2021年陕西高考数学理试卷附解析

2021年陕西高考数学理试卷附解析

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.)

1.设集合/={x|d=x},N={x|lgx<0},则MUN=()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-oo,l]

【答案】A

【解析】

试题分析:乂={尤卜2=司={0,1},N={x|gx<0}={xp<x〈l},所以MUN=[0,1],

故选A.

考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算.

2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女

教师

的人数为()

A.167B.137C.123D.93

[解析]

■I

洒分析：该校女老师的人数是110xZ0%>+150x(l-6Q%)=137,故选B.」

考点：扇形图.

3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin("x+°)+4,据

6

此函数

可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()

A.5B.6C.8

D.10

【答案】c

【解析】

试题分析：由图象知：ymin=2,因为》min=—3+女，所以一3+左=2,解得：攵=5,所

以这段时间水深的最大值是％m=3+左=3+5=8,故选C.

考点：三角函数的图象与性质.

4.二项式(x+l)"(〃eM)的展开式中V的系数为15,则〃=()

A.4B.5C.6

D.7

【答案】C

'【解析】',

武题分析，二®式(x+1)"的展开式的通项是T,“=C；;乙令r=2得P的系数是U,因为，的系数为15.

酿C：=I5,即/-”-30=0,解如〃=6或因为kCN..耐”=6.故选C..

考点：二项式定理.

5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

A.3%B.4万C.2%+4

D.3乃+4

2

__1U

^—2—

主视图左视图

r

【答案】D

【解析】

试题分析：由三视图知：该儿何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1,母线长为2,所以

该儿何体的表面积是Jx2»xlx(l+2)+2x2=3»+4,故选D.

2

考点：1、三视图；2、空间几何体的表面

积.6."sina=cosa"是"cos2a=0”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也

不必要条件

【答案】A

试题分析：因为852&=802(2-5布2&=0,所以sina=cosa或sina=-cosa,因为

**sina-cosan=>“cos2a=0",但"sina=costz""cos2a=0",所以

“sina=cosa"是"cos2a=0”的充分不必要条件,故选A.

考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条

件.7.对任意治海。力，下列关系式中不恒成立的是()

A.|a-Z?|<r«H|B.\a-b\<\\a\-\b\\

C.(a+b)2—\a+b|2D.(«+b)(a-b)=a~-b--

【答案】B

■【解析】■1

试题分析,因为卜叶同同<6值研4同同，所以选项A正瑜当d与反方向相反时，卜-小忖-同

I■

不成立,所以选项B错误।向置的平方等于向量的模的平方，所以选项C正瑜(石+$)(,-，)=东-7,

用以选项D正确.故选B...

考点：1、向量的模；2、向量的数量积.

8.根据右边的图，当输入x为2006时，输出的y=()

A.28B.10C.4D.2

哗

/戳h/

I产3：+lI

/<fey7

【答案】B

【解析】

试题分析：初始条件：X=2006；第1次运行：x=2004；第2次运行：龙=2002；第3

次运行：%=2000；……；第1003次运行：x=0;第1004次运行：x=-2.不满足条

件xNO?,停止运行，所以输出的y=32+l=10,故选

B.考点：程序框图.

9.设/(x)=Inx,。<。<人，若p=gb),q=/(,_r=(/(a)+/(勿)，则下

22

列关系

式中正确的是()

A.q=r<pB.q=r>pC•p=r<q

D.p-r>q

【答案】C

'【解析】■'

litfi分析:p=f(y/ab)=In>/abfq—/(—y—)=In,+=dn，

■■

函数/(x)=lnx在(0,+a)上单调速电，因为空>相，所以/(空)>〃疑)，所以q>p=r.

盘选C...

考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性.

10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天

原料

的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企

业每天可获得最

大利润为()

A.12万元B.16万元C.17万元D.18

万元

甲乙原料限额

A(吨)3212

B（吨）128

【答案】D

【解析】

试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为了、y吨，则利润z=3x+4y

3x+2y«12

x+2y<8

由题意可列｛,其表示如图阴影部分区域:

%>0

”0

当直线3x+4y—z=0过点A(2,3)时，z取得最大值，所以2„皿=3x2+4x3=18,故选

D.

考点：线性规划.

11.设复数z=a—l)+yi(x,yeH),若|z区1,则yNx的概率为()

3111

A._+B.-_

42%42%271

11

D._+_

271

【答案】B

【解析】

试题分析：z=(x—1)+yi=>|z|=J(x-l¥+y2«1=(%—1y+V41

如图可求得8(1,0),阴影面积等于』；rxl2-』xlxl=Z—1

4242

»_111

若|z区1,则yNx的概率是土2=_-_,故选B.

axF4In

考点：1、复数的模；2、几何概型.

12.对二次函数/(x)=af+fex+c(a为非零常数)，四位同学分别给出下列结论，其中

有且仅有

一个结论是错误的，则错误的结论是()

A.-1是/(x)的零点B.1是/㈤的极值点

C.3是/(%)的极值D.点(2,8)在曲线y=/(x)上

【答案】A

,1

试题分析，若选项A修误时,选嗫B、C、D正确,r(x)=lax+b,因为I是〃x)的极11点，3是，(x)

?极值,叫需=3叫…+』’解得因为点。⑻在曲叱小)上，叱

4a+2b+c=S.即4a+2x(-2a)+a+3=8,解得：a=5.所以b=-10,c=8.所以

/(x)=5?-10x+8,因为〃-l)=5x(-l)；-10x(-l)+8=23w0,所以-1不是/(x)的零点，所以

选项A错误，选项B、C、D正确，故选A...

考点：1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极

值.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20

分.)

13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为.

【答案】5

【解析】

试题分析：设数列的首项为勾，则6+2015=2X1010=2020,所以为=5,故该数列的

首项为5,所以答案应填：5.

考点：等差中项.

14.若抛物线V=2px(p>0)的准线经过双曲线f_V=1的一个焦点，则p=.

【答案】20

r解析】■1

试题分析，抛物线炉=2内(p>0)的准线方程是x=-(,双曲^/-炉=1的一个焦点耳卜血,0),

向为抛物妓，=2px(P>0)的准线经过双曲线V-F=I的一个焦点，所以-t=7L解得广=2".’

所以答案应俄,2万.

■■■

考点：1、抛物线的简单几何性质：2、双曲线的简单几何性质.

15.设曲线y=/在点(0,1)处的切线与曲线y=L(x>0)上点p处的切线垂直，则p的

X

坐标

为一

【答案】（1,1）

【解析】

试题分析：因为y=e>所以y'=，，所以曲线y=，在点（0,1）处的切线的斜率

k=y'I=e°=1，设P的坐标为（x,y）（x〉0）,则y=，因为y=1，所以

1\x=00000——

/X

>'=—、所以曲线y=1芋点P处的切线的斜率氏=y'|因为人=一1,

y2丫2|x=x（）v212

所以一=即f=l,解得x=±l,因为x>0,所以x=l,所以y=l,即P的

~00000

%

坐标是（1,1）,所以答案应填：（1,1）.

考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系.

16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中

虚线表

示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_.

【答案】1.2

【解析】

试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示:

原始的最大流脑是1x（10+10—2x2）x2=16,设抛物线的方程为无2=2py（p>0）,

225252

因为该抛物线过点（5,2）,所以2Px2=52,解得p=_，所以f即y=」2,

4225

所以当前最大流量是

5/2，^dx^lx--炉、5=/2x5-2X53、_「2X(_5)_2x(-5)3^—,

J-5125力175卜(75八75』3

16

故原始的最大流量与当前最大流量的比值是布=L2，所以答案应填：L2.

T

考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

17.(本小题满分12分)AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,8，c.向量

m=(a,或》)

与1=(cosA,sinB)平行.

(I)求A；

(II)若a=8=2求AABC的面积.

【答案】(I)—'(")3’.

32

St题分析，(I)先利用而〃五可得asinB-庭sinA=0,再利用正弦定理可得tanA的值,进而可得A的

(II)由余弦定理可用c的值,进而利用三角形顺积公式可得AABC的面积..

试题解析：(I)因为比〃/，所以asinB-@AcosA=0.

由正弦定理，得sinAsinB-阴sinBcosA=0

又sinBwO,从而tanA=/.

由于0<A<n,所以A="

3

(II)解法一：由余弦定理，得/=y+c2-2hccosA

71

而a=/b=2,A=

3

得7=4+/-2c,即c2-2c-3=0因

为c>0,所以c=3.

•ojT

故AABC的面积为一bcsinA=工

22

2

解法二：又正弦定理，得

从而sinE=,

7

'又由a>b,知AAB,所以COSE=2包

7

I不、=sinBcos-+cosffsin-=^i

故sinC=sin(A+B)=sin；B+§JJJ

3314

所以AABC的面积为；besinA=孚.

考点：1、平行向量的坐

标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.

18.(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD中，AD//BC,NBAD=%

2

AB=BC=I,

AD=2,E是AD的中点，0是AC与BE的交点.将AABE沿BE折起到AhBE的

位置，如图2.

图2

(1)证明：CDJ_平面AQC；

(II)若平面A|BE,平面BCDE,求平面A|BC与平面AjCD夹角的余弦值.

【答案】(I)证明见解析；(II)选

3

■【解析】:-1

iit题分析：(I)先证BEJ.0A1，BE_OC,再可证BR_平面AQC,进而可证CDJ_平面AQCi(II)

■I

先建立空回直角坐标系，再葭出平面ARC和平面A£D的法向量,进而可得平面AjBC与平面AgD夹

串的余弦值..,

试题解析：(I)在图1中，

因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，ZBAD=_所以BE_LAC

2',

即在图2中，BE_L0A],BE1OC

从而BE±平面AQC

又CDdBE,所以CDL平面A0C

图1

（II）由已知，平面AiBEJ.平面BCDE,又由（1）知，BE1OA^BE10C

所以NAOC为二面角A-BE-C的平面角，所以NAOC=Z.

1112

如图，以0为原点，建立空间直角坐标系，

因为A1B=A1E=BC=ED=1,BC口ED

所以B^,o,O),E(--y,0,0),A,(0,0,1),C(0，¥，0),

CD=BE=(-0,o,o).

得肥（一手（0）,A函2,正与

设平面ABC的法向量百=（X]，M，Z]）,平面AQD的法向量正=（%2，%，22），平面ABC与

平面AQD夹角为。，

[n.-BC=0[-x,+¥1=0

则43，得4八，取勺=（1,Li）,

y—z=0

[a-AjC=oIIi

依您8,得（rz2'取W（°，I，D，

17T〔22

——2/

从而cose=icos。],a）i=——==——>

阴x&3

即平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为一.

1'~T

考点：1、线面垂直：2、二面角：3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.

19.(本小题满分12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通

状况有关，

对其容量为100的样本进行统计，结果如下:

T(分钟)25303540

频数(次)20304010

(1)求T的分布列与数学期望ET；

(II)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校

区，求刘教授从

离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.

【答案】(I)分布列见解析，32；(II)0.91.

【解析】

试题分析：(I)先算出T的频率分布，进而可得T的分布列，再利用数学期望公式可得数

学期望ET：(II)先设事件A表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分

钟”，再算出A的概率.

试题解析：(1)由统计结果可得T的频率分步为

(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事

件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应

于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.

解法一：P(A)=P(3+%<70)=P(Ti=25,7,<45)+P((=30,7^<40)

+P(3=35,乙435)+P((=40,T2<30)=lx0.2+lx0.3+0.9x0.4+0.5x0.1=0.91.

解法二：

P「=।AT+2)+P((=40,乙=40)

=0.4x0.14-0.1x0.4+0.1x0.1=0.09

故尸(A)=l-P(A)=0.91.

考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期里；2、独立事件的概率.

x2y2

20.(本小题满分12分)已知椭圆E：j+4=1(。〉匕〉0)的半焦距为c,原点。至U

a~b~

经过两点

(c,0),(0,〃)的直线的距离为」c.

2

(I)求椭圆E的离心率；

(II)如图，AB是圆乂：(工+2)2+仃-1)2=!_的一条直径，若椭圆E经过A,B两点,

2

求椭圆E的方

【答案】(I)更；(II)f+亡i.

2123

【解析】

试题分析：(I)先写过点(c,0),(0,b)的直线方程，再计算原点0到该直线的距离，进

而可得椭圆E的离心率；(II)先由(I)知椭圆E的方程，设AB的方程，联立

[y=Z(x+2)+l

〈，消去y,可得％+/和％两的值，进而可得左，再利用|AB|=而可

[三+小二破

得层的值，进而可得椭圆E的方程.

试题解析：(I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为"+cy-bc=O,

则原点0到直线的距离d=产——*

y/b2+C2a

由d=l0得a=2b=2而不，解得离心率£=史.

2a2

(ID解法一：由(I)知，椭圆E的方程为f+4y2=4/.(1)

依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|=丽.

易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为y=Z(x+2)+l,代入(1)得

(1+4女2)x2+8kQk+l)x+4(2k+1)2-4/?2=0

8%(2左+1)4(24+1)2-4/

设4(再,y.),B(X,y),则x,+x=-?，^=----7TTP----

2221+4K21十t■鼠

8k(2k+1)八山口11

由x+x=-4,得-=-4,斛得&=_.

121+4/2

2

从而x}x2=S-2b.

=也伊一2）.

由|ABI=M，得JIo（/_2）=用？解得/=3.

故椭圆E的方程定.+lt=i.

123

解法二：由（I）知，椭圆E的方程为尤2+今2=46.⑵

依题意，点A,B关于圆心M（-2,1）对称,且|AB|=M

设A(x,y),B(x,y),则/+外2-4b1,x2+4y2-4b2,

11221I22

两式相减并结合Xi+x2=-4,y1+必=2,得-4(x「々)+8(%-%)=°・

易知，AB不与x轴垂直，则xwx,所以AB的斜率k=y\-y2_1

I2AB~-XX--2，

12

因此AB直线方程为y=：(%+2)+1,代入⑵得f+4x+8-2h2=0.

所以x+x=-4,xx=8-2b2.

1212

J%|AB|=J1+图于厂引=乎,&+%)2-=40(/-2).

由|AB|=JRJ,得110(/-2)=M，解得k=3.

故椭圆E的方程为二+其=1.

123

考点：1、直线方程：2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程：

5、圆的方程：6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.

21.（本小题满分12分）设〃x）是等比数列1,X,炉，…，X"的各项和，其中》>0,

nGN,

n>2.（i\

/2/正明：函数F（x）（x）—2在J,「内有且仅有一个零点（记为x）,且

1.1M+1

X=_+_X;

n2-2M

设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为

g〃(x),比较力(X)

与g"(x)的大小，并加以证明.

【答案】(I)证明见解析；(ID当x=l时，£(x)=g,(x),当1时，力(x)<g"(x)，

证明见解析.

【解析】

试题分析：(I)先利用冬点定理可证F(x)在J内至少存在一个零点，再利用函数的

单调性可证F(x)在「［，)内有且仅有一个零点，进而利用x是F(x)的零点可证

x=1+，％"，(口)先设〃("=/(力一8(x),再对尤的取值范围进行讨论来判断/"x)

“22〃”〃

与0的大小，进而可得fn(X)和gn(X)的大小.

2

试题解析：(I)工(x)=/,(x)-2=l+x+x+…/'-2,则^(1)=/?-1>0,

11ri?nri-yri

居(2)=1+2+Q2%厂2=1一；_2=_2.<。，

所以尸(X)在［1,1)内至少存在一个零点X.

又F'(x)=l+2x+加1>0,故在'1,1、内单调递增，

所以尸(x)在［1,1)内有且仅有一个零点x.

1„n+l11n+1

因为尤"是工(X)的零点，所以工(x“)=0,即1-X"-2=0,故无“=_+_龙”.

If,22

(ID解法一：由题设,

设〃(x)=/,(X)-g“(无)=1+X+%2+…X,,x>0.

当x=l时，力(x)=g“(x)

当XW1时，//(x)=]+2x+…i_仆；)J.

若

0<x<1,〃'(x)>/+2xn-'+…娥-_e=〃(〃+1)y-i，(〃+1)尸=o

222

若x>l,〃,(x)<一+2/枭-=〃(〃+1)尸-/〃+])尸=0.

222

所以g)在(0,1)上递增,在(1,+8)上递减，

所以〃(x)</?(1)=0,即力(x)<gn(x).

综上所述，当x=l时，<(x)=g"(x)；当XX1时工(x)<g,(x)

(n+1)(1+£)

解法二由题设，于“(%)=!+%+?+...Z,4(%)-2'X>°，

当x=l时，，(九)=g"(x)

当xHi时，用数学归纳法可以证明工(x)<g.a).

当“=2时，£(x)-g2(x)=-；(1-X)%。，所以/2(x)<g2(x)成立.

假设〃=MAN2)时,不等式成立,即加x)<gG).

那么，当〃=%+1时，

(k+1)(1+/A2?+i+(左+1)M+Z+l

几G)=A(x)+x<g*a)+x»r__^+x**=--------------------

2尸+(Z+l)f+Z+1_我I(1+l)f+l

gk+i⑺-22

令〃式x)=〃+i-(Z+l)x*+l(x>0),则

4'(%)=%(1<+1)幺一人(％+1)/7=A。+1)/6—1)

所以当0<x<l,/<(x)<0,4(x)在(0,1)上递减；

当x>1,h：(x)>0,hk(x)在(1,+oo)上递增.

2/,+1+(Z+1)xk+k+l

所以4(x)>为⑴=0,从而gk+i(x)>

2

故fk+](X)<gjfc+1(X)・即〃=%+1，不等式也成立.

所以，对于一切〃22的整数，都有<(x)<g“(x).

解法三：由已知，记等差数列为｛4｝,等比数列为色｝,k=l,2,…,〃+1.则q=4=1,

%=〃用=乂,，

£-1k-\

所以《=1+(^-1)-(2<Zr<n),bk=xQ&k&n),

n

令m(x)=a—b=1+"可'1)一尸.x〉0(2«kV").

kkkn

当x=1时，4=%，所以力(元)=g„(x).

当xH1时，」'(x)=~一~nx"~'—(k-l)xA-2=(k--1)

*n

而所以后-l>0,〃-Z+121.

nA+1

若0<尤<1,x<l,m；(x)<0,

当x>l,>1,(x)>0,

从而恤(x)在(0,1)上递减，叫(x)在(1,+00)上递增.所以外(x)>/⑴=0,

所以当x>0且xwl时,。*>%(24女《"),又=或1，故£(x)<g”(x)

综上所述，当X=1时，£(x)=g“(x)；当XH1时工(x)<g“(x)

考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.

请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B

铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，AB切||0于点B,直线AD交||0于D,E两点，BC1DE,垂足为C.

(I)证明：ZCBD=ZDBA；

(H)若AD=3DC,BC=/,求IIO的直径.

【答案】(I)证明见解析；(II)3.

【解析】

试题分析：(1)先证NCBD=NBED,再证NDBA=NBED,进而可证NCBD=NDBA；

（II）先由（I）知BD平分NCBA,进而可得AD的值，再利用切割线定理可得AE的值,

进而可得