2021年北京市中考数学模拟试卷及答案解析

2021年北京市中考数学模拟试卷

一.选择题（共15小题，满分45分，每小题3分）

1.（3分）-5的绝对值等于（）

A.-5B.5C.±5D.0

2.（3分）将39500000000元用科学记数法表示为（）

A.0.395X10"元B.3.95X1010元

C..95X109元D.39.5X109元

3.（3分）下列各个式子运算的结果是8/的是（）

A.2次+6/B.（2/）3c.8/-8/D.2«Ma4

4.（3分）如图，不等式组［x-l<2的解集在数轴上表示正确的是（）

1-3x49

A.44-2-1n12S45

>

B.-5-4-3-2-1012345

C.-5-4-3-2-1012345

D.U-5-4-3.-2.-.1.0.12-T45

5.（3分）实数幅在数轴上位于两个连续整数之间，这两个连续整数为（）

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

6.（3分）I0年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2

倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，

根据题意可列方程组为（）

Afy+10=6（x+10）

,ly-10=2（x-10）

Bfy-10=6（x-10）

-ly+10=2（x+10）

Cjy-10=6（x+10）

'lv+10=2（x-10）

Dfy-10=2（x-10）

-ly+10=6（x+10）

7.（3分）已知且则点（-J,-q+1）关于原点的对称点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y（米）与小球运动的时间x（秒）之

间的关系式为丫="2+-+。（aWO）.若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列

时间中小球所在高度最高的是（）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

9.（3分）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛

的益智游戏.如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“塌”和“隼”的点的坐标分别为

（4,3）,（-2,1）,则表示棋子“炮”的点的坐标为（）

A.（1,3）B.（3,2）C.（0,3）D.（-3,3）

10.（3分）关于x的一元二次方程7-以+贮1=0的根的情况是（）

2

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

11.（3分）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是（）

A.y=2（1+2）B.y=2（x-2）C.y=2x-2D.y=2x+2

12.（3分）抛物线3mx+2（w<0）经过点A（myi）^B（1,*）两点，若yi>”,

则实数。满足（）

A.-4<r/<lB.a<-4或41C.-4<“W-旦D.

22

13.（3分）将二次函数y=2?-3的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长

度，下列关于平移后所得抛物线的说法，正确的是（）

A.开口向下B.经过点（2,3）

C.与x轴只有一个交点D.对称轴是直线x=l

14.（3分）对于实数小b,我们定义符号〃g{a,b}的意义为：当时，max{a,b}=a；

当时，max{a,h}=b；如：max{49-2}=4,mcix{3,3}=3,若关于x的函数为y

=max{x+3,-x+1},则该函数的最小值是（）

A.0B.2C.3D.4

15.（3分）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3）,

与x轴的一个交点B（4,0）,有下列结论：①2〃+b=0；②abc>0；③方程cur+bx+c

=3有两个相等的实数根；④当yVO时，-2<x<4,其中正确的是（）

c.①③④D.①②③④

二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

16.（3分）要使式子甲1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______.

vn_

17.（3分）计算：tan300+|1-.

18.（3分）因式分解：4/y-9/=.

19.（3分）平面直角坐标系中，已知点4（。，3）,点6（2,b）,若线段AB被），轴垂直平

分，则〃+6=.

20.（3分）定义一种法则“㊉”如下：a㊉6=[a（a>b）,例如：1㊉？=2,若（-3p+5）

lb（a<b）

㊉11=11,则°的取值范围是.

21.（3分）已知a-6=3,那么2a-2b+6=.

22.（3分）抛物线y=2（x-3）（x-1）的顶点坐标是.

23.（3分）当。=2018时，代数式4■一二1一的值是______.

a+1a+1Q+l）2

24.（3分）利用计算机中“几何画板”软件画出的函数y=/（x-3）和y=x-3的图象如

图所示.根据图象可知方程？（x-3）=x-3的解的个数为3个，若〃？，〃分别为方程

x2（x-3）=1和x-3=1的解，则/〃，n的大小关系是.

25.（3分）如图1,在AABC中，NB=45°,点P从△ABC的顶点出发，沿A-BfC匀

速运动到点C,图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M,

N为曲线部分的两个端点，则aABC的周长是.

（图1）啕》

三.解答题（共3小题，满分25分）

26.（7分）如图，已知反比例函数丫=皿的图象经过第一象限内的一点A（〃，4）,过点A

x

作轴于点8,且△AOB的面积为2.

（1）求机和〃的值;

（2）若一次函数）=区+2的图象经过点4,并且与x轴相交于点C,求线段AC的长.

27.（8分）A是直线x=l上一个动点，以A为顶点的抛物线yi=a（x-1）2+r和抛物线”

=o?交于点B（A,8不重合，。是常数），直线A8和抛物线*=/交于点8,C,直

线x=l和抛物线”="2交于点n（如图仅供参考）

（1）求点B的坐标（用含有“，1的式子表示）；

（2）若a<0,且点A向上移动时，点B也向上移动，求主的范围;

a

（3）当8,C重合时，求主的值；

a

（4）当a>0,且△£?a）的面积恰好为3a时，求主的值.

a

28.(10分)已知：如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y=&r+3交x轴于点A,交y

4

轴于点8,点C是点A关于y轴对称的点，过点C作y轴平行的射线CQ,交直线AB与

点。，点P是射线C£＞上的一个动点.

(1)求点A,B的坐标.

(2)如图2,将△ACP沿着AP翻折，当点C的对应点C'落在直线AB上时，求点P

的坐标.

(3)若直线OP与直线A。有交点，不妨设交点为。(不与点。重合)，连接CQ,是否

存在点P,使得SACPQ=2SMPQ,若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明

图1图2

2021年北京市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题（共15小题，满分45分，每小题3分）

1.（3分）-5的绝对值等于（）

A.-5B.5C.±5D.0

【分析】当a是负有理数时，。的绝对值是它的相反数-〃，据此求出-5的绝对值等于

多少即可.

【解答】解：：|-5|=-（-5）=5,

-5的绝对值等于5.

故选：B.

2.（3分）将39500000000元用科学记数法表示为（）

A.0.395X10"元B.3.95X10"）元

C..95X109元D.39.5X109元

【分析】科学记数法就是把一个数写成aX10"的形式，其中lWa<10.根据〃的取值范

围可得正确结论.

【解答】解：39500000000

=3.95X10、

故选：B.

3.（3分）下列各个式子运算的结果是8a5的是（）

A.2a2+6a3B.（2a2）3C.8a7-8a2D.2a'4a4

【分析】根据合并同类项、幕的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式等法则即可求解.

【解答】解：A选项不能合并，不符合题意；

B选项得8a6,不符合题意；

C选项不能合并，不符合题意；

。选项正确，符合题意.

故选：D.

4.（3分）如图，不等式组fx-l<2的解集在数轴上表示正确的是（）

I-3x49

A.^44.9.1n12345

B.-5-4-3-2-1012345>

……「

C.-5-4-3-九1n12145’

<~~I、

D.

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等

式的解集表示在数轴上即可.

\-1<2,①

【解答】解:

-3x49,②

由①，得

x<3；

由②，得

X》-3；

故不等式组的解集是：-3Wx<3；表示在数轴上如图所示:

故选：A.

5.(3分)实数收在数轴上位于两个连续整数之间，这两个连续整数为()

A.3和4B.4和5C.5和6D.6和7

【分析】根据标最接近整数，进而得出其范围.

【解答】解：收〈而，

，会的值在两个连续整数之间，这两个连续整数是：4和5.

故选：B.

6.(3分)10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2

倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁，

根据题意可列方程组为()

Afy+10=6(x+10)

,|y-10=2(x-10)

Bfy-10=6(x-10)

-ly+10=2(x+10)

Cry-10=6(x+10)

,|y+10=2(x-10)

Dry-10=2(x-10)

ly+10=6(x+10)

【分析】设小明和他妈妈现在分别是X岁和y岁，分别表示出十年前和十年后他们的年

龄，根据题意列方程组即可.

【解答】解：设小明和他妈妈现在分别是x岁和y岁.

由题意得，（vT°=6（x-10）,

|y+10=2（x+10）

故选：B.

7.（3分）已知“VI且。W0,则点（-/,-a+i）关于原点的对称点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案.

【解答】解：点（-a2,-a+1）关于原点的对称点为：Ca2,a-1）,

•.7<1且“WO,

."2>0,a-1<0,

（a?,a-1）在第四象限.

故选：D.

8.（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y（米）与小球运动的时间x（秒）之

间的关系式为y=a?+法+c（aWO）.若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列

时间中小球所在高度最高的是（）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴

越近，对应的y值越大，即可解答本题.

【解答】解：由题意可得，

当x=7+14=105时,），取得最大值，

2

•.•二次函数具有对称性，

.•.当f=8,10,12,15时，，取10时，y取得最大值，

故选：B.

9.（3分）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛

的益智游戏.如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“禹”和“隼”的点的坐标分别为

（4,3）,（-2,1）,则表示棋子“炮”的点的坐标为（）

A.(1,3)B.(3,2)C.(0,3)D.(-3,3)

【分析】根据棋子“焉”和“隼”的点的坐标分别为(4,3),(-2,1),进而得出原点

的位置，进而得出答案.

【解答】解：如图所示：帅的位置为原点，则棋子“炮”的点的坐标为(1,3).

故选：A.

y小

10.(3分)关于x的一元二次方程7-M+Q1=0的根的情况是()

2

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【分析】此题只要求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断.

【解答】解：VA=(-a)2-4X1X111=(a-1)2+1>0,

2

关于X的一元二次方程7-办+Q!=O有两个不相等的实数根.

2

故选：A.

11.(3分)直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是()

A.y=2(x+2)B.y=2(x-2)C.y=2x-2D.y=2x+2

【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析

式为y=2x-2.

【解答】解：直线y=2x向下平移2个单位得到的函数解析式为y=2r-2.

故选：C

12.(3分)抛物线y=〃i/+3a+2(w<0)经过点A(a,yi)、B(1,”)两点，若yi>”,

则实数。满足()

A.-4<a<lB.aV-4或a>lC.-4VaW-3D.

22

【分析】先确定抛物线的对称轴为x=-1里=-1.5,则确定点B（1,”）关于直线》=

2m

-1.5的对称点的坐标为（-4,y2）,然后利用二次函数的性质得到〃的范围.

【解答】解：抛物线的对称轴为x=-血=-1.5,

2m

而点8（1,>'2）关于直线x=-1.5的对称点的坐标为（-4,

二抛物线开口向下，且yi>”，

-4<a<l.

故选：A.

13.（3分）将二次函数y=2?-3的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长

度，下列关于平移后所得抛物线的说法，正确的是（）

A.开口向下B.经过点（2,3）

C.与x轴只有一个交点D.对称轴是直线x=l

【分析】先确定二次函数y=27-3的顶点坐标为（0,-3）,再把点（0,-3）向右平

移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标为（2,0）,根据抛物线的顶点

式写出平移后的抛物线解析式，然后根据二次函数的性质进行判断即可.

【解答】解：二次函数y=2?-3的顶点坐标为（0,-3）,把点（0,-3）向右平移2

个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标为（2,0）,所以所得的图象解析式

为

y=（x-2）2.

Va>0,

.•.抛物线开口向上，

,当x=2,y=0,

抛物线与x轴只有一个交点，经过点（2,3）的说法不正确.

抛物线的对称轴为x=2.

则正确的说法是C.

故选：C.

14.（3分）对于实数a,b,我们定义符号侬a{4,〃}的意义为：当时，max{a,b]=a-,

当时，机h}=b；如：mor{4,-2）=4,〃?av{3,3}=3,若关于x的函数为y

=max[x+3,-x+1},则该函数的最小值是（）

A.0B.2C.3D.4

【分析】分-1和xV-1两种情况进行讨论计算,

【解答】解：当工+327+1,

即：-1时，y=x+3,

当X=-1时，ymin=2,

当x+3<-x+1,

即：x<-1时，y=~x+1,

Vx<-1,

•♦-x'^>1,

.*•-x+1>2,

Ay>2,

♦•ymin=2,

故选：B.

15.(3分)如图是抛物线'=0?+芯+0(a¥0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1,3),

与x轴的一个交点B(4,0),有下列结论：①2a+b=0；(2)abc>0；③方程a^+bx+c

=3有两个相等的实数根；④当y<0时，-2<x<4,其中正确的是()

C.①③④D.①②③④

【分析】结合函数图象,根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不

等式间的关系逐一判断即

可

8.如图是抛物线y=a?+bx+c（gO）图象的一部分，抛物线的顶点坐标/（1,3）,

与x轴的一个交点8（4,0）,有下列结论：①2a+b=0；②而c>0；③方程ax2+bx+c^3

有两个相等的实数根：④当六。时，-2VxV4.其中正确的是（▲）

A.B.①③C.GWD.

【解答】解：①•.•抛物线的对称轴X=-旦=1,

2a

:.b=-2a,即2a+b=0,故此结论正确;

②..•由图可知“VO、c>0,

:.b=-240,

则“历<0,故此结论错误；

③由图象可知该抛物线与直线y=3只有唯一交点A（1,3）,

方程a^+bx+c^有两个相等的实数根，此结论正确；

④抛物线与x轴的交点为（4,0）且抛物线的对称轴为x=l,

则抛物线与x轴的另一交点为（-2,0）,

.•.当y<0时，》<-2或》>4,此结论错误;

故选:B.

二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）

16.（3分）要使式子军乙在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是x>l

x-l

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【解答】解：由题意得x-l>0,

解得x>l.

故答案为：x>l.

17.（3分）计算：tan30°-患+11-%用=亚-1.

【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及二次根式性质，绝对值的代数意义计算即

可求出值.

【解答】解：原式=返-返+«-1=«-1,

33

故答案为：Vs-1

18.（3分）因式分解：4x\・9y3=y（2x+3v）（2x-3v）.

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=y(4x2-9y2)—y(2x+3y)(2r-3y),

故答案为：y(2x+3y)(2x-3y)

19.(3分)平面直角坐标系中，已知点A(a,3),点B(2,b),若线段AB被)，轴垂直平

分，贝Ua+b=1.

【分析】根据线段AB被y轴垂直平分，则可知点4与点B关于)，轴对称，根据对称的

性质即可解答.

【解答】解：•.•线段AB被y轴垂直平分，

.•.点A(a,3)与点8(2,b)关于y轴对称，

.,.a--2,b=3,

•**ci+b=-2+3=1.

故答案为：1.

20.(3分)定义一种法则“㊉”如下：a㊉8=［a(a>b),例如：［㊉？=2,若(-3p+5)

lb(a<b)

©11=11,则"的取值范围是p2-2.

【分析】由新定义得出-3p+5<ll,解之可得.

【解答】解：由题意，得：-3p+5Wll,

解得：p2-2,

故答案为：0》-2.

21.(3分)已知a=3,那么2a-23+6=12.

【分析】把所求的式子用已知的式子a-匕表示出来，代入数据计算即可.

【解答】解：•••“-6=3,

：.2a-2b+6=2(a-b)+6=2X3+6=12.

故答案为：12.

22.(3分)抛物线y=2(x-3)(x-1)的顶点坐标是(2,-2).

【分析】先把抛物线y=2(x-3)(x-1)化成顶点式，再根据抛物线y=a(x-/z)2+k

的顶点坐标为(h,k),写出顶点坐标即可.

【解答］解：；y=2(x-3)(x-1)=2(f-4x+3)=2(x-2)2-2,

二抛物线y=2(x-3)(x-1)的顶点坐标是(2,-2)；

故答案为：(2,-2).

23.(3分)当“=2018时，代数式(_亘_-」_)2a-1的值是2019.

a+1a+1Q+l)2

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将“的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答】解：(」_-，).a-l

2

a+1a+1(a+l)

al.(a+1)2

a+1a~*l

=〃+l,

当“=2018时，原式=2018+1=2019,

故答案为：2019.

24.(3分)利用计算机中“几何画板”软件画出的函数y=/(x-3)和y=x-3的图象如

图所示.根据图象可知方程f(x-3)=x-3的解的个数为3个，若根，〃分别为方程

【分析】利用函数图象，通过确定函数y=7(x-3)和y=x-3的图象与直线y=l的

交点位置可得到，〃与〃的大小.

【解答】解：因为函数>=/(x-3)和y=x-3的图象与直线y=l的交点的横坐标为

方程，(%-3)=1和x-3=1的解，

所以m<n.

故答案为m<n.

25.(3分)如图1,在△ABC中，NB=45°,点尸从△ABC的顶点出发，沿匀

速运动到点C图2是点尸运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M,

N为曲线部分的两个端点，则AABC的周长是24+8，2.

【分析】根据P点在A8段、BC段运动时，4尸长度的变化，结合图2中的图象分析出

48和4C长，借助45°,作构造出两个直角三角形，利用勾股定理可求BC

段长度.

则三角形的周长可求.

【解答】解：当P点从A到8运动时，AP逐渐增大，当尸点到B点时，AP最大为48

长，从图2的图象可以看出AB=8点；

当P点从B到C运动时.，AP先逐渐减小而后逐渐增大，到C点时AP最大为AC长，从

图2的图象可以看出AC=10.

过A点作A”_LBC于，点，VZB=45°,:.AH=BH=®AB=8.

2

在RtZ\4C”中，CH=hc2fH2=6.

；.BC=8+6=14.

所以aABC的周长为8扬10+14=24+8后.

故答案为24+872.

三.解答题（共3小题，满分25分）

26.（7分）如图，已知反比例函数丫=&的图象经过第一象限内的一点A（”，4）,过点A

x

作轴于点8,且△AOB的面积为2.

（1）求m和〃的值；

（2）若一次函数》=履+2的图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求线段AC的长.

【分析】（1）由点A（小4）,轴，且点A在第一象限内，得AB=4,OB=n,利

用△A03的面积为2可求〃的值，从而得到点A的坐标，代入反比例函数解析式即可求

出

(2)代入点A坐标即可求出一次函数的解析式，从而求出与x轴交点。的坐标，利用勾

股定理即可求线段AC的长.

【解答】解：(1)由点A(n,4),轴于点8,且点A在第一象限内，得A5=4,

OB=n,

._11

..ScAAOT——x4n=2n,

由S&AOB=2,得n=lf

・••点A的坐标为(1,4),

把A(1,4)代入双中，得加=4；

x

(2)由直线y=Ax+2过点A(1,4),得&=2,

所以一次函数的解析式为y=2x+2；

令y=0,得x=-1

所以点C的坐标为(-1,0),

由(1)可知08=1,所以8C=2,

在RtZ\4BC中，AC=7AB2+BC2=^42+22=2底

27.(8分)A是直线x=l上一个动点，以A为顶点的抛物线yi=a(x-1)2+r和抛物线”

=/交于点8(48不重合，。是常数)，直线AB和抛物线交于点B,C,直

线x=l和抛物线交于点D.(如图仅供参考)

(1)求点8的坐标(用含有“，，的式子表示)；

(2)若。<0,且点A向上移动时，点B也向上移动，求主的范围；

a

(3)当B,C重合时，求主的值；

a

(4)当a>0,且△3C。的面积恰好为3“时，求主的值.

a

【分析】（1）把两抛物解析式联立方程组，求得的解（含人，的式子）即为点8坐标.

（2）由于A向上移动时，点B也向上移动，即点B纵坐标的值随点A纵坐标的值变大

而变大，所以），8=.口+工）?随着t的增大而增大,把”看作关于r的二次函数，可知当

4a

a<0时开口向下，故在对称轴左侧即/<-a,），B随着t的增大而增大，利用不等式性质

即求得主〉-1.

a

（3）以点A、8坐标用待定系数法求直线AB解析式，在把直线A8和抛物线”联立方

程组另一交点C的坐标.

（4）把x=l代入”=a%2求得点。坐标，发现点C、。纵坐标相等，即CZ）〃x轴，CD

=2,所以△BCD面积等于CD与点B到C。距离乘积的一半.又点8到CQ距离即点B

与点C纵坐标之差，需分类讨论再结合。<0计算.

'a+t

【解答】解：⑴•.•卜a（x-l）2+t解得：,2a

1y=ax2y-（a+t/

[y4a

2

...点B坐标为（至1,（a+t））

2a4a

2

（2）•.•点4（1,f）向上移动，点B（生主，包出一）也向上移动

2a4a

.•.），B=（a+t）随着t的增大而增大

4a

；），B=gt亚■可看作是），B关于t的二次函数

4a

.•.当〃<0时，此二次函数的图象开口向下，在时取得最大值为0

-a,*随着f的增大而增大

，主〉-1

a

(3)设直线AB解析式为

._t-a

k+b=tk-2

a+1(a+t)2解得：

-k+b=t+a

2a4a2

直线48：>=匕犹+,-t+a

22

a+t

_t-at+a

丫丁*丁X[=-lX2^2T

解得：