2023年第五届峨眉校区数学建模知识竞赛复赛题

1，峨眉校区上课时间问题峨眉校区的同学们在周一到周五的日子里,都或多或少地对学校的上课时间有着自己的意见和见解,或许上午８点第一讲的课令你疲乏不堪,或许在肚子咕咕叫时冲进食堂又发现人上人海．...．.这些的一切，都是我们的上课时间安排所导致的。下面是峨眉校区上课时间表:讲数时间第一讲8:０0~8：50，9:00~9:５０第二讲10:10~1１:00，1１:10~12:0０第三讲１4：00～14:50，15:0０~１5:50第四讲16:１０~17:００,17:１0~18:0０第五讲19:30～20:20,２０:30~２1:３0问题：学校现在的上课时间合理吗？请你运用数学建模的知识，查阅相关资料,合理选取影响因素,并对问题进行一定的量化,对学校现在的作息时间合理性作出评价，并用一段文字阐述。对于你的结果,你认为现在的上课时间需不需要调整？假如需要,应当如何安排?

2、檐沟问题峨眉校区的基建处需要拟定与屋顶配套的檐沟的规格。现在假设中山梁一栋教学楼的房屋的屋顶都是矩形，长12米,从屋脊到檐沟的宽为6米，屋顶对水平面的倾角尚未定,但大体将在20度和５0度之间。一家檐沟生产公司急欲与学校基建处签定供货协议，该公司声称他们的新型塑料檐沟经久耐用,无论什么样的天气情况都能有效地满足规定，对这批屋顶，设计的檐沟横截面是半径为7．5厘米的半圆,用一条直径为10厘米的排水管就够了。学校的领导不能确信檐沟供应单位的声称,因此找到了对数学建模感爱好的你,希望建一个数学模型,在批量定货前对此作一个全面分析,其中至关重要的是这种尺寸在暴雨时是否足以排水。并提交合理的建议。

３、雇员问题峨眉校区的后勤部门一周中天天需要不同数目的全时雇员来对学校的卫生,教学楼的财务安全，以及水电设施的维修进行管理。每个人天天工作８小时:周一到周四天天至少50人,周五和周日天天至少80人,周六至少90人。现规定应聘者须连续工作5天，试拟定聘用方案，即周一到周六天天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用的总人数最少?假如周日的需要量由8０增长至９０人，方案如何改变?假如可以用两个临时聘用的半时雇员(一天工作4小时,不需要连续工作)代替一个全时雇员,但规定半时雇员的工作量不得超过总工作量的四分之一。又设全时雇员和半时雇员每小时的酬金分别为５元和３元，试拟定聘用方案，使在满足需要的条件下所付酬金总额最小?

4、医疗站选址问题今年我国提出了“建设社会主义新农村”的伟大举措，国家将拿出1０0０多亿元建设农村公路,数百亿元解决农民看病难。到“十一五”期末,我国要基本实现村村通公路，基本建立起县、乡、村三级农村医疗卫生服务网络。我们交大的好邻居——黄湾乡也不例外。现假定黄湾乡有7个村，７个村的位置坐标大体如下表所示（单位：公里）：村12３45６7坐标x0.006.393２．235.０９20.962.2315.０1坐标ｙ０.00－5.９2-１２.8524.181７.3714.474.82并且各村之间已经建设起了非常发达的“纵横交叉”的公路网络。但黄湾乡乡长在完毕国家任务的时候碰到了如下问题,他来寻求峨眉校区的大学生——你的帮助,作为一名交大学子，用你的数学知识来帮助他解决下面两个问题：现欲修建一个大型的医疗站来解决黄湾乡的各村看病难的问题，问应当建医疗站在什么位置?假如要修建两个医疗站呢?试建立问题的数学模型,并给出你的算法、程序及结果。

5、图书馆购书计划的制定西南交大峨眉校区图书馆馆藏图书，重要目的不是为了收藏而是为了使用，是为了满足广大师生对图书的需要。图书馆每年用于购书的经费是有限的，如何合理分派使用，以便使有限的购书经费最大限度地发挥其特定的经济效益是图书馆工作的重要环节之一。假设今年图书馆计划投入100万元用于购置各种图书,并且准备按照表1中的中图分类进行购置。现请你帮助解决以下问题：(1)图书最终的实现价值取决于图书的被运用率。因而评价一本书的真正价值必须考虑到它的流通量大小和借用时间的长短，请分析这一问题,并根据2０23各类图书的出借情况(表1),提出一种评价一本书籍在该校实际使用价值的办法。（2）依据你对前问的研究，通过建立数学模型的方法来拟定2023购书资金的分派方案。购书方案要使所购的图书可以产生最大的实际效益，此外,图书馆还应当注意到各类馆藏图书的更新率不得低于８%。（3）11本科教学水平评估在即，按优秀评估规定,学校还差39．1万册图书。假如学校决定加大投入，下大力气,保证优秀,则应如何制定购书方案，使得投入经费尽也许少,而同时图书使用价值尽也许大。表1：20２３图书馆记录数据类别内容种类数册数图书总价：元出借种类数出借册次总出借时间:天A、B马克思主义、列宁主义、毛泽东思想、哲学299７８9912２５674.１18５８7433２52707C、N社会科学总论、自然科学总论182754８1１21130.11０７８３77３1４７137D法律57７４173224８6７48.2４042２02399０9405E、R、S、U、Ｖ军事、医药、卫生、农业科学、交通运送、航空、航天、劳动保护科学(安全科学)29０67２66188916１686590024７800X环境科学618１73１659５1.138３１７2587９６６F经济9793352561１3１718７６3９3８1９４１7５6924G文化、科学、教育、体育22７763７5１２813７．5125240０716４293Ｈ3常用外国语54011９９83５615２２.3４26７238931２18553Ｉ文学11091２994673397６.５7764３493７1222795J艺术2７3171０1１９9５３8．１177556８1272678K历史、地理35４3779４３047４５．4205５６164246574Ｏ数理科学和化学25６９82２020632219２78670476８24P人文学、地球科学26６７４42０232.41５９46223579Q生物科学8９1285０100０35695２９871６1306TＨ机械仪表工业90527１5980１1．56５2２997152865TM、TＳ电工技术轻工业、手工业1４023６45102424.５77１223671５54ﻬ6、室内装修的光源安装决策假设学校准备重新装饰一个会客厅，以便在有高层领导来访之时作为接待之用。现已知该会客厅长为20米,宽为16米，在距离地面高３.2米的位置安放多个光源，光源可以排列成矩形阵列（如图1,即将所需的光源均匀地排列成一个型的矩阵);也可以排成其它形状(如图2的椭圆形），其中半长轴长：8米,半短轴长6米，椭圆的中心位于大厅顶部的中心,有３个灯放置于椭圆的焦点和中心处，其余的椭圆上均匀地放置几个光源。假设每个光源的亮度P均相同,例如P=１00[W]。下面规定你来运用数学建模知识,帮助学校完毕下列问题:（1）不考虑墙面和地面的反射,就图1给出如何计算大厅内任意一点处距离地面1．２米处的光照强度？（光源对目的点的光照强度与该光源到目的点距离的平方成反比,与该光源的强度成正比)。（2)对图1,画出距离地面1.２米各个点的光照强度与位置(横纵坐标)之间的函数关系曲面图,试同时给出一个用于近似计算的函数关系式。(３)对图１，结合成本、人体感光舒适度等因素，问应当设立多少个光源为最合适,应当如何安装？（4)对图1，假如考虑墙面和地面有部分的反射能力,重做问题(1）到（３)。

７、面试问题现有10名同学来数学建模协会面试,协会规定每位同学必须通过招新征询、部长复试以及会长面试三个阶段,且不许插队（１０同学在任意阶段面试的顺序一致）。由于个同学的经历不同,每个地点面试所需要的时间也不同。具体如下表(单位:miｎ）：同学1同学2同学3同学４同学5同学6同学7同学8同学9同学10招新征询1510201７１6２5111314１７部长复试13１５1３10２2131511１710会长面试1７8１８16１８１９１916131５１０位同学约定面试完之后一起回去,现请你帮他们设计一种面试顺序，让他们能尽也许早的结束面试。假设半途不得休息，且面试开始为早上8点,问最早可以几点离开。8、配送问题一公司有二厂，分处A、B两市，此外尚有4间具有存贮库房的机构,分别在P、Q、R和S市。公司出售产品给6家客户Ci，i=1,２,…，6，由各库房或者直接由工厂向客户供货。配送货品的费用由公司承担，单价见下表:受货者供货者A市厂B市厂P库房QRSＰ库房0.５-－Q库房0．5０.3R库房1．00.5S库房0.20.2客户C1１.０2.0－-1．0-－-－C2-－－－1．50.5１.5-－C3１.5--0.5０.5２.0０.2C４２．０－-1.51.0-－1.５C5--－--－0．50．50.5C6１．０--1.０-－1.51.5注：单位：元/吨；“--”表达无供货关系。某些客户表达喜欢有某厂或者某库房供货。计有：Ｃ１----A市厂；Ｃ2---－P库房;Ｃ5－-－－Ｑ库房;Ｃ6--－－R库房或S库房A市厂月供货不能超过１5０千吨，B市厂月供货量不能超过20０千吨。各库房的月最大流通量千吨数为:库房PQＲS流通量70501０040各客户每月所必须满足的供货量为(单位：千吨）:客户C1C２C3C４C5C6规定货量501０4０356０20公司希望拟定以下事项(不考虑供货者的喜好选择)：(1）如何配货,总费用最低?(２)增长工厂和库房的配送能力对配送费用的影响是什么?(3）费用单价、工厂和库房生产能力以及客户对供货量的最低规定等,各项微小变化对配货方案的影响是什么？（4)能不能满足各客户对供货者的喜好选择?假如满足,会引起配送费用提高多少?

9，银行工作时间问题同学们的银行卡,饭卡都是与校内的中国银行有着千丝万缕的关系。假设中国银行天天的营业时间是上午9：0０到下午5:00.根据经验,天天不同的时间段所需要的服务员数量如下：时间段(时)９－1010-11１1-1212－11-22－３3－4４-5服务员数量434６5688银行可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员天天报酬100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12：00到下午2:０0之间必须安排1小时的午餐时间。银行天天可以雇佣不超过3名的半时服务员,每个半时服务员必须连续工作4小时,报酬40元。请你解决下面的问题:中国银行应如何雇佣全时和半时两类服务员?假如不能雇佣半时服务员,天天至少增长多少费用?假如雇佣半时服务员数量没限制,天天可以减少多少费用？并结合你的结论对银行的管理人员提一定的建议。

10、工件加工顺序问题现有1４件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必须安排在另一些工件竣工以后才干开始，第j号工件的加工时间及先期必须竣工的工件号i由表一给出。若给出一个加工顺序,则拟定了每个工件的竣工时间(涉及等待与加工两个阶段）。试设计一个满足条件的加工顺序，使各个工件的竣工时间之和最小。(２）若第j号工件紧接着第i号工件竣工后开工，机床需要花费的准备时间是。试设计一个满足条件的加工顺序,使机床花费的总时间最小。(3)假定工件的竣工时间（涉及等待与加工两个阶段)超过一拟定期限u时，则需支付一定的补偿费用，其数值等于超过的时间与费用率之积,各工件的补偿费用率见表二。ﻫ设u=1０0,，试安排一个加工顺序,使得总补偿费用最小。表一加工顺序工件号j123456789１01１１２131４ｔj20282５16４2１２321024204０243616前期工件号34578５9-－10１1389４35７4－-４７67１451212６表二补偿费率工件号ｊ123456７89１０11１２1314费率121015１6１０111０854１０１0812ﻬ１1、配送问题峨眉一公司有二厂，分处Ａ、B两市,此外尚有4间具有存贮库房的机构，分别在P、Q、Ｒ和S市。公司出售产品给6家客户Ci，ｉ=1，2,…，6，由各库房或者直接由工厂向客户供货。配送货品的费用由公司承担，单价见下表:受货者供货者A市厂B市厂P库房QRSP库房0.5--Ｑ库房0.50.3R库房1.0０.5Ｓ库房0．2０.2客户C1１.０2.０--１．０----C2－-－-1．50.51.5－-C3１．5-－０.5０.5２.０0.2C42.0--1.51.0-－1.5C5------0．5０．5０．5Ｃ6１.0-－1．0--１.51.５注:单位:元/吨；“--”表达无供货关系。某些客户表达喜欢有某厂或者某库房供货。计有:C1----A市厂;C２--－-Ｐ库房;Ｃ5--－－Q库房;Ｃ6----R库房或S库房A市厂月供货不能超过150千吨，Ｂ市厂月供货量不能超过200千吨。各库房的月最大流通量千吨数为：库房PQRＳ流通量7050１0０4０各客户每月所必须满足的供货量为（单位:千吨):客户C1C2C3C4C5C6规定货量501040３56０20公司希望拟定以下事项（不考虑供货者的喜好选择):(1)如何配货,总费用最低?（２）增长工厂和库房的配送能力对配送费用的影响是什么？(3）费用单价、工厂和库房生产能力以及客户对供货量的最低规定等，各项微小变化对配货方案的影响是什么?（４)能不能满足各客户对供货者的喜好选择？假如满足，会引起配送费用提高多少?ﻬ12、飞机运送问题一个运送公司天天