2018版数学大复习讲义专题突破四中的不等式问题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点,E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为(）A．相交 B．平行C．垂直相交 D．不确定答案B解析如图取B1C1中点为F，连接EF，DF，DE，则EF∥A1B1，DF∥B1B，∴平面EFD∥平面A1B1BA,∴DE∥平面A1B1BA.2．设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（)A．③④B．①③C．②③D．①②答案C解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．3．（2016·成都模拟)如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是()A．20＋3π B．24＋3πC．20＋4π D．24＋4π答案A解析根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2,故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×eq\f（1,2)π＝20＋3π.4.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱VC、VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则eq\f(VB,FB)＝________。答案2解析连接AC交BD于点O，连接EO，取VE的中点M,连接AM，MF，∵VC＝3EC，∴VM＝ME＝EC，又AO＝CO，∴AM∥EO，又EO⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE，又AF∥平面BDE，AM∩AF＝A,∴平面AMF∥平面BDE,又MF⊂平面AMF,∴MF∥平面BDE,又MF⊂平面VBC，平面VBC∩平面BDE＝BE，∴MF∥BE，∴VF＝FB，∴eq\f(VB,FB)＝2。5.如图，在三棱锥P－ABC中,D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5。则直线PA与平面DEF的位置关系是________；平面BDE与平面ABC的位置关系是________．(填“平行”或“垂直")答案平行垂直解析①因为D,E分别为棱PC,AC的中点，所以DE∥PA。又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.②因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点,PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝eq\f（1，2)PA＝3，EF＝eq\f（1,2)BC＝4。又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°,即DE⊥EF。又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E,AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC,又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC。题型一求空间几何体的表面积与体积例1（2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′;（2)若AB＝5,AC＝6，AE＝eq\f（5，4)，OD′＝2eq\r(2)，求五棱锥D′ABCFE的体积．(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得eq\f（AE,AD）＝eq\f（CF，CD),故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系,即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2）解由EF∥AC得eq\f（OH,DO）＝eq\f(AE，AD）＝eq\f(1，4)。由AB＝5,AC＝6得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2）＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝（2eq\r（2))2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H,所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O,所以OD′⊥平面ABC。又由eq\f（EF，AC)＝eq\f（DH,DO)得EF＝eq\f(9,2)。五边形ABCFE的面积S＝eq\f(1，2）×6×8－eq\f（1，2）×eq\f（9,2）×3＝eq\f（69，4).所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝eq\f（1，3）×eq\f（69,4)×2eq\r(2）＝eq\f(23\r(2)，2）。思维升华（1）若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r（6)，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：（1）这个正三棱锥的表面积；（2）这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解(1）底面正三角形中心到一边的距离为eq\f(1，3）×eq\f（\r（3）,2)×2eq\r（6）＝eq\r（2)，则正棱锥侧面的斜高为eq\r(12＋\r（2）2)＝eq\r(3）.∴S侧＝3×eq\f(1,2）×2eq\r（6)×eq\r（3）＝9eq\r(2).∴S表＝S侧＋S底＝9eq\r（2)＋eq\f（1，2）×eq\f（\r（3），2）×（2eq\r(6）)2＝9eq\r（2)＋6eq\r（3)。（2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC＝eq\f（1,3）S侧·r＋eq\f（1，3）S△ABC·r＝eq\f（1,3）S表·r＝(3eq\r(2）＋2eq\r（3））r。又VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1，2）×eq\f（\r（3)，2）×(2eq\r（6)）2×1＝2eq\r(3），∴(3eq\r（2）＋2eq\r（3）)r＝2eq\r（3），得r＝eq\f(2\r(3)，3\r(2）＋2\r（3））＝eq\f(2\r(3）3\r(2)－2\r（3），18－12）＝eq\r(6）－2。∴S内切球＝4π（eq\r（6)－2）2＝(40－16eq\r(6））π。V内切球＝eq\f(4，3）π(eq\r(6)－2)3＝eq\f（8,3）(9eq\r(6)－22）π.题型二空间点、线、面的位置关系例2(2016·济南模拟）如图,在三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱垂直于底面，AB⊥BC,AA1＝AC＝2，BC＝1,E，F分别是A1C1，BC的中点．(1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2)求证：C1F∥平面ABE;(3）求三棱锥E－ABC的体积．（1）证明在三棱柱ABC－A1B1C1中,BB1⊥底面ABC。因为AB⊂平面ABC,所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1。又AB⊂平面ABE,所以平面ABE⊥平面B1BCC1。(2）证明方法一如图1，取AB中点G，连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC，且FG＝eq\f（1,2）AC.因为AC∥A1C1,且AC＝A1C1,所以FG∥EC1，且FG＝EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE。方法二如图2,取AC的中点H，连接C1H，FH。因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，又因为E，H分别是A1C1,AC的中点,所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F⊂平面C1HF,所以C1F∥平面ABE。(3)解因为AA1＝AC＝2，BC＝1,AB⊥BC，所以AB＝eq\r（AC2－BC2）＝eq\r（3)。所以三棱锥E－ABC的体积V＝eq\f（1，3）S△ABC·AA1＝eq\f(1，3)×eq\f（1,2)×eq\r(3)×1×2＝eq\f(\r(3），3)。思维升华（1）①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题,再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直"问题．②证明C1F∥平面ABE:(ⅰ）利用判定定理，关键是在平面ABE中找（作）出直线EG，且满足C1F∥EG。（ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行,实施线面平行与面面平行的转化．(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高,不能直接用公式时，注意进行体积的转化．如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB。过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．\求证：(1）平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明（1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点,则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，因此平面EFG∥平面ABC。(2)由平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.又BC⊥AB，AF∩AB＝A,则BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA。题型三平面图形的翻折问题例3(2015·陕西)如图1，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠BAD＝eq\f（π,2），AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1）证明：CD⊥平面A1OC；(2）当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36eq\r(2),求a的值．（1)证明在题图1中，连接EC,因为AB＝BC＝eq\f（1，2）AD＝a，∠BAD＝eq\f(π，2)，AD∥BC，E为AD中点,所以BC綊ED,BC綊AE，所以四边形BCDE为平行四边形,故有CD∥BE，所以四边形ABCE为正方形，所以BE⊥AC，即在题图2中，BE⊥A1O,BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2）解由已知，平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE＝BE,又由(1）知，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1-BCDE的高，由题图1知，A1O＝eq\f(\r(2），2）AB＝eq\f(\r（2）,2）a,平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1—BCDE的体积为V＝eq\f(1，3）×S×A1O＝eq\f（1，3）×a2×eq\f(\r（2),2）a＝eq\f（\r(2）,6）a3，由eq\f(\r（2）,6)a3＝36eq\r(2）,得a＝6。思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．(2017·深圳月考）如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC。其中点E，F分别在线段PD,PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF⊥CF.(1)证明:CF⊥平面MDF；(2）求三棱锥M－CDE的体积．(1）证明因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD。又因为ABCD是矩形，CD⊥AD,PD与CD交于点D，所以AD⊥平面PCD。又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF。又MF⊥CF,MD∩MF＝M,所以CF⊥平面MDF.(2）解因为PD⊥DC，PC＝2，CD＝1,∠PCD＝60°,所以PD＝eq\r（3），由(1）知FD⊥CF，在直角三角形DCF中，CF＝eq\f(1,2）CD＝eq\f(1，2）。如图，过点F作FG⊥CD交CD于点G，得FG＝FCsin60°＝eq\f（1,2)×eq\f(\r（3),2)＝eq\f（\r(3),4)，所以DE＝FG＝eq\f(\r(3),4），故ME＝PE＝eq\r(3）－eq\f(\r（3）,4）＝eq\f（3\r(3），4），所以MD＝eq\r(ME2－DE2)＝eq\r(\f（3\r（3)，4)2－\f(\r（3)，4)2)＝eq\f(\r（6),2）。S△CDE＝eq\f(1,2）DE·DC＝eq\f（1,2)×eq\f（\r(3）,4）×1＝eq\f（\r(3）,8）。故VM－CDE＝eq\f(1，3)MD·S△CDE＝eq\f（1，3）×eq\f（\r(6)，2)×eq\f（\r(3）,8）＝eq\f（\r（2)，16)。题型四立体几何中的存在性问题例4（2016·四川双流中学月考）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BMD1N与棱CC1，AA1分别交于点M,N，且M，N均为中点．（1)求证：AC∥平面BMD1N.(2)若AD＝CD＝2，DD1＝2eq\r(2），O为AC的中点．BD1上是否存在动点F,使得OF⊥平面BMD1N？若存在，求出点F的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．（1）证明连接MN.因为M，N分别为CC1，AA1的中点，所以AN＝eq\f(1，2）AA1，CM＝eq\f(1,2）CC1。又因为AA1∥CC1,且AA1＝CC1，所以AN∥CM,且AN＝CM，所以四边形ACMN为平行四边形,所以AC∥MN.因为MN⊂平面BMD1N,AC⊄平面BMD1N,所以AC∥平面BMD1N。（2）解当点F满足D1F＝3BF时，OF⊥平面BMD1N,证明如下：连接BD，则BD经过点O,取BD1的中点G,连接OF，DG，又D1F＝3BF，所以OF为三角形BDG的中位线,所以OF∥DG。因为BD＝2eq\r（2)＝DD1，且G为BD1的中点,所以BD1⊥DG，所以BD1⊥OF。因为底面ABCD为正方形,所以AC⊥BD。又DD1⊥底面ABCD,所以AC⊥DD1，又BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，又OF⊂平面BDD1,所以AC⊥OF。由（1）知AC∥MN，所以MN⊥OF.又MN，BD1是平面四边形BMD1N的对角线，所以它们必相交，所以OF⊥平面BMD1N.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB,AD⊥DC,AB∥DC.（1)求证：D1C⊥AC1；(2）问在棱CD上是否存在点E，使D1E∥平面A1BD。若存在，确定点E位置；若不存在，说明理由．(1）证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C。又AD⊥DC，AD⊥DD1,DC∩DD1＝D,∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C⊂平面DCC1D1,∴AD⊥D1C。∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解假设存在点E，使D1E∥平面A1BD。连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN,要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E,又M是AD1的中点,则N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.即E是DC的中点．综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD。1．(2016·北京顺义区一模)如图所示，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β.A，B是直线l上的两点，C，D是平面β内的两点，且AD⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8。P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC，则四棱锥P－ABCD体积的最大值是(）A．48B．16C．24eq\r（3）D．144答案C解析由题意知，△PAD，△PBC是直角三角形，又∠APD＝∠BPC，所以△PAD∽△PBC.因为DA＝4,CB＝8，所以PB＝2PA.作PM⊥AB于点M,由题意知,PM⊥β。令AM＝t（0〈t〈6），则PA2－t2＝4PA2－(6－t)2,所以PA2＝12－4t.所以PM＝eq\r(12－4t－t2），即为四棱锥P－ABCD的高，又底面ABCD为直角梯形，S＝eq\f（1，2）×（4＋8）×6＝36.所以V＝eq\f（1，3）×36×eq\r(12－4t－t2）＝12eq\r(－t＋22＋16）≤12×eq\r（12）＝24eq\r（3）.2．(2016·江西赣中南五校第一次联考)已知m，n是两条不同的直线，α,β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，α⊥β,则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n,m∥α，则n∥α答案C解析对于A，若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β或相交；对于B,若m∥n,m⊂α,n⊂β，则α∥β或相交；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α.故选C.3．（2016·唐山模拟)如图,ABCD－A1B1C1D1为正方体，连接BD，AC1，B1D1，CD1，B1C,现有以下几个结论:①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③CB1与BD为异面直线．其中所有正确结论的序号为________．答案①②③解析由题意可知，BD∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1,BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，①正确；易知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C,又B1D1∩B1C＝B1，所以AC1⊥平面CB1D1，②正确；由异面直线的定义可知③正确．4。如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论:①DF⊥BC;②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是________．（填写结论序号)答案②③解析因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直,则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．故答案为②③.5。如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当eq\f（CF，FD)＝______时,D1E⊥平面AB1F。答案1解析如图,连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影．∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1，又∵D1E⊥平面AB1F⇒D1E⊥AF。连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影,∴D1E⊥AF⇒DE⊥AF.∵ABCD是正方形,E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F，∴eq\f（CF,FD）＝1时,D1E⊥平面AB1F.6．（2016·咸阳模拟）如图,梯形ABEF中，AF∥BE,AB⊥AF，且AB＝BC＝AD＝DF＝2CE＝2，沿DC将梯形CDFE折起,使得平面CDFE⊥平面ABCD.（1)证明：AC∥平面BEF；（2)求三棱锥D－BEF的体积．（1)证明如图,取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME。由题设知，CE綊eq\f(1,2)DF，MO綊eq\f（1,2)DF,∴CE綊MO，故四边形OCEM为平行四边形，∴EM∥CO,即EM∥AC.又AC⊄平面BEF，EM⊂平面BEF，∴AC∥平面BEF.(2)解∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD＝DC,BC⊥DC，∴BC⊥平面DEF。∴三棱锥D－BEF的体积为VD－BEF＝VB－DEF＝eq\f（1，3)S△DEF·BC＝eq\f(1，3）×eq\f(1,2）×2×2×2＝eq\f（4，3）。7．(2016·山东牟平一中期末)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E，F，H分别为AD，CD，DD1的中点，EF与BD交于点G.（1）证明：平面ACD1⊥平面BB1D；（2）证明:GH∥平面ACD1。证明(1)∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1。又AC⊥B1D，BB1∩B1D＝B1，∴AC⊥平面BB1D.∵AC⊂平面ACD1,∴平面ACD1⊥平面BB1D。(2)设AC∩BD＝O，连接OD1。∵E，F分别为AD，CD的中点,EF∩OD＝G,∴G为OD的中点．∵H为DD1的中点,∴HG∥OD1。∵GH⊄平面ACD1，OD1⊂平面ACD1，∴GH∥平面ACD1。8．(2016·北京东城区一模）如图，在四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形