2022年高考全国甲卷数学(文科)真题+答案+解析

第第页/共23页第第7页A共23页c.AC=CB： D.与平面BB^C所成的角为45°【答案】D【解析】【分析】根据线而角的定义以及长方体的结构特征即可求出.【详解】如阁所示：不妨设AB=a.AD=b.AAl=c,依题以及长方体的结构特征吋知，氨D与平面仏C£>所成角为ZB.DB,孕D与平而AA^B所成角为ZDB.A,所以Q /? . Siu3°=~BD=~BD'即b=c，=2c=\Ja2+b2+c2»解得a=-Jlc.对于A，AB=a，AD=b,AB- •A错误；对于B，过b作杉£丄《4孕于£，易知丄平面，所以4打与平jfflAB^Cfi所成角为ZBAf.因为taiiZME=-=—,所以ZBAE30,B错误：a2对于c，AC=V7+P"=V3cc^=>/w=v^.，AC^CBLtC错误：对于D，尽D与平面BB^C所成角为ZD^C,smZDB1C=-^=^-=^,而BJ)2c20<ZD^C<90°,所以ZDBtC=45.D正确.故选:D.CK视频D

甲、乙两个岡锥的母线长相等，侧而展开阁的冏心角之和为27!,侧面积分别为^和体积分别为％和匕.若—=2,则/=()A.75 B.2^2 C.Jio D.4【答案】C【解析】【分析】设母线长为/,甲岡锥底面半径为乙岡锥底而岡半径为根据岡锥的侧而积公式可得/；=2G,再结合岡心角之和可将/；，6分别用/表示，再利FT1勾股定理分别求出两岡锥的高，再根据圆锥的体积公式即nJ■得解.【详解】解：设母线长为/，甲圆锥底而半径为(，乙圆锥底而101半径为所以i\=2r所以i\=2rlt2^ri=-l9r2=-l所以甲圆锥的高/:i=9故选：C.所以甲圆锥的高/:i=9故选：C.己知椭iac：4+-^=l（«>^>o）的离心率为I，A，A分别为<7的左、右顶a-b_ i点，5为（?的上顶点.若K4；M=-1，则C的方程为（）A.£+r=1B.s+r=1c.s+£=iD.竺+），:=i1816 9 8 3 2 2 '【答案】B【解析】【分析】根据离心率及解得关于aW的等量关系式，即吋得解.【详解】解：因为离心率e=£=^rX=l.解得$=昏，b2=^a2,A.车分别为c•的左右顶点，则a（-«.o）,a（«.o）,5为上顶点.所以聯）.所以 =（一a,-b）、BA2=（a.-b、，Fl为BA^BA-.=-lQ所以_aW=-l，将b2=-a2代入，解得a2=9.b2=8,故1廂_方程为芸+苓=1.9 8故选:B.CK遡DlL^IJ9"'=10.a=10/fl-11,^=8W-9,则（ ）A.a>Q>b B.a>b>Q C.b>a>0 D.b>O>a【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即N■知/n=log910>l,再利用基本不等式，换底公式可得/n>lgll,logs9>m,然后由指数函数的单调性即可解出.【详解】由9"'=10可得/n=log,10=^>l,而lg9lg91gll<(lg9;lgl1)-=(司-<1,10):’所以:>設’即柑>叭所以a=l(X"-ll>10lgll-ll=0.又：彝0<〔i^)2=(竽所<>:，购，9>，”，所以b=S"'-9<^-9=0.综上，a>0>b.故选：A.CK视频D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知向量a= = +.若丄6，则,"= .【答案】-与##-0.754【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即口J.3【详解】由题意知：a5=w+3(w+1)=0，解得:4故答案为：一4CK视频D设点A/在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在O似上，则OM的方程为【答案】(x-lr+(y+l)2=5【解析】【分析】设出点Af的坐标，利用(3,0)和(0，1)均在OA/上，求得圆心及半径，即吋得岡的方程.【详解】解：二点A/在直线2.r+y-l=0上，□设点M为(a，1-2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在上，□点A/到两点的距离相等且为半径/?，7(«-3)2+(1-26z)2=yJa2+(-2a)2=R，a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2»解得a=l,M(l，-1)，R=f，©Af的方程为(a：-1)2+(y+l)2=5.故答案为:(x-l)2+(y+l)2=5CEI刪D记双曲线C:4-^-=l(«>0,/?>0)的离心率为e,写出满足条件“直线V=2x与ca"b-无公共点”的e的一个 .【答案】2(满足1<以，皆口I)【解析】【分析】根据题下信息，只需双曲线渐近线y=±-x中0<h即可求得满足要a a求的6值.【详解】解：C-^-^=l(a>0,h>0),所以C的渐近线方程为y=±-x,结合渐近线的特点，只需0么2,即$54a cr口f满足条件“直线y=2x与C无公共点”所以e=—=小+匕<"1+4=>/5，又闪为e〉l,所以l<e<V5•故答案为：2(满^l<e<>/5皆可)CK视频D

AC己知aABC中，点乃在边万C上，ZADB=120°.4£>=2，CD=2fiD.当士取AB得S小值时，BD= .【答案】VJ-1##-1十5/J【解析】【分析】VtCD=2BD=2”i〉0,利用余弦定理表示出^后，结合基本不等式AB"即可得解.【详解】&CD=2BD=2m>0,则在△4肪中，AB2=BD:+AD2一2BD.ADcosZADB=m2+4+2m，在△ACD屮，AC2=CD2+AD2-2CDADcosZADC=4m2+4-4/"•123AC2_4〃7:+4_4w_4('w2+4+2w)_12(1+'w)_123所以AB2in2+4+2m in2+4+2m (w+1、+'m+1>4-2j(">4-2j("，+l).12===4-2>/3"7+1当胧当时，等号成立，所以当#取S小值吋，/n=>/3-l.Ad故答案为：a/3-I.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分甲、乙两城之间的长途客车均由d和3两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行倩况，随机调查了甲、乙两城之W的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030根裾上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之问的长途客车准点的概率：能否介90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所域公司有关？附：————，(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)TOC\o"1-5"\h\zP{K2^k) 0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.6357【答案】(1) B两家公司长途客车准点的概率分别为g，-O(2)有【解析】【分析】＜1〉根据表格中数据以及古典概型的概率公式对求得结果；(2)根据表格中数据及公式计算K2,再利临界值表比较即4得结论.【小问1详解】根据表中数据，A 班次260次，准点班次苻240次，设.4家公司长途客车准点事件为A/，万共介班次240次，准点班次介210次，设B家公司长途客车准点事件为M釋）n12.4家公司长途客车准点的概率为7B家公司长途客车准点的概率为了.S【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500n(ad-be)(a+b)(c+d)(a+c)(b-}-d)=500x（240x30_210x20^(a+b)(c+d)(a+c)(b-}-d)=500x（240x30_210x20^3205>27（）6t260x240x450x50根据临界偾表可知，W90%的把握汄为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.CK遡D记久为数列的前"项和.己知^+n=2«fl+l.n 证明：｛a,，｝是等差数列： 若a4，a”a,成等比数列,求叉的最小值.【答案】（1）证明见解析：(2)-78.【解析】【分析】（1）依题意町得2Sn+n~=2nan+nf根据an=l^ .作差即可得到a„-0„_!=1,从而得证;（2）由＜1）及等比中项的性质求出屮，即可得到的通项公式与前》项和，再根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】解:因为^JL+n=2an+l,BP2Sa+n2=2na„+n①，当时，25„_1+（"_l）2=2（"_l）a〃_1+（"—1）②，①-②得，25„+ -25^-（//-1）2=2nan+n-2（n-l）an_,-（//-1）*即2cin4-2/?—1=2na"—2（”-1 +1，即2（/?-l）«/l-2（n-l）a,（_1=2（/?-l）.所以an- =1,”之2且》eN*，所以是以1为公差的等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得^=（^+3，«7=«!+6,%=乂+8，又a4，a”a9成等比数列，所以＜=a4a9,即(ai+6)2=(a1+3).(a1+8)，解得^=-12,所以a„=«-13,所以mi+^q，,：252212625所以，当"=12或"=13时（人,）—=—78.CK遡D小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如阁所示：底jE|ABCD是边长为8（单位：cm）的正方形，』ABiFBC，aGCDaHDA均为正三角形，且它们所在的平而都与平面ABCD垂直.证明：EF//平而ABCD；求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【答案】(1)证明见解析：、640厂(2)—V3.【解析】【分析】(1〉分别取AB.BC的中点M.N.连接AW.由〒面知识吋知腹丄AB.FN丄EM=FN,依题从而可证丄平而ABCD,F2V丄平面ABCD,根据线而雉直的性质定理可知EMIIFN，即nJ•知四边形为平行四边形，于是EF!_,最后根据线面平行的判定定理即衬证出：(2)再分别取AD.DC中点K丄，由(1)知，该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的4倍，即可解出.【小问1详解】如图所示:分别取AB.BC的中点连接AW,因为^EAB^FBC为全等的正三角形，所以EM丄AB.FN丄BC，EM=FN,又平面M忍丄平而ABCD,平而EABr＞平而ABCD=AB,£Mc平而所以丄平而ABCD,同理川■得/W丄平而ABCD^根据线而番直的性质定理可知EM//FN,而EM=FN.所以四边形£A//Vf为平行四边形，所以EF//MN,又£F（ZT面＞4万CZ），MN＜zT而ABCD，所以£F//平而ABCD.【小问2详解】如图所示:如图所示:分别取AD.DC中点K、L,由（1）知，EF//MN且£F=M/V，同理仏HE/!KM.HE=KM.HGI!KL，HG=KL，GF//LN.GF=LN,由平面知识可知，BD1詡，MNiMK，KM=MN=NL=LK，所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥谷-MNFE体积的4倍.冈为MN=NL=LK=KM=4y/2.EM=8sin60*=4>/3.点B到平面的距离即为点B到直线MV的距离a，d=2忑.所以该几何体的体积V=(4^2)2x473+4x|x4V2x4V3x2>/2=12873+^V3=^>/3.CK遡D己知函数f(x)=xi-x,g(x)=x2+at曲线y=f(x)在点(介/(人))处的切线也是曲线的切线.若xl=-l,求a;求a的取值范围.【答案】(1)3 (2)［一1，+父)【解析】【分析】(1)先由AO上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数値求出“即可；(2)设出上的切点坐标，分别由ru)和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出《，构造函数，求异求出函数值域，即可求得《的取值范围.【小问1详解】由题意知，/(-l)=-l-(-l)=O,/，(a)=3x2-1,/'(-1)=3-1=2,则y=f(x)在点(-L0)处的切线方程为y=2(x+l)，即y=2A+2,设该切线与以x)切于点(x2,^(x,)),〆⑺=2.v,则g\x2)=2x2=2f解得x2=l.则名(1)=l+a=2+2,解得a=3:【小问2详解】f\x)=3x2-l,则y=f(.x)在点a.fM)处的切线方程为y-(^-^1)=(3x；-l)(x-x1),整理得>=(3<-l)A-2xf，设该切线与札<)切于点(x2,g(x2)),fj'(x)=2x,则g\x2)=2X2,则切线方程为y-(xj+«)=2x2(x-x2)，整理得y=2x2x-x^+a，则二X.翻得冷塞HT-22Jn贝则二X.翻得冷塞HT-22Jn贝1J//(x)=9a-6x*一3x=3x(3x+l)(x-1)，令h\x)>0,^-l<x<0或a>1，令//(幻<0,解得*<-|或0<x<l，则*变化时.h\x)Ji(x)的变化情况如下表，X1~3(-H0(0.1)1(…)//U)—0+0——0+/")52714-1则/*)的值域为［-L+°o)，故。的取值范围为［-1，+巧.CK则D设抛物线C：r=2px(p>0)的焦点为F.点D(p.O),过尸的直线交C于7V两点.当直线垂直于x轴时，|MF|=3.求C的方程；设直线MD，2V£)与C的另一个交点分别为.4,B,记直线MN.AB的倾斜角分别为a,p.当a-p取得最大值时，求直线的方程.【答案】(1)/=4.v；(2)AB:x=>/2y+4.【解析】【分析】<i)由抛物线的定义可得即可得解：

（2）设点的坐标及直线MN;x=my+l.巾|i达定理及斜率公式可得kMN=AAB，再由差角的正切公式及基本不等式可得kAB=4,设直线AB\x=y{2y^n,结合b达定理吋解.【小问1详解】抛物线的准线为x= 当A/D与x轴垂直时.点Af的横坐标为P，此时\MF\=p+^=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为r=4x：【小问2详解】设A/f与，.、，门，4与，y2）.Af与，）•」.叫与，.、，丄直线歷:x=wy+l,由y:=4A口4=0.由y:=4A口4=0.△>0o\y2=-4由斜率公式可得⑽）L_2l >\+>2> 1_21h+h，△>0，从=一8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y*，又因为直线又因为直线AW、M的倾斜角分别为a，/7,若要使a-P^大，则夕若要使a-P^大，则夕e设k设kMN=2kAB=2b0，则=V24tan=V24tana-tanpk1+taiiatan^l+2k2等号成立，当且仅当j=所以当cr-P&.大时，kAB=^,&S.^AB:x=42y+n,等号成立，代入抛物线方程可得/-4>/2y-4/?=0，△>0.），3）’4=-4/r=4y1y,=-16,所以n=4,所以直线AB.x=^2y+A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用B达定理得出坐标间的关系.CK刪D（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4_4:坐标系与参数方程］\x=—在直角坐标系aQv中，曲线G的参数方程为< 6（Z为参数），曲线C:的参数方程为（S参数方程为（S为参数）.VV（1）写出G的普通方程;（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C;的极屯标方程为2cosa-sma=0.求€\与（；交点的直角坐标，及C3与C:交点的直角坐标.【答案】（1）/=6x-2（y>0）；（2）C5，C,的交点坐标为（1.2），的交点坐标为-1）,（-1-2）.

【解析】【分析】（1）消去/，即可得到q的普通方程：（2）将曲线6，（73的方程化成普通方程.联立求解即解出.【小问1详解】闵为x=¥,y=4?,所以x= 即