2021年中考数学专题11圆（解析版）

五年真题一年模拟（解析版）

专题11圆

一、挑选题

1.（2021衢州）如图，点A,B,C在。。上，ZACB=35°,则NAO8的度数是

（）

475°B.70°C.65°D.35°

【答案解析】B

2.（2021杭州）如图，尸为。。外一点，力、PB分别切。。于A、B两点，若PA=3,

则尸8=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案解析】B

3.（2021湖州）如图，已知四边形ABC。内接于。O,ZABC=70°,则/AOC的度数是

Dt

A.70°B.110°C.130°D.140°

【答案解析】B.

4.（2021临安）如图，。。的半径。4=6,以A为圆心，0A为半径的弧交。。于8、

C点，贝ijBC=（）

A.673B.60C.3百D.372

【答案解析】4

5.（2021湖州）如图，已知正五边形A8CDE内接于。。，连结则NA8O的度

数是（）

A.60°B.70°C.72°D.144°

【答案解析】C

6.（2021宁波）一块圆形宣传标记牌如图所示，点A,B,°在上，8垂直平

分AB于点。，现测得A3=8dm,DC=2dm,则圆形标记牌的半径为（）

A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm

【答案解析】B

7.（2021宁波）如图，圆锥的底面半径一为6cm,高〃为8cm,则圆锥的侧面积为

A.30兀cm2B.48兀cn?C.60n:cm2D.80n:cm2

（第9题图）

【答案解析】C.

8.（2021绍兴）如图，ZkABC内接于圆。，ZB=65°,ZC=70°,若BC=2"

则弧8。的长为（）

A.冗B.垃冗C.27rD.204

【答案解析】A

9.（2021湖州）如图，己知。T是RtAABO斜边AB上的高线，AO=BO.以。为圆

心，OT为半径的圆交OA于点C,过点C作。。的切线CQ,交43于点£）.则下

列结论中错误的是（）

4.DC=DTB.AD=MDTC.BD=BOD.2OC=5AC

【答案解析】B

10.（2021宁波）如图所示，矩形纸片A8CO中，AD^6cm,把它分割成正方形纸片

ABEE和矩形纸片EFC。后，分别裁出扇形A3尸和半径最大的圆，恰好能作为一个

圆锥的侧面和底面，则A3的长为（）

A.3.5cmB.4cmC.4.5cmD.5cm

【答案解析】B

6.（2021嘉兴）如图，已知。。上三点A,B,C,半径0c=1,NA8C=30。，切线以

交OC耽误线于点尸，则布的长为（）

1

A.2B.y/3D.-

2

【答案解析】B

IL（2021温州）如图，菱形0ABe的极点A,B,C在。。上，过点B作。。的切

线交OA的耽误线于点D若。。的半径为1,则的长为（)

A.1B.2C.V2D.6

【答案解析】D

12.（2021衢州）如图，AC是。。的直径，弦BD1AO于E,毗邻BC,过点O作

。尸，BC于尸，若B£>=8cm,4E=2cm,则。尸的长度是（）

A.3cmB.acmC.2.5cmD.后

【答案解析】D

13.（2021丽水）如图，是。。的直径,点A、C在OO上，AB=BC>

ZAOB=60°,贝IJNBOC的度数是（）

C.35°D.30°

【答案解析】D

14.（2021宁波）如图，在RtAABC中，/A=90°,BC=2&,以8c的中点。为

圆心分别与43,AC相切于£>,E两点，则拉E的长为（）

4畤D.2p

【答案解析】B.

15.（2021杭州）.如图,已知BC是。的直径，半径OA_LBC,点。在劣弧AC上

（不与点A,点C重合）,BD与OA交于点E.设NAED=a,NAOO=£,则（）

A.3a+6=180。B.2。+尸=180。

C.3a一夕=90。D.2«-/?=90°

【答案解析】D

16.（2021杭州）如图，在RQABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分别绕直

线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作人12,侧面积分别记作

A.li：12=l:2,SI：S2=1：2B.li：h=l:4,Si：S2=l：2

C.Ii：h=l：2,SI：S2=1:4D.li：b=l：4,Si：S2=l:4

【答案解析】A

17.（2021金华）如图,点C是以A8为直径的半圆。的三等分点，AC=2,则图中阴

影部分的面积是（）

A.y-VJcA

艮y-2^

2冗>/3

Q.1r

【答案解析】A.

18.（2021金华）足球射门，不思量其他身分，仅思量射点到球门A8的张角大小时，张

角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点A,8,C,£>,E均在格点上，球员带球沿CZ）

方向进攻，最好的射点在（）

A.点CB.点、D或点E

C.线段Z）E（异于端点）上一点。.线段CD（异于端点）上一点

（第9题图）

【答案解析】C.

19.（2021台州）如图，在△ABC中，4B=10,AC=8,BC=6,以边AB的中点。为圆

心，作半圆与AC相切，点P,Q分别为边BC和半圆上的动点，毗邻尸Q,则尸Q长

的最大值与最小值的和是（）

32

A.6B.2屈+1G.9D.—

3

【答案解析】C.

【试题解答】

试题解析：如图，设。。与AC相切于点E,毗邻OE,作。Pi_LBC垂足为Pi交。。于

Qi,此时垂线段OPi最短，P©最小值为O.Pi-OQ\,VAB=10,AC=8,BC=6,

：.AB2=AC2+BC2,...NC=90°,VZOP,B=90°,：.OP\//AC

'：AO=OB,：.PC=P\B,：.OP=-AC=4,最小值为。OQi=l,如图，当。2

,t2-

在AB边上时，P2与8重合时，P2Q2最大值=5+3=8,，P。长的最大值与最小值的和

是9.故选C.

二、填空题

1.（2021杭州）如图，AT切。。于点A,AB是。。的直径.若NABT=40。，则

ZATB=.

【答案解析】50

2.（2021台州）如图，AB是。。的直径，C是。。上的点，过点C作。O的切线

交AB的耽误线于点。.若NA=32。，则度.

【答案解析】26

3.（2021台州）如图，AABC的外接圆。的半径为2,ZC=40°,则AB的长

是______

Q

【答案解析】

9

4.（2021湖州）如图，已知在AABC中，AB=AC.觉得AB直径作半圆O,交BC

于点D.若NBAC=40。，则AD的度数是度.

（第14SS）

【答案解析】140

5.（2021杭州）如图，已知AB是。。的直径，8c与。0相切于点B,毗邻AC,0c.若

sin/BAC=贝ijtanZBOC=.

3

【答案解析】叵

2

6.（2021温州）如图，。。分别切/BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧EDF

上.若NBAC=66。，则NEPF等于度.

【答案解析】57

6.如图，已知AB是半圆。的直径，弦CO〃AB,C£>=8,48=10,则C£>与AB之间

的间隔是.

【答案解析】3.

7.（2021台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC的夹角为120。，AB

长为30厘米，则BC的长为________厘米.（成果保留兀）

【答案解析】27t.

8.（2021嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的0。,

ABm=90°,弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为.

【答案解析】（32+48兀）cm2

9.（2021嘉兴）如图，在半径为后的圆形纸片中，剪一个圆心角为90。的最大扇形

（阴影部分），则这个扇形的面积为;若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接

头），则圆锥底面半径为.

【答案解析】（1）.K（2）.；

10.（2021宁波）如图，半圆O的直径AB=2,弦C£»〃A8,ZCOD=90°,则图中阴影部

分面积为_____________

（第17题图）

7F

【答案解析】

4

11.（2021嘉兴）如图，在。O中，弦AB=1,点C在AB上移动，连结OC,过点C

作COJ_OC交。O于点D,则CD的最大值为一.

H

I)

【答案解析】-

2

12.（2021宁波）如图，正方形ABC。的边长为8,M是AB的中点，尸是BC边上的

动点，连结PM,以点尸为圆心，长为半径作OP.当0P与正方形A8C。的边相切

时，BP的长为

【答案解析】3或

13.（2021绍兴）如图1,小•敏操纵课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂

直放置的脸盆与架子的交点为4,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的间隔为

10cm,则该脸盆的半径为cm.

图1图2

【答案解析】25

14.（2021台州）如图，有一个边长不定的正方形A8CZ）,它的两个相对的极点A,C

分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个极点8,£）在正六边形内

部(包罗界限)，则正方形边长”的取值范畴是

【答案解析】手H3-G

【试题解答】

试题分析:①当正方形ABCD的对角线4C在正六边形一组平行的对边的中点上时，正方形边长a的值最小,

4c是正方形的对角线，D=日”当；

②当正方形458的四个顶点都在正六边形的边上时，正方形边长。的值最大，力。是正方形的对角线月C,

则△但是等腰三角形，四边形4FGD是等腰梯形，过F,G分别作FH1M,GN].AD,设心x,则⑷E

-x,.'.AB=-j3x,AH=DN=—(l-x),.'.^Z>=1+(1-x),-73x=l-(1-x),.,.x=y/3—l,.'.AB=3—y/3,

2

二.正方形边长a的取值范围是：理WaW3-出，故答案为：国WaW3-».

22

考点：正多边形和圆；最值问题.

15.(2021宁波)如图，。0的半径。4=2,B是。。上的动点(不与点A重合)，过

点3作。0的切线BC,BC=OA,连结OC,AC.当△Q4C是直角三角形时，其斜边

长为一

【答案解析】2月

三、解答题

1.（2021嘉兴）已知：如图，在AOAB中,OA=OB,。。与48相切与点C.求证:AC=BC.

小明同学的证明过程如下框:

:哂二仍，「4二4.

六给心

、'“0枇丝40%,

*''At-^C-.

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打‘7"；若错误，请写出你的证明过程.

【答案解析】证法错误.证明见解析

【试题解答】

【考点解析】

小明同学通过两边及一边对角对应相等证明两个三角形全等是错误的，没有如许的

判断定理.毗邻oc,根据切线的性质和等腰三角形三线合一的性质得出结论即可.

【详解】解：证法错误.

证明：连结OC.

与AB相切于点C,

：.OC±AB.

'：OA=OB,

：.AC=BC.

【点睛】本题考查切线的性质和等腰三角形的性质，谙练掌握切线的性质和等腰三角形

三线合一的性质是解题的关键.

2.（2021金丽）如图，AB的半径OA=2，0CLA8于点C,ZAOC=60°.

（1）求弦A8的长.

（2）求的长.

【答案解析】（1）2y/3;（2）

【试题解答】

【考点解析】

（1）根据题意和垂径定理，可以求得AC的长，然后即可得到A3的长;

（2）根据NAOC=60°,可以得到NAOB的度数，然后根据弧长公式计算即可.

【详解】解：(1)A8的半径Q4=2,OC_LAB手点C,NAOC=60。,

\AC=0A蟀in60?2?瓜

AB=2AC=2G：

(2)-.OCLAB,Z4OC=60°,

.•.ZAOfi=120°,

♦.0=2,

120万x2_4乃

AB的长是：180-T

2.（2021湖州）如图，已知四边形ABC。内接于圆O,连结8£>,ZBAD=\05°,

NO5c=75。.

（1）求证:BO=CD；

（2）若圆。的半径为3,求标的长.

【答案解析】（1）、证明过程见解析：（2）、兀

【试题解答】

试题分析：（1）、直接利用圆周角定理得出NDCB的度数，再利用/DCB=/DBC求出答案；（2）、首先求出版

的度数，再利用邨长公式直接求出答案.

试题解析：（1）、.四边形AECD内接于圆0,.\ZDCB+ZBAD=180o,,/ZBAD=105°,

.\ZDCB=18O0-105°=75°,,.*ZDBC=75<>,.*.ZDCB=ZDBC=75O,.,.BD=CDj

（2）、,.,ZDCB=ZDBC=75°,.".ZBDC=30°,

由圆周角定理，得，食的度数为：60。，故食黑臀曦3,冗，

loUloU

答：食的长为冗.

考点：（1）、圆内接四边形的性质；（2）、弧长的计算.

3.（2021衢州）如图，ZiABC内接于。0,AB为。。的直径，AB=10,AC=6,连结

OC,弦A。分别交OC,BC于点E,F,其中点E是AO的中点.

（1）求证：NCAO=NC8A.

（2）求OE的长.

【答案解析】（1）见解析；（2）1.4

【试题解答】

【考点解析】

（1）操纵垂径定理以及圆周角定懂得决问题即可；

CEAC

（2）证明△AEC^/\BCA,推出——=—,求出EC即可解决问题.

ACAB

【详解】（1）证明：：AE=DE,OC是半径,

••AC=C。，

ZCAD=ZCBA；

(2)解：如图：

AZACB=90°,'：AE=DE,：.OCA.AD,：.ZAEC=90°,：.ZAEC=ZACB,

,,CEAC.CE6..1

*■△AA£Ccz,AABCA,••=-----,**-----=—,..CE—3.C),*0C=—AB=5,

ACAB6102

：.OE=OC-EC=5-3.6=14.

3.(2021湖州)如图，已知△ABC是。。的内接三角形，是。。的直径,连结

BD,BC平分/ABD

(1)求证：/C4O=/4BC；

(2)若40=6,求而的长.

【考点解析】（I）由角平分线的性质和圆周角定理可得ZDBC=ZABC=ZCAD；

（2）由圆周角定理可得CD=AC,由弧长公式可求解.

【解答】解：（1）平分乙

：.ZDBC=ZABC,

'：ZCAD=ZDBC,

：.ZCAD=ZABC；

（2）'：ZCAD=ZABC,

.\CD=AC,

是。。的直径，AD=6,

CD的长=2*」、86=3兀.

222

【本题点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，弧长公式等常识，机

动运用这些性质解决问题是本题的关键.

4.（2021绍兴）如图，ZXABC内接于圆O,直径A8的长为2,过点。的切线交A3

的耽误线于点。.张老师要求添加前提后，编制一道问题，并解答.

（1）在添加前提/。=30。，求AO的长，请你解答.

（2）以下是小明，小聪的对话：

小明：我加的前提是BD=\,就可以求出AO的长.

小聪：你如许太简单了，我加的前提是ZA=30°,连结0C,就可以证明△4C8与

△DCO全等.参考此对话，在内容中添加前提，编制一道问题（可以添线、添字母），

并解答.

【答案解析】（1）AD=3,见解析；（2）见解析.

【试题解答】

（1）毗邻。C,如图，

,:CD为切线，

.,.OCLCD,：.ZOCD=90°,VZ£>=30°,OD=2OC=2,

AD=A0+0D=1+2=3；

(2)添加NDCB=30。，求AC的长，

为直径，NACB=90°,：NACO+NOCB=90°,ZOCB+ZDCB=90°,

：.NACO=NDCB,

：/ACO=NA,/.ZA=ZDCB=30°,在RQACB中，BC^^AB=\,:.AC=6BC=6

4.（2021湖州）如图，O为RtAABC的直角边AC上一点，觉得OC半径的©O

与斜边AB相切于点D,交OA于点E.已知BC=6,AC=3.

（1）求AD的长；

（2）求图中阴影部分的面积.

B

（第2】■）

【答案解析】（1）G（2）-

6

【解析】

试题分析：（1）在RtAABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可

根据切线长定理可求解；

（2）在RtZkABC中，根据4的正弦求出/A的度数，然后根据切线的性质求出0D的长，和扇形圆心角的

度数，再根据扇形的面积公式可求解.

试题解析：（1）在RtAABC中，AB=\lAC2+BC2=732+（V3）2=273

\'BC±OC

；.8C是。。的切线

是。。的切线

:.BD=BC=6

：.AD=AB-BD=y/3

,+…BC731

（2）在RQABC中，sinA=——=，^=-

AB262

NA=30°

切。0于点。

OD±AB

：.ZAOD=9Q0-ZA=60°

-----=tanA=tan30°

AD

.ODV3

••—-----

63

：.OD=\

.o_60乃xF_1

"阴影-—360一—?

考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积

5.（2021宁波）如图，己知。0的直径48=10,弦4c=6,NBAC的平，分线交。。于点

D,过点。作。ELAC交AC的耽误线于点E。

（1.）求证:OE是。0的切线；

（2）求。E的长。

（第23题图）

【答案解析】（1）详见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）连结0D,由AD平分/BAC,0A=0D,可证得/0DA=/DAE,由平行线的性质可得0D#AE,再由

DE1AC即可得0E1DE,即DE是。0的切线；⑵过点。作0F1A3于点F,由垂径定理可得AFH43,再由

勾股定理求得OFF,再判定四边形0FED是矩形，即可得DE=0A4.

试题解析：

（第23题田）

(1)连结0D,

'/AD平分NBAC,

.,.ZDAE=ZDAB,

,/OA=OD,

.\ZODA=ZDAO,

/.ZODA=ZDAE,

.\0DIIAE,

,/DEIAC

.,.OEIDE

...DE是Oo的切线J

(2)过点O作OFLAC于点F,

：.AF=CF=3,

：.OF=yjAOr-AF2=5/52-32=4,

•?ZOFE=ZDEF=ZODE=90°,

...四边形OFED是矩形，

：.DE=OF=4.

考点：切线的判断；垂径定理；勾股定理；矩形的判断及性质.

6.(2021金华)如图，在RtAABC中，ZC=RtZ,以8c为直径的。。交A8于点£>,

切线OE交4c于点E.

(1)求证：NA=NAQE；

(2)若AO=16,£>E=10,求BC的长.

【答案解析】(1)证明见解析；(2)15.

【试题解答】

试题解析：(1)只要证明NA+/B=90。，/ADE+/8=90。即可解决问题；

(2)起首证明AC=2DE=20,在RtAADC中，DC=7202-162=12,设BD=x,在

RS8DC中，BC2=f+122,在RsABC中，BC2=(x+16)2-202,可得『+122=(x+16)

2-202,解方程即可解决问题；

试题解析：(1)证明：毗邻00，是切线，AZODE=90°,/.ZADE+ZBDO=90°,

"：ZACB=90°,：.ZA+ZB=90°,"：OD=OB,:.NB=NBDO,.".ZADE^ZA,

(2)毗邻CD.

VZADE=ZA,：.AE=DE,是。。的直径，NACB=90。，；.EC是。。的切线,

：.ED=EC,：.AE=EC,VD£：=10,：.AC=2DE=20,在RtAADC中，DC=V202-162

=12,设BZ)=x,在RtABDC中，fiC^+l?2,在RtAABC中，BC2=(x+16)2-202,

：.^+122=(x+16)2-202,解得广9,.,.BC=A/122+92=15.

考点：切线的性质；勾股定理.

7.（2021衢州）如图，已知A8为。O直径，AC是。。的切线，毗邻8C交。。于点

F,取旃的中点O,毗邻AQ交BC于点E,过点£作

（1）求证：△HBEs^ABC；

（2）若CF=4,BF=5,求4c和由的长.

【答案解析】（1）证明见解析；（2）CA=6,EH=2.

【试题解答】

解析：(1)根据切线的性质即可证明：NCAB=/EH&由此即可解决问题；

(2)毗邻A只由△CAFsaCBA,推出CA2=CF-C8=36,推出CA=6,AB=

dBC?-AC?=36，AF=q3_BF?=2石，由RtAAEF丝母△AE”，推出

AF=AH=2y/5,设EF=E4=x.在RtA中，可得(5-x)W+(75)2,解方程

即可解决问题；

详解：(1)•；AC是。0的切线，

：.CA±AB.

'JEHLAB,

：.NEHB=NCAB.

'：NEBH=NCBA,

：.△HBEs^ABC.

(2)毗邻A尸.

是直径,

，ZAFB=90°.

,/NC=NC,ZCAB=ZAFC,

：./\CAF^^CBA,

：.CA2=CF・CB=36,

•'-CA=6,AB=JBC?—AC?=3石，AF=^AB2-BF2=2^•

,DF-BD，

：.ZEAF=ZEAH.

VEF1AF,EHLAB,

：.EF=EH.

t

：AE=AEy

：.RtAAEF^RtAAEH,

:.AF=AH=2卮

设EF=EH=x.在RSEHB中，（5-x）2=x2+（逐）2,

x=2,

：.EH=2.

8.(2021温州)如图，在△ABC中，ZC=90°,。是BC边上一点，以。B为直径的

。。经由AB的中点E,交A。的耽误线于点F,连结EF.

(1)求证：Z1=ZF.

(2)若sinB=且，EF=2后,求C。的长.

5

A

【答案解析】.（1）、证明过程见解析；（2）、3

【解析】

试题分析：（1）、连接DE,由BD是的直径，得到NDEB=90°,由于E是AB的中点，得到DA=DB,根据

等腰三角形的性质得到N1=NB等量代换即可得到结论；（2）、根据等腰三角形的判定定理得到AE=E1W^,

2

推出AB=2AE=4泥，在RtAATC中，根据勾股定理得到BC=7AB-AC2=8>设CD=x,则AD=BD=8-x,根据

勾股定理列方程即可得到结论.

试题解析：⑴、连接DE,；BD是。。的直径，.,.ZDEB=90°,：E是AB的中点，.，.DA=DB,

；.N1=NB,；ZB=NF\：.Z1=ZF；

（2）、；N1=N£:.AE=EF=2娓,；.AB=24E=4&,

在RtAABC中，AC=AB・sinB=4,BC=yj-AC2=8,

设C£>=x,贝ljA£>=B£>=8-x,,：AC2+CD^AD2,即42+x2=（8-x）2,；.x=3,即

CD=3.

考点：（1）、圆周角定理；（2）、解直角三角形

9.（2021金华）如图，己知：A8是。。的直径，点C在。。上，是。。的

切线，ADLCD于点。,七是AB耽误线上的一点，CE交00于点尸，毗邻

OC,AC.

D

(1)求证：AC平分ND4O.

(2)若NDAO=105。，NE=30°.

①求NOCE的度数.

②若0。的半径为2夜，求线段EF的长.

【答案解析】（1）详见解析；（2）①NOCE=45。；②2>/5-2.

【试题解答】

试题解析：（1）操纵了切线的性质，平行线的判断和性质，等边对等角，角平分线的

判断即可得证；（2）①根据（1）得出的4C//OC,从而得出同位角相等，再操纵三角

形的内角和定理即可求出答案；②作OGLCE于点G,可得FG=CG,根据等边对等角得

出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE,从而求出EF=GE-FG.睐历:学。科。网］

试题解析：3）解：•.•直线与。O相切，

.,.OC1CD；

又•「ADlCD,

.\AD/OC:

.\ZDAC=ZOCA;

XVOC=OA,

：.ZOAC^ZOCA,

：.ZDAC=ZOAC-,

；.AC平分/D4O.

（2）解：①：A£>//OC,ZDAO=105°,

：.ZEOC^ZDAO=\05°;

•/ZE=30°,

：.ZOCE=45°.

②作OGLCE于点G,可得FG=CG,

：OC=20,NOCE=45°.

CG=OG=2,

:.FG=2;

;在RTAOGE中，ZE=30°,

G£=2A/3,

:.EF=GE-FG=2下＞-2.

10.（2021衢州）如图，在等腰AABC中，AB=AC,觉得AC直径作。。交BC于

点。，过点。作垂足为E.

;

（1）求证：DE是。。的切线.

（2）若DE=6ZC=30°,求AO的长.

【答案解析】（1）见解析；（2）

【试题解答】

【考点解析】

（1）连结8,根据等腰三角形性质和等量代换得Z1=ZB,由垂直定义和三角形内

角和定理得Z2+ZB=90°,等量代换得N2+Nl=90°,由平角定义得

NDOE=90。,从而可得证.（2）连结AO,由圆周角定理得ZADC=90°,根据等

腰三角形性质和三角形外角性质可得NAQD=60。，在RtADEB中，由直角三角形性

质得BD=CD=2®在RtAADC中，由直角三角形性质得Q4=OC=2,再由

弧长公式计算即可求得答案.

【详解】

（1）证明：如图，连结OO.

,：OC=OD,AB=AC,

：.Z1=ZC,NC=NB,

•••N1=ZB,

：.DELAB,

：.N2+ZB=90。，

；•Z2+Zl=90°,

NODE=90。，

:.DE为。。的切线.

(2)解：连结AO,为。。的直径.

/.ZADC=90°.

•/AB=AC,

：.ZB=ZC=30°,BD=CD,

：.ZAOD=6D°.

;DE=/,

•••BD=CD=20

•*-OC—2,

.f60、2

・・AD=--x2=-7i

1803

【点睛】

本题考查切线的判断.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，毗邻圆心与这点

（即为半径），再证垂直即可.

11.（2021金华）四边形A8C。的对角线交于点E,有AE=EC,BE=ED,以A8为直径的半

圆过点E,圆心为O.

（1）操纵图1,求证：四边形A3CD是菱形.

（2）如图2,若C£＞的耽误线与半圆相切于点尸，已知直径4B=8.

①连结OE,求^OBE的面积.

②求弧AE的长.

_F_/»

AoBA0B

（第22题图1）（第22题图2）

【答案解析】（1）证明见解析；（2）①4,7U.

【解析】

试题分析：（1）利用对角线互相平分可先判断四边形ABCD为平行四边形，再利用直径对的圆周角是90°

可得到AC1BD,就可判断是菱形.（2）①连接0F,可得OF为aABD边AB上的高，可求得^ABD的面积为

16,AAEB面积为AABD的面积的一半，即等于8,△OEB的面积为aAEB面积的一半，即等于4;④过点D

作DH1AB于点H.可得四边形OFBH为矩形，在RtAADH中利用三角函数可求得NDAH=30。，进而可求得N

AOE的度数，弧AE的长度可求.

试题解析：（1）•:AE=EC,BE=ED,四边形ABCQ是平行四边形.•.工8为直径，且过

点、E,：.ZAEB=90°,即AC_L8D而四边形ABC。是平行四边形，；.四边形A8CD是菱

形.（2）①连结OF.：CZ）的耽误线与半圆相切于点死.••。尸，。尸.：尸（7〃48,，0尸即为

△AB。的AB边上的高.SAAB/ABxOF^x8x4=16.。.•点O,E分别为AB,BO的中点，

，SAAB/SAAB后8,所以，SAOBEmSAABE=4.②过点D作DH1AB于点H.\'AB//CD,

OFLCF,

J.FOLAB,.•./F=NFO2=NZ）HO=90°..,.四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4.在

DH1

RtADAH中，sinZDAB=——=可，/D4〃=30。.：点O,E分别为AB,BD中点，

AD~2

：.OE//AD,:.NEOB=ZDAW=30°.ZAOE=180°-NEOB=150°.二弧AE的长=

150^-x4_10万

180

考点：1圆的有关常识；2菱形的判断.

12.（2021台州）如图，已知等腰直角三角形A8C,点P是斜边8c上一点（不与B,C

重合），PE是AABP的外接圆。。的直径.

（1）求证：△APE是等腰直角三角形;

(2)若。。的直径为2,求Pd+pg?的值.

【答案解析】(1)证明见解析；(2)4.

【试题解答】

试题解析：(1)只要证明乙4EP=/4BP=45°,NR1B=9O唧可解决问题；

(2)作PM1AC于M,PNLAB于N,则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN,由

△PCM,A/WB都是等腰直角三角形，推出尸C=&PM,PB=y/2PN,即可得出答案；

试题解析：(1)证明：；A8=AC,ZBAC=90°,：.ZC=ZABC=45°,

：.ZAEP=ZABP=45°,：PE是直径，/.ZPAB=90°,；./APE=/AEP=45°,：.AP=AE,

E是等腰直角三角形.

(2)作PML4c于峪PNLiB于N,则四边形PM4N是矩形，.,/年4电"MS都是等腰

直角三房形，：.PC=拒PM,PBWPN,PC、PB'=2(PAG+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2

=2:=4.

考点：三角形的外接圆与外心；等腰直角三角形.

13.（2021金丽）如图，在0。48c中，以。为圆心，OA为半径的圆与BC相切与

点B,与。C订交于点力.

（1）求80的度数.

（2）如图，点E在。。上，毗邻CE与。。交于点尸，若EF=AB,求NOCE的度

数.

【答案解析】（1）45。；⑵ZOCE=30°.

【试题解答】

【考点解析】

（1）毗邻08,证明△AO8是等腰直角三角形，再求得ZBOC=45°,由此即可求得

8。的度数；（2）连结OE,过点。作O”_LEC于点H,没EH=t,由垂径定理可得

EF=2HE=2t,再由平行四边形的性质可得AB=CO=EF=2t.由AAOB是等腰

直角三角形，可求得。。的半径、②.在RSEHO中，由勾股定理求得OH=t.在

Rt^OCW中，由OC=2O”，即可得ZOCE=30°.

【详解】

（1）连结。8,

•••BC是。。的切线，

:.OB±BC.

•.•四边形OABC是平行四边形，

：.OA//BC,：.OB1OA.

"106是等腰直角三角形.

ZA6O=45°

-OC//AB,

：.ZBOC=ZABO=45a,

...BD的度数为45。.

(2)连结。E,过点。作O”_LEC于点，，设E"=t,

-.-OH±EC,

:.EF=2HE=2t.

•••四边形0ABe是平行四边形，

：.AB=CO=EF=2t.

是等腰直角三角形，

...。0的半径。4=扬.

在RtA£”O中，OH=4OE2-EH2=yj2t2-t2=t-

在RtAOCW中，OC=2OH,:.ZOCE=30°.

【点睛】

本题考查了切线和平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知前提证得

△AOB是等腰直角三角形是解决问题的关键.

14.（2021温州）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,点E在8c边上，且CA=CE,过

A,C,E三点的。。交AB于另一点五，作直径AO,连结。E并耽误交48于点G连

结CD,CF.

3

（1）求证：四边形。CFG是平行四边形；（2）当BE=4,CD=?AB时，求。。的直

8

径长.

【答案解析】（1）见解析；（2）。。的直径长为35/5.

【试题解答】

【考点解析】

(1)毗邻AE,由/BAC=90。，得至IJCF是。0的直径，根据圆周角定理得至叱AEZ)

=90°,即GO_LAE,推出C尸〃。G,推出A8〃CO,于是得到结论；

(2)设C£>=3x,AB=8x,得到。£)=只7=3*,于是得到4/=<7£>=3*,求得BG—

8x-3x-3x=2x,求得BC=6+4=10,根据勾股定理得到AB=8=8x,求得x=l,在

R2ACF中，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

解：(1)连结AE,

VNBAC=90°,ACF为。。的直径.

VAC^EC,：.CF±AE.

为0。的直径，•••NAED=90°,

即GD1AE,

.'.CF//DG,

是。。的直径，

ZACD=9Q°,

•••ZACD+ZBAC=\SOc,

：.AB//CD.

四边形。CFG为平行四边形.

3

（2）由8可设CD=3x,AB=8x,

8

CD-FG-3x-

■：ZAOF=ZCOD,

；•AF=CD=3x,

BG=Sx-3x-3x-2x.

,：GE//CF,

.BEBG2

••--------——.

ECGF3

又：BE=4,

AC=CE=6,

BC=6+4=10,

；•AB=飞1。2-62=8=8x，

•*-X=1.

在阳△ACF中，AF=3,AC=6,

•-CF=V32+62=3石，即。。的直径长为3x/5.

15.（2021温州）如图，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,QO（圆心O在XABC

内部）经由8、C两点，交AB于点E,过点E作。O的切线交AC于点£耽误CO交

AB于点G,作E£»〃AC交CG于点。

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形;

(2)若BC=3,tanZDEF-2,求BG的值.

【答案解析】（1）证明见解析；（2）72.学科&网

【试题解答】

试题分析：（D连接CE,根据等腰直角三角形的性质得到NB=45。，根据切线的性质得到/FEC=NB=45。,

NFEO=90。，根据平行线的性质得到/ECD=NFEC=45。，得到NEOC=90。，求得EF//OD,于是得到结论;

（2）过G作GN1BC于N,得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM,根据平行四边形的性质得到

NFCANFED,根据余角的性质得到NCGM=/ACD,等量代换得到NCGM=NDEF,根据三角函数的定

义得到CM=2GM,于是得到结论.

试题解析：（1）毗邻CE,

•.•在△ABC中，AC=BC,N4CB=90。，

，Z£J=45°,

:EF是。