四川省成都市机车车辆厂子弟中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

四川省成都市机车车辆厂子弟中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=1相交的一个充分不必要条件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把直线与圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即△＞0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件．【解答】解：联立直线与圆的方程，消去y得：2x2+2mx+m2﹣1=0，由题意得：△=（2m）2﹣8（m2﹣1）=﹣4m2+8＞0，解得：﹣＜m＜，∵0＜m＜1是﹣＜m＜的一个真子集，∴直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=1相交的一个充分不必要条件是0＜m＜1．故选A．2.如图：二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C3.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D4.下列四个命题中，不正确的是（

）A．若函数在处连续，则B．函数的不连续点是和C．若函数、满足，则D．参考答案：答案：C.解析：的前提是必须都存在！5.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是 (A)[15,20] (B)[12,25] (C)[10,30] (D)[20,30]参考答案：C如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以y=40-x，又xy≥300，，所以x(40-x)≥300即，解得10≤x≤306.集合，，则A．

B．

C．

D．参考答案：A7.三角形ABC中A，B，C的对边分别为,且成等差数列，则B等于（

）A.30°

B.60°

C.90°

D.120°参考答案：B略8.已知抛物线，点，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得，则实数m的取值范围是（）A.(4,8) B.(4,+∞) C.(0,4) D.(8,+∞)参考答案：B试题分析：设，由得，即，显然，因此，所以，即．选B．考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题．9.设集合A={﹣1，0，1}，B={x|lgx≤0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{1} C．{﹣1} D．{﹣1，1}参考答案：B【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】解对数不等式求得B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，则A∩B={1}，故选：B．【点评】本题主要考查对数不等式的解法，两个集合的交集的定义与求法，属于基础题．10.已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为

．参考答案：12.若三角方程有解，则实数的取值范围是

．参考答案：13.已知函数（e为常数）是奇函数，则a=．参考答案：略14.若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公切线，则a的取值范围为．参考答案：[，+∞）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得a的范围．【解答】解：由y=ax2（a＞0），得y′=2ax，由y=ex，得y′=ex，曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，设公切线与曲线C1切于点（x1，ax12），与曲线C2切于点（x2，ex2），则2ax1=ex2=，可得2x2=x1+2，∴a=，记f（x）=，则f′（x）=，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴当x=2时，f（x）min=．∴a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．15.（参考数据：，）设随机变量服从正态分布，则概率等于______________。参考答案：

答案:16.、设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为______________________

．参考答案：略17.正四面体ABCD的外接球的体积为，则正四面体ABCD的体积是_____.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．参考答案：【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．19.设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.参考答案：解析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2∴a=1，b=2.∴f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=.（3）依题意，有，∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.评述：本题考查导数和积分的基本概念.20.(12分)某商家推出一款简单电子游戏,弹射一次可以将三个相同的小球随机弹到一个正六边形的顶点与中心共七个点中的三个位置上(如图),用S表示这三个球为顶点的三角形的面积.规定:当三球共线时,S=0;当S最大时,中一等奖,当S最小时,中二等奖,其余情况不中奖,一次游戏只能弹射一次.(1)求甲一次游戏中能中奖的概率;(2)设这个正六边形的面积是6,求一次游戏中随机变量S的分布列及期望值.参考答案：(1)甲中奖的概率为(2)S的可能值为:0,1,2,3,其分布列为S0123P21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，,，,,分别为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：(1)易知AB,AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．设，则相关各点的坐标为：，，，,,.

………2分从而,＝，＝．因为，所以·＝.解得或(舍去)．

………4分于是＝(，1，－1)，＝(，1,0)．因为·＝－1＋1＋0＝0，所以⊥，即．

………6分(2)由(1)知，＝(,1,-2)，＝(0，2,-2)．设是平面PCD的一个法向量，则即令，则＝(1，，)．

………9分设直线EF与平面PCD所成角为，则＝|〈，〉|＝||＝.即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为.

………12分22.本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙、丙做对的概率分别为和(＞)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(Ⅰ)求，的值；（Ⅱ)记事件{函数在区间上不单调}，求；（Ⅲ）令，试计算的值.参考答案：解：设事件={甲做对}