2022年河南省开封市蔡庄镇第四中学高三数学理月考试卷含解析

2022年河南省开封市蔡庄镇第四中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的偶函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数．那么是函数在区间[0，6]上有3个零点的（A）充要条件

（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件

（D）既不充分也不必要的条件参考答案：C2.关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，α∩β=m，则l∥mB．若l∥α，m∥α，则l∥mC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若l∥α，m⊥l，则m⊥α参考答案：C考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l?β；B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；D不对，有条件有可能m?α；C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．故选C．点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．3.函数的定义域是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略4.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略5. 巳知角a的终边与单位圆交于点，则sin2a的值为(A)(B)－(C)－(D)参考答案：D略6.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A. B. C. D.参考答案：C如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，由几何概型概率公式得，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．故选C7.如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B8.已知是内的一点，且，，的面积分别为的最小值为(

)

A．20

B．18

C．16

D．14参考答案：B9.右图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是(

)A． B．C． D．参考答案：A10.已知P为双曲线C：＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为(

)A.

B.

C．4

D．5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

抛物线C的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，若过点M（0，2）任作一条直线交抛物线C于两点，且，则抛物线C的方程为

。参考答案：答案:

12.某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是

；该班的平均成绩是．参考答案：4，42【考点】众数、中位数、平均数．【分析】利用方程组求出答对题a，题b，题c的人数，再计算答对一题的人数和平均成绩．【解答】解：设xa、xb、xc分别表示答对题a，题b，题c的人数，则有，解得xa=17，xb=12，xc=8；∴答对一题的人数为37﹣1×3﹣2×15=4，全班人数为1+4+15=20；平均成绩为×（17×20+12×25+8×25）=42．故答案为：4，42．13.如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是

.

参考答案：略14.设F1，F2为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.参考答案：已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐标为.

15.设和均为定义在R上的偶函数，当时，，若在区间内，关于的方程恰有4个不同的实数根，则实数的取值范围是

参考答案：16.已知向量

.参考答案：或

17.在下列四个结论中，正确的序号是．

①“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件；②“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件．参考答案：①④【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】本题考察知识点为充要条件的判定，先将命题化简，然后判定．【解答】解：①“x2=x”?“x=0或x=1”，则“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件，正确；②由二倍角公式得函数y=cos2kx﹣sin2kx=cos2kx，周期T=||，则“k=1”?“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”但当k=﹣1，函数y=cos2（﹣x）﹣sin2（﹣x）=cos2x，最小正周期也为π，所以②“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充分不必要条件，错误；③“x2≠1”?“x±1”，所以“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件；④同向不等式可以相加，所以“a＞b且c＞d”?“a+c＞b+d”，必要性满足，但是若a+c＞b+d时，则可能有a＞d且c＞b则“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的必要不充分条件，正确．故答案为：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）为迎接我校建校110周年，某班开展了一次“校史知识”竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数为均匀整数）进行统计，制成如右图的频率分布表：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖.某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列以及X的数学期望.参考答案：解：(Ⅰ)

…………4分(Ⅱ)X的可能取值为2，3，4.所以分布列为：X234P0.040.0640.896……………10分

……………12分19.(本小题12分)已知四棱台的三视图如图所示,

(1)求证:平面;(2)求证:平面平面;(3)求此四棱台的体积.参考答案：(3)20.参考答案：21.（本小题满分14分）若正数项数列的前项和为，首项，点在曲线上.（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设,表示数列的前项和,若恒成立，求及实数的取值范围.参考答案：解：（1）因为点在曲线上，所以.分别取和，得到，由解得，.…………………4分（2）由得.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列所以，

即…………6分由公式，得所以…………………………8分（3）因为，所以，……………………10分显然是关于的增函数，所以有最小值，…………………12分由于恒成立，所以，…………………13分于是的取值范围为.……………14分

略22.设，函数.（1）若，求函数的极值与单调区间；（2）若函数的图象在处的切线与直线平行，求的值；（3）若函数的图象与直线有三个公共