2023年西南科技大学高等数学竞赛

西南科技大学２023-2023-2学期≤高等数学≥竞赛试题答案与评分标准一、填空题(本题共６小题,每小题4分,满分2４分）（1)设．［考点知识点]（2）已知,则.[考点知识点](3)设是闭区域，则．[考点知识点］(对称区间积分考虑奇偶性）。（4）曲线在点处的切线对于轴的倾角为.考点知识点:（5)已知D是长方形区域：,且,则.[考点知识点](6)向量在向量方向上的投影为.[考点知识点］（7）微分方程的通解．[考点知识点]特性方程的解,通解.(8)级数(其中)的和函数.[考点知识点],.一、填空题(本题共6小题，每小题4分,满分24分)(1)（2)，（3）（4）（5）(6）6[复习填空练习题］填空题（每题2分，满分１2分)１,。。2，设在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数（方向与x、ｙ、ｚ轴正向的夹角分别是）。设在点可微分,则函数在该点沿任一方向的方向导数（轴到方向的转角为）。设在平面区域内有一阶连续偏导数，则对于每一点，梯度。设在平面区域内有一阶连续偏导数，则对于每一点,梯度。3,空间曲线上两类曲线积分之间的关系为。平面曲线上两类曲线积分之间的关系为。４，级数收敛,是任意项级数收敛的＿_____＿_______条件。若级数收敛但是发散，收敛，则称级数为＿______＿＿_____收敛。5，设曲面方程,为曲面在面上投影区域，在上有连续偏导数,则曲面面积。设曲面方程,为曲面在面上投影区域,在上有连续偏导，则曲面面积。设曲面方程,为曲面在面上投影区域,在上有连续偏导,则曲面面积。６,若在点可微，则该点的偏导数是否存在(是，否，不一定)，是否连续。若在点偏导数存在，则在该点是否一定可微(是,否，不一定)。二、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，满分2４分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目规定的）(１)设是的一个解，若且，则在点处()。（A）取得极大值（B）取得极小值（Ｃ）某个邻域内单调增（D)某个邻域内单调减(2)设、是恒大于零的可导函数，且,则当时,下列选项对的的是（A）.（B）(C)．（Ｄ）(3)设时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小,则正整数(）（A）ﻩ（B)ﻩ(C)ﻩ（Ｄ）(４)已知曲面上点P处的切平面平行于平面，则点P的坐标为：(A）.（B）（C）.（Ｄ）[考点知识点]+相应分量成比例，搞定(5)在点的偏导数及存在，是函数在该点连续的（)。（Ａ)充足条件而非必要条件(Ｂ）必要条件而非充足条件(C)充足必要条件（D)既非充足又非必要条件[考点知识点]在点的偏导数及存在与函数在该点连续，既非充足又非必要(条件）．（6）曲线Ｌ是以、、为顶点的三角形区域的正向边界，则(）(A)．(B）（C）.（D）.[考点知识点]格林公式.（７）设有级数和级数，它们的敛散情况为()。（A)级数与级数同时收敛（B）级数与级数同时发散（C）级数收敛但级数发散（D)级数发散但级数收敛[考点知识点]正项级数的比较判别法和比较判别法的极限形式.(8)幂级数的收敛区域为（Ｃ）。(A)（B)(C)（D）[考点知识点],在时级数发散,在时级数收敛，幂级数的收敛区域为.二、单项选择题(本题共６小题，每小题４分,满分24分)（1)Ａ（2)A（3)B(4)Ｂ(５)D(6)B三、解答题（本题共8小题,满分52分）三、解答题(本题共8小题，满分52分。解答题应写出证明过程或演算环节)（１）(本题６分)求极限(１）(本题6分）解:原式＝………………3分………………3分[考点知识点]分子有理化＋“极坐标变换”+无穷小乘有界变量.(２）(本题6分)计算二重积分,D是由、及所围成的闭区域。(2）（本题6分）解：………………3分………………3分解2：………………3分………………３分［考点知识点]（对称区间积分考虑奇偶性)积分区间只是关于对称,被积函数为奇函数,从而。（３）(本题６分)设,其中具有二阶连续偏导数，求（3)(本题6分）解１：。。。。。。3分…2分…1分解２：………………3分………………3分[考点知识点]拟定关于谁求导:认清中间变量的个数,有几个中间变量就有几坨．（４）（本题6分）设且证明:（４)（本题６分）证:由知:…3分于是………………3分[考点知识点]１．由和存在，搞定,并且.２.由Macｌaurin公式有:.(５）（本题6分)证明函数在点处不可微分.(5)(本题6分）证：函数在点处有则………………3分而当沿ｙ=kx趋于（0，0）时极限不为0，则函数在（0，０）不可微分。………………３分［考点知识点]函数在点处可微。(6)(本题8分)计算，其中Ｌ为连结与的直线段AＢ之下方以A为起点B为终点的任意有向曲线弧,且L与直线段AB所围图形的面积为2．(６）(本题8分）解:……………3分……………２分所以……………３分[考点知识点]1..2.(7）（本题6分)求微分方程的通解.（7)(本题6分）解：特性方程：,特性根：，相应的齐次方程通解为：……………２分设原方程的特解为:……………2分将代入原方程并比较两端系数得：原方程的通解为：……………2分[考点知识点]求微分方程的通解环节：１.是特性方程的特性单根（）。２．原方程的特解为：将代入原方程并比较两端系数搞定Ａ。3．原方程的通解为:。（８）(本题8分）设在区间上连续,，其中是由、所围成的闭区域,证明:.（8)(本题8分)证:…４分…４分[考点知识点］.（６)（本题８分)计算,其中为旋转抛物面介于平面和平面之间的部分的下侧.(６)（本题8分)解:,……………3分…………2分1..2．(９）（本题６分）求幂级数的和函数并且指出该幂级数的收敛区域.（9）（本题６分)解:，,[考点知识点］1.求幂级数在收敛区域内可以逐项求导和积分。２.(10)（本题6分)求幂级数的和函数并且指出该幂级数的收敛区域.（10）（本题6分）解：，所以,，当时,级数发散;当时，级数收敛.故幂级数的和函数为其收敛区域为．[考点知识点]1.求幂级数在收敛区域内可以逐项求导和积分。2．。3．讨论时，级数的敛散性,从而最终搞定收敛区域。［复习解答练习题]解答题(每题８分，满分８8分）求微分方程满足条件的特解。求微分方程满足条件的特解。设函数连续,且满足，求。求通解为的二阶常系数线性微分方程。设,求。设，其中有二阶连续导数，求。求曲线在点处切线方程及法平面方程。求曲线平行于平面的切线方程。求内接于半径为r的球，且有最大体积的长方体。当均大于时，