2021年高考数学真题试卷（浙江卷）

2022年高考数学真题试卷（浙江卷）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。（共10题；共40分）

1.设集合力=1},B={x[-l<x<2},则An8=()

A.{x\x>-1}B.{x\x>1}C.{x|-1<X<1}D.{x|l<x<2}

2.已知aeR,(l+ai)t=3+i,(i为虚数单位)，则a=()

A.-1B.1C.-3D.3

3.已知非零向量工荒，贝广本2=鼠2"是"胃=]"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

正视图侧视图

俯视图

A..B.3C,小D.3V2

22

x+1>0

5.若实数x,y满足约束条件{x-y<0,则z=x—：y的最小值是（)

2c+3y-1<0

A.-2B.--C.--D.

22

6.如图已知正方体ABCD-,M,N分别是AtD,D田的中点，则（）

A.直线与直线DiB垂直，直线MN//ABCD

B.直线AtD与直线DiB平行，直线MV1平面BDDiBi

C.直线4山与直线相交，直线MN//平面ABCD

D.直线必。与直线异面，直线MV1平面BDDiBi

7.已知函数f(x)=炉+｝g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是()

A.y=f(x)+g(x)-：B.y=/(x)-g(x)-：c.y=/(x)g(x)D.y=需

8.已知a，，Y是互不相同的锐角，则在sinacos0,sin0cosy,sinycosa三个值中，大于；的个数的最大值

是()

A.0B.1C.2D.3

9.已知a,beRab>0>函数f(x)=ax2+b(xeR).若f(s—t)/(s),/(s+t)成等比数列，则平面上

点(s,t)的轨迹是()

A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线

10.已知数列［%>｝满足%=］期+1=怠56川).记数列｛%｝的前n项和为5n，则()

tQQ

A.彳<5ioo<33<5]oo<4C.4<5IQQ<-D.—<5i（）o<5

二、填空题（共7题；共36分）

11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正

方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方形的面积为S],

小正方形的面积为S2,则*=________-

S1

12.已知aeR,函数若/[/（V6）]=3，则a=.

13.已知平面向量蒜£6±0）满足|a|=l,\b\=2,ab=0,（a-b）.c=0.记向量d在林方向上的

投影分别为x,y,?_力在2方向上的投影为z,则炉+丫？+/的最小值为.

34432a

14.已知多项式（%—I）+（x+I）=x+QjX4-a2x+a3x+a4，则i=，^2++a4=

15.在AABC中，N®=60°MB=2，M是BC的中点，AM=2H，则AC=，

cos^MAC=

16.袋中有4个红球m个黄球，〃个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为I,若取出的两个球都是

红球的概率为:,一红一黄的概率为：，则m-n=,E（0=.

17.已知椭圆9+'=l(a>b>0)，焦点F[(-c,O)，F2(C,0)(C>0)，若过F,的直线和圆

(x—；c)2+y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点p，且PR，4轴，则该直线的斜率是

，椭圆的离心率是.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共

5题；共74分)

18.设函数f(x)=sinx+cosx(xeR).

(1)求函数y=[f(x+e]2的最小正周期；

(2)求函数y=/(x)/(x-g)在[0,勺上的最大值.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，

^ABC=120°.AB=IBC=4,PA=vlS-M,N分别为8cpe的中点，PD1DC,PM1MD.

(1)证明：AB1PM；

(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.

20.已知数列｛an｝的前n项和为S„,ai=-；，且45n+J=3Sn-9.

(1)求数列｛an｝的通项；

(2)设数列｛bj满足3&n+(n-4)an=0，记｛&„)的前n项和为7；，若几为加对任意neN,

恒成立，求A的范围.

21.如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点F的直线交抛物线与48两点，斜率为2的直线/与直线MA.MB,AB,x轴依次交于点P

Q,R,N,且[HV]2=|PM“QM，求直线/在x轴上截距的范围.

22.设a,b为实数，且a>1,函数f（x）=a*-bx+e2（xe均

（注：e=2.71828.是自然对数的底数）

（1）求函数r（x）的单调区间；

（2）若对任意b>2e?,函数有两个不同的零点，求a的取值范围；

4

（3）当a=e时，证明：对任意b>e，函数f（x）有两个不同的零点xtjc2<满足

、bind,f

*2>可修+了-

答案解析部分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.【答案】D

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】由交集的定义结合题意可得：/lnB={x|l<x<2].

故答案为：D.

【分析】利用数轴，求不等式表示的集合的交集。

2.【答案】C

【考点】复数代数形式的乘除运算，复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】(1+ai)i=i—a=—a+i,

利用复数相等的充分必要条件可得：一a=3,二a=-3.

故答案为：C.

【分析】根据复数相等的条件，即可求得a的值。

3.【答案】B

【考点】充分条件，必要条件，充要条件，平面向量数量积的运算

【解析】【解答】若a.c=b'c,则(a—&)•c=0>推不出Z=b；若W=b,则搭2=8・2必

成立，

故""是"a=b"的必要不充分条件

故答案为：B.

【分析】先将条件等式变形，可能得到条件不充分，后者显然成立。

4.【答案】A

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】几何体为如图所示的四棱柱ABCD-AiBiCiDi,其高为1,底面为等腰梯形ABCD,

该等腰梯形的上底为V2，下底为2衣，腰长为1，故梯形的高为

故^4BCD-4|B|C)Di=(V2+2V^)-XyX\,

故答案为：A.

【分析】先由三视图，还原立体图形，然后根据数量关系计算体积。

5.【答案】B

【考点】简单线性规划

x+1>0

【解析】【解答】画出满足约束条件｛x-y<0的可行域，

2v+3y—1<0

如下图所示：

目标函数z=x—化为y=2x—2z>

由kn，解得「二一」，设4(_LD，

l2r+3y-1=0、y=l''

当直线y=2x-2z过A点时，

z=x~^y取得最小值为一；.

故答案为：B.

【分析】先画出可行域，然后由目标函数，作出直线y=2x-2z,当直线过A点时，得到最优解，从

而计算出结果。

6.【答案】A

【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】连ADi,在正方体ABCD-中，

M是AtD的中点，所以M为ADi中点，

又N是DiB的中点，所以MN//AB,

MNC平面ABCD.ABc平面ABCD,

所以MN//平面ABCD.

因为AB不垂直BD,所以MN不垂直BD

则MV不垂直平面BDDiBi,所以选项B,D不正确;

在正方体ABCD-A[B©Di中，ADIJLAD,

AB1平面AAiDiD,所以ABlAiD,

ADldAB=A,所以AtDl平面ABDx,

DiBc平面ABDi,所以AtD1DtB,

且直线/D,DiB是异面直线，

所以选项B错误，选项A正确.

故答案为：A.

【分析】对于A：连ADi,根据三角形的中位线定理，得到MiV〃AB，，所以A正确；

对于B：若(1)知直线MV//AB,若MV1平面BDD1B1,则MiV1BD,从而A481BD,这显然不正

确，所以B不正确；

对于C：显然，直线Afi与直线是异面直线，故C错误；

对于D：由B知，MN不垂直平面BDDiBi。

7.【答案】D

【考点】函数的图象与图象变化

【解析】【解答】对于A,y=f(x)+^(X)-j=X2+suiA--该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，

排除A；

对于B,y=/,(%)—g{x)—j=x2—sinx>该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C,y=f(x)g(x)=(必+：)疝犬，则y'=2xsiiix+("+Jcosx，

当时，y'=1*0+(亡+3X★>0，与图象不符，排除C.

♦221642

故答案为：D.

【分析】由A,B解析式都是非奇非偶函数，可以判断A,B错；

对于C,先对丫=/0)9(幻=(/+3疝吠求导，然后计算当时，―仁)>0,与图不符合，所

4’44

以C错，故选D.

8.【答案】C

【考点】正弦函数的定义域和值域，余弦函数的定义域和值域

【解析】【解答】法1：由基本不等式有sinacos任必空吟，

同理sinScosH型亨匕，sinycosa空空的，

3

故sinacosj?4-sin^cosy+sinfcosoc"，

故sinacos^,sin/?cosy,sinycostr不可能均大于；.

取a=g,0=g,y=:,

则sincrcos/?=：V1,sin^cosy=[>；sinycosa=个>；,

故三式中大于2的个数的最大值为2,

2

故答案为：C.

法2：不妨设a<p<y,则cost?>cosj?>cosy,sina<sinj?<siny,

由排列不等式可得：

sinQcos.+sinjJcosy+sinycosasincrcosy+sh】Scos£+sinycoscr，

K13

[tnsiiiffcosy+sin/?cos^4-sinycosa=sin(y+a)+-sin2^二，

故sinacos^,sin/?cosy,sinycosa不可能均大于；.

取a=g,B=g，r=5，

则siiiacos/?=^<gsin.cosj/=[>：5inycosQ=左〉：'

故三式中大于？的个数的最大值为2,

2

故答案为：C.

【分析】先由基本不等式abw(9J得出三个积sinacos^,sinpcosy,sinycosa的取值范围，就可以得到

结果。

9.【答案】C

【考点】等比数列，平面向量的综合题

【解析】【解答】由题意得f(s—t)f(s+t)=[/(s)]2，即[a(s—t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+&)2,

对其进行整理变形：

(as2+at2-2ast+b)(g2+妙2+2ast+b)=(as2+6)2，

(as2+at2+&)2-(2ast)2-(as2+&)2=0,

(27s2+at2+2&)at2-4a2s2t2=0，

一2a252t2+Q2t4+2。沅2=0，

所以—2as2+at2+2b=o或t=0,

其中卷一1=1为双曲线，t=o为直线.

aa

故答案为：c.

【分析】由三个数成等差数列，列出等式，推导结果。

10.【答案】A

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列，等比数列的通项公式

【解析】【解答】因为4=1«%+1=曰。16W)，所以%>0,Sioo>-.

-A-n-L=_L+-L=(J-+JI*—*

®n*l®ny/^i\24

根据累加法可得，1+等=等，当且仅当n=1时取等号，

-4%~%n+1

-°n-(^7“%+i=7T标'.三二而4

n*-l

•-,当且仅当n=1时取等号，

ann+3(ti+l)(n+?

所以5too<+——+,,,+——^―)=6(——<3，即2<5IOO<3.

WO-^233445101102y、210272100

故答案为：A.

【分析】由递推公式，冼先得到Sioo>?，进一步推导出3，然后用累加法等推导出

2v®n*l2

Sloo<3。

二、填空题

11.【答案】25

【考点】三角形中的几何计算

【解析】【解答】由题意可得，大正方形的边长为：a=4不取=5，

则其面积为：SI=52=25,

小正方形的面积：S2=25-4X(1X3X4)=l.

从而=—=25.

Si1

故答案为：25.

【分析】由勾股定理及三角形面积公式求解。

12.【答案】2

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法

【解析】【解答】八/(后)]=/(6-4)=/(&=|2-3|+a=3，故a=2,

故答案为：2.

【分析】分段函数求函数值。

13.【答案】-

5

【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律

【解析】【解答】由题意，设Z=(LO)力=(OF2)Z=(mn)，

则(%—b),2=m—2n=0，即m=2〃，

又向量？在胃上方向上的投影分别为x,y,所以？=(x,y),

所以d-3在C方向上的投影z=%=%?H=三*，

即2r+y-=2，

所以x2+y2+z2=A.[22+12+(-V5)2](X2+y2+z2)>—(2c+y-V5z)2=-,

2

x_y_55

当且仅当｛2一1--通即｛y=g时，等号成立，

2x+y—=2g

Z="T

所以/+y2+22的最小值为2.

故答案为：-.

5

【分析】根据己知条件，先取特殊值一,.7)、并设，再由投影公式上上解答。

a=(1i0n),&=(0/2)c一(m叼-

101

14.【答案】5；10

【考点】二项式定理

【解析】【解答】(x-l)3=x3-3x2+3x-1,

(x+1)4=X4+4X3+6X2+4X+1,

所以a1=1+4=5以2=—3+6=3,

。3=3+4=7g=-1+1=0，

所以g+=1°-

故答案为：5,10.

【分析】因为指数不高，直接展开。

15.【答案】2E；等

【考点】解三角形，余弦定理的应用

【解析】【解答】由题意作出图形，如图，

A

BM

在AABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM-BA-cosB，

即12=4+BM2_2BMX2叼，解得BM=4(负值舍去)，

所以BC=2BM=2CM=8，

在4BC中，由余弦定理得4c2=W+BC2_24B.BC-cosB=4+64-2X2X8叼=52，

所以AC=2v13；

ACZ+AM,-MC”_5al2-16_2、由

在AAMC中,由余弦定理得cos^MAC=

2AMAC-2必2b*2713-13

故答案为：2E；等.

【分析】三次使用余弦定理求BM,AC,cos/l仞C即可。

16.【答案】1；-

9

【考点】等可能事件的概率，离散型随机变量的期望与方差

【解析】【解答】P汽=2)=f—=1=^C2=36，所以m+n+4=9,

、，，C~m*n7Cm~-n*46ntTHT

P<-a-w>=:,'C"1=¥=[=：=m=3,所以n=2,则m—n=1.

由于P汽=2)=/&=1)=等=姜=/&=0)=,屋=?

E(K)=-X2+-X1+—XO=A+-=-.

6918399

故答案为：1;-.

9

【分析】先由取出的两个球都是红球的概率为:，由古典概型公式得到m+n=5,再由£的可能

取值，求出相应的概率，根据数学期望的计算公式求解即可.

17.【答案】竺；渔

55

【考点】圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系

【解析】【解答】如图所示：不妨假设c=2,设切点为B,

疝】力匕52=热=：,tan^?F/2=-y=^=|VS

所以,由k=*JFiF2|=2c=4,所以tanN?FiF2=*-=:居，于是

5Ki^l，器一方，

2a=|PF1|+|PF2|=475，即a=2v弓，所以e=E=4=@•

a2v55

故答案为：等；去

【分析】(1)取特殊值c=2,根据圆的切线的性质，计算相关线段长度，在直角三角形ABF1中，可以求得

tan4FF2的值；

(2)由(1)及AF]4B~AFIPF2椭圆的定义，就可以计算a的值，进一步得到离心率。

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.【答案】(1)解：由辅助角公式得/'(%)=sinx+cosx=&sin(x+：),

则y=Lf(x+j)]2=[V2sin(x+Y)]2=2sin2(x+'=1-cos(2v+当=1-sin2r

所以该函数的最小正周期T=-=n

2

(2)解：由题意，y=f(x)f(x-7)=\/2sin(x+7),v,r2sinx=2sin(x+7)sini

444

=2siiir・(fsiiir+?cosx)=V2siii2x+V2siiixcosx

=O・飞6+fsin2r=^sin2r-枭os2r+==sin(2v-g)+''

22222、4，2

由xe%]可得"U号,

所以当太一：=；即x=汽时，函数取最大值1+亚

4282

【考点】正弦函数的定义域和值域，由丫=人$访(3X+6)的部分图象确定其解析式，正弦函数的周期性

【解析】【分析】(1)先将原函数化为：f(x)=sinx+cosx=\^2sin(x+j),

再化简y=[/■(x+y)]2=l-sin2x，再根据正弦函数的周期公式，求得周期；

⑵化简y=f(x)/(x—3)=疝⑵一引+1，然后根据x的取值范围，求得函数的最大值。

19.【答案】(1)证明：在幺DCM中，DC=1,CM=2,NDCM=60。，由余弦定理可得

DM=V3，

所以DM2+DC2=CM2,DMJ.DC.由题意DC1PD且PDnDM=D,二DC1平面

PDM,而PMu平面PDM，所以DC1PM,又AB//DC,所以48J.PM

(2)解：由PM1MD,ABJ.PM,而48与DM相交，所以PM1平面ABCD,因为

AM=V7，所以PM=2y[2，取RD中点E,连接ME,则ME,DM,PM两两垂直，以点M为坐

标原点，如图所示，建立空间直角坐标系，

则4(-V3,20)F(0,0,20),D(V3,0,0),M(0,0,0),C(A-10)

又N为PC中点，所以N(学-今密加=(小-］设)•

由(1)得CDJL平面PDM,所以平面PDM的一个法向量n=(0,10)

从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为疝历=拼胃=_=至

【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】(1)通过己知的边，用余弦定理求得DM的长度，再根据勾股定理的逆定理，判断出

DM1DC,由DCJ.PD,得DC_L平面PDM,结合AB||DC,则有AB_LPM；

(2)建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量的知识求直线与平面成的角。

20.【答案】(1)解：当n=l时，4(a1+a2)=3a1-9,

当nN2H寸，由45"1=35”一9①，

得4Sn=3Sn-i—9②，①-②得40Tl+1=3%

又士="...｛斯｝是首项为一2,公比为三的等比数列,

B|444

•••时W尸=-3.(7

(2)解：由3b„+(n—4)%=0,得bn=-?期=(n-4)(j)n>

所以T„=-3xl-2x(^)2-lx(^)3+0x(j)4+...+(n-4)-(j)n.

=-3X(：)2_2X(；)3一1X(：)4+5).+(“_4).(3严1,

两式相减得jT„=-3x^+(!)2+(i)3+(!)4+...(!)n-(n-4).(!)"+1

=-*岑2-5-4)《严

4'4

=~J+J-4(J)nM-(«-4).(J)B+1=-n•(J)B+1，

n+1

所以Tn=-4n-(j).

由Tn左bn得一4小弓)"+1左(n-4)-(j)n恒成立，

即A(n-4)+3n>0恒成立，

n=4时不等式恒成立；

〃<4时，走上=一3一上，得左1;

n-4n-4

n>4时，左二=一3—二，得差3；

n-4n-4

所以一3左1

【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和，等差数列与等比数列的综合

【解析】【分析】(1)首先根据递推公式，证明｛an｝是等比数列，进一步求得an.

(2)先由an与bn的关系，求出bn.然后通过逐项求和，写出Tn,再由错项相减的方法，求得Tn；

在由T”为久恒成立，进一步求得人的取值范围。

21.【答案】(1)解：因为|MF|=2,故p=2,故抛物线的方程为：y2=4x

(2)解：设AB：x=ty+1，4(x1,y1),B(x2,y2),N(nJO))

所以直线-=»,由题设可得”1且..

2

由r)?：l可得y-4ty-4=0,故y,2=-4%+y2=4t,

因为\RN\^=\PN\.\QN\，故（用词）小马力|・阮^］，

72=故yl=1力H"l.

又,y=*x+l），由I；虫：；）可得冲=黑

2

同理yQ=S^

x=ty+1,

由］y可得yp=

i%=；+〃)R上一1

2

所以［置竹7)］2-1日什1))2X宣n+D)”

L--1」T乜+2f2xi+2-》i

整理得到（?）2=（二一1）斗yiyz

tl+1(a2+2—以)⑵】+2-yi)

4(2一平

4+2-y»&2-)1)

4(2-1)^(a*

--£>--个,._?

I^+S+>'D2-叩1-2^丫，g-&九+，1)+4|

故(岩)2一升4产

(2-1)

令s=2t-1,则t=管且SH0,

升4F*+2s+412t4//1|1、2I33

故=l+17+7=4(7+T)+I^I'

(2-1)S5S444

{(岩即n2+14nl>0

故{+

n*1"1

解得nW7-4V5或-7+4V?sn<1或n>1.

故直线I在x轴上的截距的范围为n<7-4V3或-7+4V5sn<1或n>1

【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，即可求得P,进而写出方程；

（2）设AB：x=ty+l,并设月（41，丫1）4（后）2），阳?刈，写出直线hx=^+n,代入抛物线，

由韦达定理写出关系式，再由\RN\2=\PN]-\QN\,结合直线方程，推出关系式，进而利用基本不

等式以及解相关不等式，得出直线I在x轴上截距的范围。

22.【答案】（1）解：/,（%）=ax—bx+e2,f/（x）=axlna-b>

①若b<0,则f"（x）=axina-b>0，所以f⑺在R上单调递增；

②若b>0,

当Xe（-81oga9时，f（x）<0,/（x）单调递减，

当xe（log2i^,+«）时，f（x）>O./（x）单调递增.

综上可得，bs0时，f（x）在R上单调递增；

&>0时，函数的单调减区间为（-=oj0gaA）,单调增区间为（岫高+叼

（2）解：/（X）有2个不同零点特a，-bx+e2=0有2个不同解分炭血一人+e?=0有2个不同的

解，

令t=xlna>则”一"+e2=0=>o>

InsInar

记g(t)=7g'(t)=

记k(t)=er(t-1)-e2J'(t)=er(t-1)+er•1=er-t>0，

又4⑺=0，所以tw(0,0时，A(0<0,"(2+8)时，i(t)>o,

2

则g(t)在(0,④单调递减，(2+8)单调递增，：,需〉g(?=e,AIna<4，

vb>2e2,A->2,hia<2=>1<a<e2>

即实数a的取值范围是(Ie?]

(3)解:a=e,f(x)=ex—bx+e2有2个不同零点，则ex+e2=bx,故函数的零点一定为正数.

由(2)可知有2个不同零点，记较大者为x2,较小者为x,,

b=----=---->e4，

注意到函数y=?在区间(0,4上单调递减，在区间(2+8)上单调递增，

故xt<2<x2<又由匚千<丁知M>5,

》=士〈之