东南大学高等数学B§10.4第二型曲面积分

§10.4第二型曲面积分10.4.1曲面侧的概念在光滑上任取一，过作的法向量，它有两个方向，选定其中一个方向。如果当在上不越过边界而任意连续变动又回到原来位置时，法向量，则称这种曲面为双侧曲面，否则称为单侧曲面。例如，将长方形纸条的一端扭转，再与另一端粘合起来，就是单侧曲面。对于双侧曲面，可以通过曲面上法向量的指向来确定曲面的侧。这种取定了法向量的指向亦即确定了曲面的侧，称为有向曲面。对于：，则取定了曲面的上侧。角，则取定了曲面的下侧。一般封闭曲面有内侧与外侧之分；曲面：曲面：曲面：有上侧与下侧之分；有前侧与后侧之分；有左侧与右侧之分。10.4.2第二型曲面积分的概念一、引例：求稳定流动的不可压缩流体流向有向设流体的速度场为指定侧的，（假定密度为1）。有向曲面指定侧的单位法向量。若平面上面积为区域，而流速是常向量，则在单位时间内流过流体组成一个底面积，斜高为的斜柱体，其体积为，即。若为曲面，流速不是常向量，则用下面的方法计算流量。（1）分割将意分成小块，同时代表其面积。（2）近似，在是光滑的连续的前提下，以点的流速和单位法向量，得到流过处的流速和单位法向量分别代替上其他各点处。指定侧的流量的近似值：（3）求和。（4）取极限设，则。二、第二型曲面积分的定义设向量场，设所在空间中的一个有向光滑曲面。将任意分成小块。，其面积亦记为，处的单位法向量，，作和式，如果，上述和式恒有同一极限，，即则称此极限值为的第二型曲面积分，记为。注：（1）当（2）流体在有向曲面连续时，其第二型曲面积分存在。流向有向曲面指定侧的流量。三、第二型曲面积分的性质设，，（1）(为常数)；)；（2）（3）(（与是同一曲面的两侧）。，四、第二型曲面积分的数量表达式设，则，其中记为曲面的面积元素。，称则为曲面的面积元向量。，从而。；；。它们的取值可正、可负、也可为零。如当时，取正号；当时，取负号。特殊形式：称为对坐标的曲面积分；称为对坐标的曲面积分；称为对坐标的曲面积分。10.4.3第二型曲面积分的计算以为例说明第二型曲面积分的计算方法。：，，。在面上的投影区域为在上连续，则。∵，∴，又∵取上侧，∴上的投影区域即，表示平面的面积（仍记为；）的近似值，令，当时，，∴。若取下侧，则，，。定理：设函数若曲面为：若曲面为：在有向光滑曲面：，上连续，则有（上侧取正，下侧取负。）（前侧取正，后侧取负。）（右侧取正，左侧取负。），则有，则有将第二型曲面积分化为二重积分的方法一代：将曲面代入被积函数；二投：将曲面到坐标平面。（例如：积分中含，则应向面投影。）三定号：由曲面所给定的方向即其侧来决定取正号还是取负号；四换域：改变积分域，曲面。例1．计算，（1）为锥面（2）为锥面在部分的下侧；所围曲面的内侧。，下侧，与平面，解：（1）：：，。（2），：，，上侧；：，，下侧；：。。例2．计算，其中是正六面体的外侧（如图所示）。解：，：的前侧；的后侧；的右侧；的左侧；的上侧；的下侧；：：：：：∵除、外，其余四片曲面在面上的投影为零，∴同理；，∴。例3．计算，其中球面的外侧。解：由轮换对称性，得。，：：，上侧；，下侧。：。。例4．计算，是球面解：令的外侧。，：。而（：）同理，，∴。由二重积分的几何意义得10.4.4两类曲面积分的关系设指向侧的单位法向量，则有即向量值函数上的第一型曲面积