有限法的基础知识

有限法的基础知识第一页，共五十二页，2022年，8月28日有限元的基础理论3.1加权余量法3.2里兹方法3.3虚功原理3.4最小位能原理和最小余能原理第二页，共五十二页，2022年，8月28日基础知识——1.变分问题在科学研究和工程实践中，常常需要确定某一函数的极大值和极小值，这类计算已为大家所熟悉。但是，实际中常常需要确定另一类特殊的量（即所谓泛函）的极大值和极小值问题，这就是变分法要处理的问题。举例：最速降线问题。通俗的讲泛函就是函数的函数，是变量与函数的关系。变分问题就是泛函求极值的问题。第三页，共五十二页，2022年，8月28日2.微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出的，一般地表示为未知函数u应满足微分方程组域可以是体积域、面积域等。同时未知函数u还应满足边界条件，是域的边界。第四页，共五十二页，2022年，8月28日由于微分方程组在域内中的每一点都必须为零，因此就有是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。其中*式是与微分方程组完全等效的积分形式。可以证明，若积分方程*对于任意的都成立，则微分方程必然在域内任意一点都满足。第五页，共五十二页，2022年，8月28日同理，假如边界条件也同时在边界上每一点都得到满足，则对于任一组函数，下式应当成立。上式即为原微分方程的等效积分形式。问题是有限元法不是在整个求解域上假设近似函数，而是在各个单元上分片假设近似函数。第六页，共五十二页，2022年，8月28日等效积分的“弱”形式通过适当提高对任意函数的连续性要求，以降低对微分方程场函数的u的连续性要求所建立的等效积分形式称为微分方程的等效积分“弱”形式。从形式上看“弱”形式对函数u的连续性降低了，但对实际物理问题却常常较原始的微分方程更逼近真正解，原因在于微分方程往往对解提出了过分平滑的要求。第七页，共五十二页，2022年，8月28日3.1加权余量法

（WRM--Weightedresidualmethod）加权余量法：指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法。加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。第八页，共五十二页，2022年，8月28日3.2里兹方法里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的性质，那么它不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近似求解方法。第九页，共五十二页，2022年，8月28日3.3虚功原理（平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式）变形体的虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。虚功原理是虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。第十页，共五十二页，2022年，8月28日虚位移原理虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。但是否适用所有的问题呢？第十一页，共五十二页，2022年，8月28日虚应力原理虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的（即在内部连续可导），则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。第十二页，共五十二页，2022年，8月28日但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，所以他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。第十三页，共五十二页，2022年，8月28日3.4最小位能原理和最小余能原理明确：最小位能原理建立在虚位移原理基础上，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值。总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使系统的总余能取最小值。总余能是指弹性体余能和外力余能总和。第十四页，共五十二页，2022年，8月28日意义一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模型偏于柔软。当分别利用这两个极值原理求解同一问题时，我们将获得这个问题的上界和下界，可以较准确地估计所得近似解的误差，这对工程计算具有实际意义。第十五页，共五十二页，2022年，8月28日第四节有限元法的求解方法与步骤

4.1有限元的基本思想有限元是一种以计算机为手段，通过离散化将研究对象变换成一个与原始结构近似的数学模型，再经过一系列规范化的步骤以求解应力、应变、位移等参数的数值计算方法。

第十六页，共五十二页，2022年，8月28日什么是离散化呢？所谓离散化是将一个连续体分割成若干个通过节点相连的单元，这样一个有无限个自由度的结构就变换成一个具有有限个自由度的近似结构。该过程还包括对单元和节点进行编码以及局部坐标系和整体坐标系的确定。第十七页，共五十二页，2022年，8月28日什么是单元和节点呢？在有限元法中，将求解的工程结构看成是由许多小的、彼此用点联接的基本构件，如杆和梁、板和壳组成，这些基本构件称为单元，单元与单元之间的联接点称为节点。第十八页，共五十二页，2022年，8月28日4.2有限元法在结构工程中的应用

根据研究对象的不同，有限元法中采用的单元形式也不相同，常见的有以下几种：1.桁架杆单元：主要应用于受轴向力作用的杆和杆系，如桁架结构；2.

刚架杆单元：用于梁及刚架结构分析；3.三角形平面单元：主要用于弹性力学中平面应力问题和平面应变问题的有限元分析；第十九页，共五十二页，2022年，8月28日4.三棱圆环单元：用于轴对称问题的有限元分析；5.等参数单元：用于一些具有曲线轮廓的复杂结构。其特点是能简化复杂结构的单元划分工作，又能满足同样精度的要求时大大减少使用的单元数，成功地解决许多二维和三维弹性力学问题。第二十页，共五十二页，2022年，8月28日4.3有限元法求解问题的基本步骤1.结构离散化对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；

2.求出各单元的刚度矩阵

是由单元节点位移量求单元节点力向量的转移矩阵，其关系式为第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为，此即为总体平衡方程。

第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日确定总体刚度矩阵的方法有三种：

1）直接利用总体刚度系数的定义在求出整体结构中各节点力与节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。此方法旨在简单情况下才能采用。2）集成法将整体坐标下的单元刚度矩阵进行迭加而得。这里所说的迭加不是简单的相加，而是将下角标相同的总体刚度系数相加，然后按总码的顺序对号入座。

第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日3）利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵总体刚度矩阵对角线上的刚度系数等于在节点i汇交的几个单元的刚度系数之和；非对角线上的刚度系数等于联结节点i与节点j间几个单元的刚度系数之和。

第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日4.引入支撑条件，求出各节点的位移节点的支撑条件有两种：一种是节点n沿某个方向的位移为零，另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。5.求出各单元内的应力和应变。

第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日第五节有限元法求解实例

下面通过一维单元的简单实例说明具体过程。

例1一根由两段组成的阶梯轴，一端固定，另一端承受一个轴向载荷F3。这两段的横截面积分别为和，长度分别为和，弹性模量分别为和，如图1-1所示。求出这两段的应力和应变。已知数据分别为F3=100N

第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日图1-11

①2②3A(1)E(2)A(2)E(2)L(1)

L(2)

①②2Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日解：1）离散化把这根阶梯轴看成是由两个单元组成的，节点选在截面积突变处，两个单元的连接处是一个节点，该阶梯轴的两端视为另外两个节点，所以整个结构共有三个节点。这根轴是一维结构，并只受轴向载荷，因此各单元内只有轴向位移。三个节点位置的位移量分别记为、、。在整个结构中节点载荷及节点位移均用大写字母标记，其角标为节点在总体结构中的编码，简称总码。

第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日2）求单元刚度矩阵下面分析某等截面单元（e）。当两端分别承受两个轴向力和作用时的位移情况。根据材料力学的知识可知，在两端节点i、j处的位移量和与轴向力和的关系式为第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日注意在分析单元刚度矩阵时，载荷F和位移等参数的上角标为该单元的编码，下角标为该单元内节点的局部编码。上两式可写成：或简写为：第三十页，共五十二页，2022年，8月28日式中—为单元刚度矩阵或单元特性矩阵，其阶数等于单元中所包含的节点数；

—为单元节点力向量（列阵）；

第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日

——为单元节点位移向量（列阵），也为单元自由度列阵；将单元刚度矩阵改写成矩阵的标准形式，则

第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日（1-5）矩阵中任意一个元素都称为单元刚度系数，它表示该单元内除节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷Fi。

第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日3)总体刚度矩阵的集成和总体平衡方程的写出

该阶梯轴上三个节点位移和三个节点轴向力分别组成该整体结构节点位移向量和节点轴向力

同理，这两向量间的转换关系可表示为或

第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日式中的转移矩阵称为总体刚度矩阵或总体特性矩阵，其阶数等于总体结构中的节点总数。[K]中的元素称为总体刚度系数，它表示在整体结构中除了节点j产生单位位移外，其余各节点的位移均为零时在节点i处所引起的载荷Fi。

第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日求出总体刚度矩阵时进行总体分析的主要任务是一旦获得总体刚度矩阵，可以很容易地写出总体平衡方程。求总体刚度矩阵[K]的方法主要有两种：一是直接法，即根据总体刚度系数的定义求解；另一种方法是集成法，即由各单元刚度矩阵求总体刚度矩阵。下面分别说明。第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日根据刚度系数的定义，当本结构中的节点2和节点3位移量均为零时，要使节点1产生单位位移，在节点1处所需施加的载荷为，此即为K11；当节点1、3固定，节点2产生单位位移时，在节点1处所引起的载荷为，此即为K12；

（1）直接法求总体刚度矩阵[K]

第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日当节点1、2固定，节点3产生单位位移时，在节点1处不会引起载荷，因此K13=0；当节点1、3固定，节点2产生单位位移时，要在节点2施加的载荷为，此即为K22；还可以按此方法依次写出其余各总体刚度系数。

第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日因此，总体刚度矩阵为

这种方法具有概念清晰的特点，但是在分析复杂结构时运算极其复杂，因而限制了它的应用。

第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日（2）用集成法求总体刚度矩阵[K]

这种方法从单元刚度矩阵出发，根据迭加原理，利用刚度系数集成的方法获得总体刚度矩阵。这样，首先要写出各单元的刚度矩阵。由式（1-4），当单元(e)分别为(1)和(2)时，两个单元的刚度矩阵分别为

第四十页，共五十二页，2022年，8月28日注意虽然结构的总变形是由两个单元变形的迭加，但是总体刚度矩阵[K]并不是两个单元刚度矩阵和的简单迭加。

在进行这项工作之前，一定要分清节点的两种编码方式：一种为节点的局部编码，单元（e）的两个局部码分别为和；另一种为节点总码，即对结构中全部节点进行统一的编码。在本例中，阶梯轴的三个节点总码分别记为1、2、3。

第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日该阶梯轴两种编码的对应关系为

局部码

总码

1223一定要注意，在单元刚度矩阵中各元素按局部码排列，而总体刚度矩阵[K]中，各元素按总码排列。

第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日集成[K]的步骤为：

（1）将原单元刚度矩阵中的各系数总码进行标记，则

第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日（2）将角标相同的系数相加，并按总码的顺序排列，则总体刚度矩阵为总体刚度方程为：

从上式可以看出，用两种方法获得的总体刚度矩阵相同。

第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日（4）引入支撑条件，计算节点位移

上式中的未知量仍不能求出，因为[K]是一个奇异矩阵，必须引入支撑条件。在本例中支撑