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文档简介

第二节二次型的标准形定义2.1只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.二次型的讨论,主要任务是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,即讨论二次型的矩阵与相应的对角矩阵的合同问题.一、正交变换法用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为解例3

1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．

2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下面介绍拉格朗日配方法和初等变换法．二、拉格朗日配方法用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．

问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．定理2.2任何二次型都可通过非退化线性变换(可逆变换)化为标准形．

1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤

2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.解例4含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例5由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得所用变换矩阵为三、初等变换法例6故所用的变换矩阵为四、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者初等变换法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．思考题思考题解答化为标准型，并指出

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