项公式A.

B.

C.

D.参考答案：D3.函数有零点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知函数为R上周期为4的奇函数，,又，则（

）A

B

C

D

参考答案：B5.已知=

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知，则（

）A．

B． C．

D．参考答案：D7.函数y=的图象大致是参考答案：B8.设,，则的大小关系是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：，即9.设，有实根，则是的A．充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：答案：A解析：判别式大于0，关于

的方程有实根；但关于

的方程有实根，判别可以等于010.设是上的任意函数，下列叙述正确的是（）Ａ．是奇函数

Ｂ．是奇函数Ｃ．是偶函数

Ｄ．是偶函数参考答案：答案：C解析：A中则，即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，C中，，即函数为奇函数，D中，，即函数为偶函数，故选择答案C。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.中国有个名句：“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵、横两种形式，下表只给出了1~6的纵、横两种表示法：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，请观察表中纵横两种表示法的特征，并用算筹表示628为

.参考答案：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，所以用算筹可表示为．

12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．参考答案：考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：由圆的方程为求得圆心C（1，1）、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．解答：解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．13.在抛物线的焦点为圆心，并与抛物线的准线相切的圆的方程是

。参考答案：14.若，且，则．参考答案：因为，所以为第三象限，所以，即。15.已知函数f（x）=|x+a|﹣2x（a＜0），若f（x）≤0的解集M?{x|x≥2}，则实数a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣6]考点：绝对值不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：分类讨论解绝对值不等式求的M，再根据M?{x|x≥2}，求得实数a的取值范围．解答： 解：不等式f（x）≤0即|x+a|≤2x，等价于①或②，解①求得x≥﹣a，解②求得﹣≤x＜﹣a，故原不等式的解集M={x|x≥﹣}．由于M?{x|x≥2}，则﹣≥2，解得a≤﹣6，故答案为：（﹣∞，﹣6]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．16.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是

．

参考答案：考点：分段函数，抽象函数与复合函数，函数图象零点与方程作函数f(x)的图像，若函数有三个零点，

即有三个不同的交点，

所以由图像知：

故答案为：17.已知向量a=(1,—1),b=(2,x).若a·b=1,则x=＿＿＿参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求锐二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）连结，∵是等腰直角三角形斜边的中点，∴.又三棱柱为直三棱柱，∴面面，∴面，.-------2分设，则.∴，∴.-------------------4分又，∴平面.-------------------6分（Ⅱ）以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系如图，设，则，，.-------------------8分由（Ⅰ）知，平面，∴可取平面的法向量.设平面的法向量为，由∴可取.-------------------10分设锐二面角的大小为，则.∴所求锐二面角的余弦值为.-------------------12分19.已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.

（I）求椭圆G的方程；

（II）求的面积.

参考答案：本题考查了求椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，考查了同学们的代数计算能力，难度中等。（1）直接运用公式代入求解；（2）联立直线与椭圆，然后计算出三角角形的某个底边长以及其上的高。（1）由已知得，解得。又，所以椭圆G的方程为。（2）设直线的方程为，由得。

①设A，B的从标分别为，AB中点为，则，。因为AB是等腰的底边，所以。所以的斜率，解得。此时方程①为。解得。所以。所以。此时，点到直线的距离，所以的面积。20.（本小题满分12分）已知数列满足的前n项和为，其中.（I）试求的值并证明数列为等比数列；（II）设求数列的前n项和.参考答案：（1）见解析；（2）

【知识点】数列递推式；数列的求和D1D4（1）证明：∵a1=，an+1=，∴a2=2a1+2﹣2=1，a3=﹣a2﹣2=﹣3．bn+1=a2n+2=2a2n+1+2（2n+1）﹣2=2a2n+1+4n，又a2n+1=﹣a2n﹣2n，∴bn+1=2（﹣a2n﹣2n）+4n=﹣2a2n=﹣2bn，b1=a2=1，∴数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为﹣2；（2）由（I）可得：a2n+1=﹣a2n﹣2n，bn=a2n，cn=bn+a2n+1=a2n+（﹣a2n﹣2n）=﹣2n．cn+1=﹣2（n+1）．∴==．∴数列的前n项和=+…+==．【思路点拨】（1）a1=，an+1=，分别取n=1，n=2，可得a2，a3．利用递推式可得bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n，又a2n+1=﹣a2n﹣2n，可得bn+1=﹣2bn，利用等比数列的定义即可证明．（2）由（I）可得：a2n+1=﹣a2n﹣2n，bn=a2n，可得cn=a2n+（﹣a2n﹣2n）=﹣2n．于是=．利用“裂项求和”即可得出．21.如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；（Ⅱ）求证：AC2=AB?AD．参考答案：考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：证明题．分析：（I）连接OC，利用△OAC为等腰三角形，结合同角的余角相等，我们易结合AD⊥CE，得到OC⊥DE，根据切线的判定定理，我们易得到结论；（II）连接BC，我们易证明△ABC∽△ACD，然后相似三角形性质，相似三角形对应边成比例，易得到结论．解答： 证明：（Ⅰ）连接OC，如下图所示：因为OA=OC，所以∠OCA=∠OAC．又因为AD⊥CE，所以∠ACD+∠CAD=90°，又因为AC平分∠BAD，所以∠OCA=∠CAD，所以∠OCA+∠CAD=90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接BC，因为AB是⊙O的直径，所以∠BCA=∠ADC=90°，因为CE是⊙O的切线，所以∠B=∠ACD，所以△ABC∽△ACD，所以，即AC2=AB?AD．点评：本题考查的知识点是圆的切线的判定定理，判断切线有两种思路，一是过圆上一点，证明直线与过该点的直径垂直；一是过圆心作直线的垂线，证明垂足在圆上．22.对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】证明题；新定义；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由已知得an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，由此能证明数列{an}是“弱等差数列”．由a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，得到{an}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由递推公式求出a1=1，a2=3，a3=2a+b﹣3，a4=a+3，由此利用等差数列性质能求出a=4，b=0，从而得到数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，由此能求了Sn．（3）由已知得a2k+1﹣a2k=（t+ka）﹣[s+（k﹣1）a]=t﹣s+a＞0，由经能求出a的取值范围．【解答】证明：（1）∵数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，∴an+1=an+b﹣an，an+2=a（n+1）+b﹣an+1=（an+a+b）﹣（an+b）+an=a+an，∴an+2﹣an=a，∴数列{an}是“弱等差数列”．∵a1=t，a2=s，an+2﹣an=a，∴{an}中奇数项是以t为首项，以a为公差的等差数列，偶数列是以s为首项，以a为公差的等差数列，∴an=．解：（2）∵当t=1，s=3时，数列{an}是等差数列，∴