江西省上饶市铜矿中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

江西省上饶市铜矿中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=﹣2x+x3的单调递减区间是（）A．（﹣∞，﹣） B．（，+∞） C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） D．（﹣，）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数，由导函数小于零，点的原函数的单调减区间．【解答】解：由f（x）=﹣2x+x3，得f′（x）=﹣2+3x2，f′（x）＜0，可得：﹣2+3x2＜0，解得：x∈（﹣，）函数y=﹣2x+x3的单调递减区间是：（﹣，）．故选：D．2.椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形，则椭圆离心率为（

）

A、 B、 C、 D、参考答案：A略3.曲线与坐标轴围成的面积是

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略4.点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最短距离是()参考答案：B5.在△ABC中，已知，则角A为（

）A．

B．

C． D．或参考答案：C略6.设全集为，集合，则(

)

参考答案：B7.已知随机变量服从正态分布N（2，1），且P（1≤x≤3）=0.6826，则P(x<1)=(

)A.0.1588

B.0.1587

C.0.1586

D.0.1585参考答案：B8.下列各数中，最小的数是

（

）A．

B．

C．D．参考答案：C9.曲线上的点到直线的最短距离是（

）A．

B．

C．

D．0参考答案：B略10.以下程序运行后的输出结果为（

）A．17

B．19

C．21

D．23参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于

．参考答案：12.若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是_

___参考答案：(4,2)略13.若记号“*”表示两个实数与的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数都能成立的一个等式可以是＿＿_（答案不惟一）.参考答案：14.已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为．参考答案：（﹣∞，0）∪（，2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由函数y=f（x）（x∈R）的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式xf′（x）＜0的解集．【解答】解：由f（x）图象特征可得，f′（x）在（﹣∞，）∪（2，+∞）上大于0，在（，2）上小于0，∴xf′（x）＜0???x＜0或＜x＜2，所以xf′（x）＜0的解集为（﹣∞，0）∪（，2）．故答案为：（﹣∞，0）∪（，2）．【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求函数的单调性是重点．15.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为

参考答案：16

略16.点在圆的外部，则m的取值范围为

．参考答案：

17.圆C的极坐标方程ρ=2sinθ化成直角坐标方程为_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题12分）已知圆和直线(1)求证:不论取什么值,直线和圆总相交;(2)求取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

参考答案：解:(1)证明:由直线的方程可得,,则直线恒通过点,把代入圆C的方程,得,所以点

在圆的内部,又因为直线恒过点,所以直线与圆C总相交.(2)设圆心到直线的距离为,则

又设弦长为,则,即.∴当时,所以圆被直线截得最短的弦长为4.19.(本小题满分13分)已知函数()．⑴若的定义域和值域均是，求实数的值；⑵若对任意的，总有，求实数的取值范围．参考答案：⑴函数的对称轴为，在上递减所以，解得a=2…………6分⑵对任意的，总有，即成立①当时，②当时即，解得综合①②，……13分略20.已知P（x，y）为平面上的动点且x≥0，若P到y轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早高考中经常涉及21.（15分）证明不等式：（1）（5分）设求证：（2）（5分）已知求证：（3）（5分）已知求证：

参考答案：（1）证明：