《环节一 任意角》教案【高中数学人教A版】

环节一任意角【整体感知】问题1请同学们阅读章引言，回答下列问题：（1）本章将要学习哪类函数？（2）这类函数主要可以解决实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）函数的研究过程是：定义——图象与性质——应用；其中性质的一般研究过程是：定义域、奇偶性、单调性、最值、值域等；图象的画法：一般采用描点法；性质的研究方法：可以由图象研究性质，也可以由解析式研究性质．【新知探究】1．任意角的概念、运算图1α问题2圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图1，⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P图1α答案：我们知道，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．如图1，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α．当角α确定时，终边OP的位置就确定了．这时，射线OP与⊙O的交点P也就确定了．因此可以借助角α的大小变化刻画点P的位置变化．问题3我们以前所学角都在0°～360°的范围内，生活中有超出0°～360°角的例子吗？请你举例说明．答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2（1））；如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过540°（如图2（2））．图2（1）图2（2）图2（1）图2（2）追问这些角的不同，体现在哪几个方面？答案：两个方面，一是旋转量的大小；二是旋转方向．问题4请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种分类标准和定义方法是与以前的哪个知识进行类比的？答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．因此，角可以分为正角、负角、零角．这种分类标准和定义方法是与实数进行类比的．练习1分别作出210°，－150°，750°，－660°的角．答案：如图4（1）（2）（3）（4）．图4（1）图4（1）图4（2）图4（4）图4（3）追问角的概念推广到任意角之后，两个角相等需要满足什么条件？答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等．问题5我们学会了用图形和符号表示角，接下来我们该研究角的运算了．那么，两角相加是怎样规定的？答案：规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．问题6类比实数，什么样的两个角互为相反角？两角又该怎样相减？答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有α－β=α+(－β)．练习2你能通过作图，判断30°+120°与150°；30°－120°与－90°的关系吗？答案：如图5（1）（2）．图5（1图5（1）图5（2）由图可知，30°+120°=150°；30°－120°=－90°．追问对于一般的α－β呢，你能类比实数给出相应说明吗？答案：对于一般的α－β，如果α>β，则α－β>0°；如果α=β，则α－β=0°；如果α<β，则α－β<0°．从图形上看，就是把角α的终边旋转角－β（若β>0°，则顺时针旋转│β│；若β<0°，则逆时针旋转│β│；若β=0°，则不作旋转），这时终边所对应的角是α－β．2．象限角问题7在直角坐标系中讨论角，为了方便，角的顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边所在象限的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；根据角的终边所在的象限不同，将角分为第一、二、三、四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，常称为“轴线角”；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．练习3教材第171页第1，2，3题．答案：1．锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角．2．三，三，五．3.（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角．3.终边相同的角问题8在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与－32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与－32°角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表示出来？将－32°推广到一般角α，结论应该是什么？答案：还有－392°，328°，688°等等；有无数个；相差360°的整数倍；{β｜β＝－32°＋k·360°，k∈Z}；{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}．例1在0°~360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．追问与－950°12′角终边相同的角都有什么共同点，如何表示？答案：相差360°的整数倍；与－950°12′角终边相同的角可以写成{β｜β＝－950°12′＋k·360°，k∈Z}，当k=3时，β＝129°48′，它是第二象限角．例2写出终边在y轴上的角的集合．追问这些角终边分别落在几条射线上？终边落在每条射线上的角分别如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？答案：两条；y轴正、负半轴上的角的集合分别为S1={β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}，S2={β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}；相差180°的整数倍；用一个集合表示即为：S=S1∪S2={β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}={β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β｜β＝90°＋(2k+1)·180°，k∈Z}={β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z}．例3写出终边在直线y=x上的角的集合S．S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？追问在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？答案：六个；所求角的范围包含了三周；S={β｜β＝45°＋k·180°，k∈Z}；－315°，－135°，45°，225°，405°，585°．【归纳小结】问题9本节课将角的概念推广到了任意角，并且对其进行了分类，有几种分类方法？分别分为哪几类？每一类是怎么定义的？角的加减运算又是如何定义的？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？任意角角任意角角推广分类正角负角零角象限角运算度量角度制终边相同角周期现象性质规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边