新课标人教a版高中数学（必修5）全册学案

第一章解三角形

§1.1.1正弦定理（第一课时）

教学目标

知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;

会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的儿何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，

引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实

践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合

情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识

间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点

正弦定理的探索和证明及其基木应用。

教学难点

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程

I.课题导入

如图（1）固定二ABC的边CB及二B,使边AC绕着顶点C转动。

图（1）图（2）

思考：-C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角匚C的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

H.讲授新课

［探索研究］

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等

式关系。如图（2）在Rt二ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定

——Slrul—■■slnJ—

义，有e,。，又

ab_c

则gin..sin£f-slnC"

I-从而在直角三角形ABC中，有

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

证法一：证法二：证法三:

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

［理解定理］

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即

a=,b=,c=;

（2）a:b:c=；

a_b_ca_bc_ba_c

（3）slnjlslnfslnC等价于sin/sinR,slnCslnff,siiuivUnC

从而知正弦定理的基本作用为：

a_bsiiui

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如"sinff；

slxvf——slnj?

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如*0

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

练习：已知:ABC中，sliul:slnff:sinC-1:2:3,则，:》:c=

［例题分析］

例1.在瓶5。中，已知A=45°,8=30°,c=10,解三角形。

例2.在&即中，已知A=45°,a=2,b=J5,解三角形

练习：1.在&^中，已知A=75°,B=45°,c=3五,求a、b

2.在中，已知A=45°,a=2,b=#，求B、C

3.在中,已知上=18,6=20,A=150°,解三角形

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

例3.仿照正弦定理的证法1,证明S.BC=gabsinC=jbcsinA=；casinB，并

运用这一结论解决下面的问题：

(1)在中，已知。=22=3,C=150°,求S^BC；

⑵在加的中，已知c=10,A=45°,C=30°,求b和%俄；

(3)证明正弦定理

探究：由例2思考：

已知两边a、b和一边的对角A,求角B时，若A为锐角，有几种情形？画出草图

若A为钝角呢？

不解三角形判断下列三角形解得个数

(1)。=7/=14,4=30°

(2)a=30,b=25,A=150°

(3)a=6,0=9,A=45°

(4)fe=9,c=10,B=60°

m.课堂练习

第8页练习第1题。

W.课时小结(由学生归纳总结)

(1)定理的表示形式：；

变式：_____________________________________________________

面积公式：______________________________________________

(2)正弦定理的应用范围：

①;

②。

V.课后作业

第10页［习题1.1］第1(1)、2(3)题。同步导学

§1.1.1正弦定理(第二课时)

教学目标

知识与技能：掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理研究

斜三角形中的一些问题和解决一些简单的测量问题。

教学重点

正弦定理的运用。

教学难点

正确运用正弦定理研究相关的数学问题。

—o回顾旧知

1.正弦定理：___________________________________________

2.正弦定理的变形：(1)；(2)；(3)

3.面积公式：o

4.三角形解的情况：

阅读课本第9、10页的例3、4、5

二.典例分析：

题型一：判断三角形的形状

例1.在中，若已知acos力=Z?cos8,判断三角形的形状。(对应例4)

练习：在AA8C中，已知YtanB=/tan4,试判断A48c的形状。

题型二：正弦定理与三角变换的综合应用

4

例2.在AABC中，已知AC=2,BC=3,cosA=--,

(1)求sinB的值;

jr

(2)求sin(2B+」)的值。

ccqAh)4

例3。在A4BC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且c=10,,求a、b

cosBa3

及AA8C的内切圆半径r,外接圆的半径R.

三、易错点

例4.在AABC中，若B=30°,AB=2g,AC=2,求AABC的面积

课后思考1：

已知A48C的三边各不相等，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosA=6cos8,

求竺2的范围

c

思考2：已知锐角AA3C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设B=2A,

b

求2的取值范围

作业：1、在A48c中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=2,C=三,cos”=空

425

求AA8C的面积

2、在A46C中角A、B、C所对的边分别

A+BCA

为a、b、c,a=2Vr3,tan-------4-tan一二4,sin8sinC=cos2一，求A、B及b、c

222

§1.1.2余弦定理

•教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本

的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本

的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力：通过三角函数、余弦定理、

向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

・教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

・教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

•教学过程

I.课题导入

如图所示，两游艇自0处同时出发，一艘以10km/h的速度向正东方向行驶，另一艘以

6km/h的速度向北偏西30°方向行驶，30min后两游艇之间的距离为多少？

问题探究：上述情境中蕴含了什么数学知识？如何用语言描述？又如何用数学语言表示?

H.讲授新课

［探索研究］

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

问：在上节中，我们用什么向量知识得到了正弦定理？

证明：

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它

们的夹角的余弦的积的两倍。即

探究：已知AABC中，sinA:sin8:sinC=2:瓜:（G+1）,则A=;B=.

思考•：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由

三边求出一角？

（由学生推出）余弦定理又可以下写成如下形式：

［理解定理］

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角

形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若工ABC中，C=好，则mCJQ,这时

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

［例题分析］

例1.在,ABC中，已知斯，e-JS+Q,B=45°，求b及A

分析：求b只能用正弦定理，求出b后求昌可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

练习：完成引入和探究

例2.在：ABC中，已知8-了，*-S,C-3,判断一ABC的类型。

结论：已知三边a、b、c判断三角形形状的方法

A为直角Q

A为锐角O

A为钝角O

［随堂练习］

(1)在二ABC中,已知sinA:sinB:sinC=2:4:5,判断二ABC的类型,

(2)设x、x+1、x+2是锐角三角形的三边长，求实数x的取值范围，

⑶设2a+l,a,2a-I是钝角三角形的三边长，求a的取值范围。

m.课堂练习

第15页练习1(1)、2、3

IV.课时小结

(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的应用范围：①.已知三边求三角；②.已知两边及它们的夹角，求第三边。

V.课后作业

①课后作业：同步导学

②课时作业：第17页［习题1.2］第3,6题。

解三角形的进一步讨论

•教学目标

知识与技能：灵活运用正、余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理,

三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角

函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映

了事物之间的内在联系。

•教学重点

在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

•教学难点

正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

•教学过程

I.旧知回顾

三角形中的边、角之间的关系

边a、b、c所对的角分别为A、B、C,在AA3C中有如下常用结论：

(1)a+b>c,b+c>a,a+c>b;(2)A+B+C=71;(3)a>b=A>B;(4)a=bOA=B;

(5)A为直角=;A为锐角=;A为钝角<=>

A+8)

(7)sin(A+8)=；cos(A+B)=;sin(土乌；cos(

2

II.讲授新课

考查点一：判断三角形形状

例1.在A48C中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,sinA=2sinBcosC,

试判断A48C的形状。

考查点二：利用定理证明恒等式

例2：在AA8C中，a、b、c分别为A、B、C的对边，求证:

八、2c2AI/,

(1)acos——Fccos—=—(a+b+cA)

222

(2)acosB+bcosA=c

见第16页例6.

考查点三：利用定理研究函数问题

AA

例3.已知AABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且5=4cos—,c=4sin—.

22

（1）求A46C面积的最大值；（2）求a的最小值。

练习1：如图，某农场有一块边长为2a的等边三角形ABC试验田，I）、E两点分别在边AB、

AC上，DE把这块试验田分成面积相等的两部分作对比试验地，设AD=x,DE=y,求用x表示y

的函数关系式。

考查点四：定理与三角变换

C]l

例4.在AA8C中a、b、c分别为A、B、C的对边，且/+c?一8。=/，一=一+J3,

b2

求A和tanB的值

练习2.在AA8C中a、b、c分别为A、B、C的对边，且A=60°,c=36。求

（1）色的值，（2）—的值。

ctanBtanC

考查点五：解决几何问题

例5.如图A4CO是等边三角形，AA8C是等腰直角三角形，NAC8=90°,BD交AC于E,

AB=2.

(1)求cosNCBE,(2)求AE.

D

C

开拓思维：

1.如图，半圆。的直径为6,A为直径延长线上的一点，0A=6,B为半圆上任意一点,

以AB为一边作等边三角形，那么B在什么位置时四边形AOBC的面积最大？

2.如图,在平面上有A、B、P、Q四个点，A、B为定点，2B=6，P、Q为动点，且AP=PQ=QB=1,

记\APB,\QBP的面积分别为S,T.

(1)求S2+T2的取值范围;

(2)当S2+T2取最大值时，判断A4P3的形状。

W.课时小结(由学生小结)

V.课后作业

同步导学

§1.2应用举例（第一课时）

教学目标

知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，

了解常用的测量相关术语；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不

可到达的物体高度测量的问题

过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结

合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”

的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过

多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样

的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正

情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；同时培养学生运用

图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力

教学重点

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解

教学难点

根据题意建立数学模型，画出示意图

教学过程

I.课题导入

1、［复习旧知］

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、［设置情境］

“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就

已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的

距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的

方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方

法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法

会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定

理、余弦定理在科学实践中的重要应用。

n.讲授新课

（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题

里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

［例题讲解］

例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，

在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,工BAC=60°,』ACB=»。求A、B

两点的距离（精确到0.1m）

ffll.21

变式练习1：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东

30，灯塔B在观察站C南偏东60,则A、B之间的距离为多少?

引申：（见课本第18页例1）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量

A、B两点间距离的方法。

田L22

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得三BCA=60,-ACD=30,-CDB=45,

-BDA=60

例2、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度

AB的方法。

变式练习2,如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角工=60°,在塔底C处测

得A处的俯角；=45°。已知铁塔BC部分的高为20m,求出山高CD(精确到1m)

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些

过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选

择最佳的计算方式。

学生阅读课本21页，了解测量中的一些基本问题，并找到生活中的相应例子。

HL课堂练习

课本第20页练习第1、4题

IV.课时小结

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建

立一个解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

V.课后作业

课本第21页习题第1、2、3题2、

补：为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30,

测得塔基B的俯角为45,则塔AB的高度为多少m?

§1.2应用举例（第二课时）

•教学目标

知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题

过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，

这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1,还针对性地选择了既

具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生

的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究

问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过

程中激发学生的探索精神。

•教学重点

能根据正弦定理、余弦定理的特点找到己知条件和所求角的关系

•教学难点

灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题

•教学过程

I.课题导入

［创设情境］

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角

求其余边的问题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上

如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速利航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问

题。

n.讲授新课

［范例讲解］

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行80nmile后到达海岛B,然后

从B出发,沿北偏东30°的方向航行Onmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达

C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离？（角度精确到0.1,距离精确到0.Oln

mile）

北

图1.2-7

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为二,沿BE方向前进30m,至点C处测得

顶端A的仰角为2±,再继续前进lO4m至D点，测得顶端A的仰角为求三的大小

和建筑物AE的高。

例3、（见对应题第18页例2）某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘

走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海

里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上

该走私船？

个北

'C

B

A

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的

应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

m.课堂练习

课本第20页练习

IV.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三

角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形,

这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

V.课后作业

1、课本第21页练习第4、6、7题

2、我舰在敌岛A南偏西60°相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西15°的方向以10

海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

解三角形的章末总结

知识网络图示r形式：_____________

正弦定理变形Y

XD

适合解决的问题：＜

形式：Y

余弦定理变形:Y

适合解决的问题:Y

解三角形

r

三角形中的有关公式

正、余弦定理的综合应用

一、基本题回顾:

1、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km),灯塔A在C北偏东30°,B在C南

偏东60°,则A,B之间的相距

2、AABC中,a=l,b=当，/A=30°,则/B等于

3,符合下列条件的三角形有且只有一个的是

A.a=1,b=2,c=3B.a=1,b=,NA=30°

C.a=l,b=2,ZA=100°C.b=c=l,ZB=45°

4、在锐角三角形ABC中，有

A.cosA>sinB且cosB>sinAB.cosA<sinB且cosB<sinA

C.cosA>sinB且cosB<sinAD.cosA<sinB且cosB>sinA

5、若(a+b+c)(b+c—a)=3abc,且sinA=2sinBcosC,那么△ABC是三角形

7

6、A为AABC的一个内角，且sinA+cosA=l2,贝必ABC是______三角形.

7、在AABC中，A=60°,c:b=8:5,内切圆的面积为12口,则外接圆的半径为.

1

8、在△ABC中，若SAABC=A(a'b'-C?),那么角NC=.

31

9、在AABC中，a=5,b=4,cos(A-B)=赞，则cosC=.

二、典例回顾

例1、在△ABC中，求分别满足下列条件的三角形形状：

①B=60°,bJ=ac；(2)b2tanA=a"tanB；

B

③sinC=+"④(a'—b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A—B).

例2、已知在A46c中a、b、c分别为A、B、C的对边，面积为S,且a=l.

(1)若S=l,B=—，求边长b;

6

IT

(2)若A=勺，求AABC的周长的最大值。

例3、在AA5C中a、b、c分别为A、B、C的对边，a+b=7,c=质,

..TA+B1

4sin------+cos2C=一。

22

(1)求角C的大小；

(2)求A46C的面积。

例4.\ABC中，AC=2,BC=1,ACBC=-.

2

⑴求求的值。

(2)求此三角形最大角与最小角之差的某个三角函数值。

作业：

1、讲解同步导学本章总结；

2、课本第24页复习题做课堂作业；

3、同步导学第67页第1章单元测试

第二章数列

§2.1散列的棚舍与简单看三法

■教学目标

理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公

式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。通过

对列数的观察、归纳，写出符合条件的•个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能

力.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数

列的前几项；理解数列的前n项和与明的关系。

•教学重点

数列及其有关概念，通项公式及其应用，根据数列的递推公式写出数列的前几项

■教学难点

根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式，理解递推公式与通项公式的关系

•教学过程

I.课题导入

三角形数：1,3,6,10,-

正方形数：1,4,9,16,25,…

观察这些例子，看它们有何共同特点？

(1)全体自然数：0、1、2、3、4.......

⑵、历精确到1,0.1,0.01,0.001.......的不足近似值：1、1.4、1.4K1.414.........

过剩近似值:2、1.5、1.42>1.415.......

(3)-1的1次第，2次幕，3次幕....：—1,1,—1,1,—1,1,….

(4)无穷多个2：2、2、2、2.......

n.讲授新课

1.数列的定义：按的一列数叫做数列.

注意：⑴

(2)

2.数列的项：数列中的都叫做这个数列的项.

各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….

3.数列的一般形式：4”出，的，…，*，…，或简记为｛%｝，其中凡是数列的第n项

4.数列的通项公式：如果数列｛%｝的与—之间的关系可以用一个公式来表示,

那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：⑴

(2)

⑶数列通项公式的作用：

①

②

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的

一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列

便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.

5.数列与函数的关系

数列可以看成以为定义域的函数

an=/(〃)，当自变量________________________________对应的一列函数值。

反过来，对于函数如果F。)(i=l、2、3、4-)有意义，那么我们可以得到一个数

列IF。、f(2)、f(3)>f⑷…,f(n),

6.数列的分类：

1)根据数列项数的多少分：

有穷数列：有限的数列.

无穷数列：无限的数列。

2)根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项的数列。

常数数列：各项的数列。

摆动数列：从第2项起，的数列

［范例讲解］

例一：已知数列的前4项，写出它的通项公式：

(2)2、0、2、0

22-13Z-142-152-1

2345

例二、根据数列的通项公式，写出它的前五项

⑵an=(-1)"-n

⑶“匕出

"2

(4)a=-------------------

n(2n-l)(2»+l)

m.课堂练习

［补充练习］:根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式:

(1)3,5,9,17,33,……；

_246810

)3'15'35'63'99'

(3)0,1,0,1,0,1,……；

(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,....

(6)9、99、999、9999....

(7)0.9、0.99、0.999、0.9999....

数列的表示方法

1、通项公式法

如果数列｛%｝的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式

就叫做这个数列的通项公式。

2、图象法

以为横坐标，为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点，

所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在了轴的右侧，

而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变

化的趋势.

3、递推公式法

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型.

模型一：运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，

会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？

模型二：

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

递推公式：如果已知数列｛%｝的，且任一项与它的间的关系可以用一

个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式

递推公式也是给出数列的•种方法。

如下数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89

递推公式为：

4、列表法

简记为k)

［范例讲解］

=1

例3设数列｛%｝满足%=］+」_(〃〉］)写出这个数列的前五项。

［补充例题］

例4已知为=2,。,川=2%写出前5项，并猜想凡.

m.课堂练习

［补充练习］

1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式

(1)%=0,。升|=%+(2n—1)(nGN)；

2a

(2)a1=1,。〃+1=---—(nGN)；

an+2

(3)at=3,a“+］=3a“一2(nGN).

IV.课时小结

本节课学习了以下内容：

1、数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数

列的通项公式。

2、递推公式及其用法；

3、通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或”项)之间

的关系.

V.课后作业

§2.2等差数列

•教学目标

1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等

差数列；正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公

差、项数、指定的项明确等差中项的概念：进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,

能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题

2、经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。通过等差数

列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗

透方程思想。

•教学重点

等差数列的概念，等差数列的通项公式“等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

•教学难点

等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

•教学过程

I.课题导入

［创设情境］

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法一列举法、通项

公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例

子。

①0,5,10,15,20,25,—

②48,53,58,63

③18,15.5,13,10.5,8,5.5

④10072,10144,10216,10288,10366

看看以上四个数列有什么共同特征？

.共同特征：_________________________________________

我们给具有这种特征的数列一个名字'一等差数列

II.讲授新课

1.等差数列：一般地，如果一个数列从起，每一项与等于,这

个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的（常用字母"d”表示）。

（1）.公差d一定；

（2）.对于数列｛%｝,若（与n无关的数或字母），n,d为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

2.等差数列的通项公式：

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列｛为｝的首项是％,公

差是d,则据其定义可得：

由此归纳等差数列的通项公式可得：an

由上述关系还可得：an=am+

除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:

（迭加法）：但“｝是等差数列，所以%—a,-=d,

（迭代法）：｛%｝是等差数列，则有a„=a,,..+d

=an_2+d+d

3.有几种方法可以计算公差d

①②③

［范例讲解］

例1⑴求等差数列8,5,2…的第20项

（2）-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项？如果是，是第几项？

例2已知数列｛%｝的通项公式勺=p〃+q,其中p、q是常数，那么这个数列是否一定

是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

注：①若p=0,则｛%｝是公差为0的等差数列，即为常数列q,q,q,…

②若pWO,则｛%｝是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数

y=px+q的图象上，一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列｛%｝为等差数列等价于其通项Q“=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公

式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的•个。

等差数列的通项公式：

=q+(〃-1)1或%=am+(n-in)d或an=pn+q(p、q是常数)

4.等差中项：

提问：如果在。与匕中间插入一个数A,使a,A,人成等差数列数列，那么A应满足什么

条件？

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的

等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项()都是的

等差中项。

如数列：1,3,5,7,9,11,13…中，9是_和_的等差中项，—和—的等差中项。

例3在等差数列｛%｝中，若％+&=9,%=7,求生，a9•

思考：已知数列｛%｝是等差数列

(1)2%=%+%是否成立？2%=%+%呢？为什么？

(2)2«„=4।+。(〃>1)是否成立？据此你能得到什么结论？

(3)2-=。“一+”“(〃>)>0)是否成立??你又能得到什么结论?

结论：(性质)在等差数列中，若m+n=p+q,则

但通常①由a,“+an=ap+aq推不出m+n=p+q,②a,“+an=am+n

m.课堂练习

［补充练习］

1.(1)求等差数列3,7,11,……的第4项与第10项.

(2)求等差数列10,8,6,……的第20项.

(3)100是不是等差数列2,9.16.的项？如果是，是第几项？如果不是，说明

理由.

(4)-20是不是等差数列0,-3-,-7,……的项？如果是，是第几项？如果不是,

2

说明理由.

2、在等差数列｛%｝中，已知%=10，/2=31，求首项叫与公差d

3、在等差数列｛4｝中，若/=6%=15求卬4

W.课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握

+

1、等差数列的定义及数学表达式：an-an_y=d,(n22,neN).其次，要会推导等差

数列的通项公式：*=q+(“-1)1,并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：

an=am+(n-m)dfOan=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.

4=-=a,A,b,成等差数列

2、2

3、在等差数列中，m+n=p+q=>am+an=ap+aq(m,n,p,q£N)

V.课后作业

§2.3等差数列的前n项和（第一课时）

・学习目标

1.掌握等差数列前n项和公式及其推导思路：

2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

•学习重点

等差数列n项和公式的理解、推导及应

・学习难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

•教学过程

一、自主学习

“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说:

“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”

该故事告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍

的“”法。

II.讲授新课

1.等差数列的前〃项和公式1的推导

公式一：

公式二:

2总结：（1）此公式可以知求

（2）此公式的推导采用的方法是,这种思想在以后的解题中被广泛

运用。

二、合作探究

例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市

据此提了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不

同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工

程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10

年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

例2.已知一个等差数列他“｝前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定

这个等差数列的前n项和的公式吗？

4’,求s=/（—^）+/（」-）+•••+/（-）的值

例3、已知/(%)=

4"+2100110011001

三、课堂练习

根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛%｝的前n项和S.

(1)。|=-4,=-18,n=8：

四、课堂达标

根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛4｝的前n项和S.

。1=14.5,d—0.7,an=32；

五、课堂小结

等差数列｛*｝的前n项和的公式..和.

六、布置作业

P46第1、2

七、课后反思

§2.3等差数列的前n项和（第二课时）

・学习目标

1.掌握等差数列前n项和的性质

2.会用等差数列的前n项和公式及性质解决一些简单的与前n项和有关的问题

•学习重点

等差数列n项和的性质理解、推导及应用

・学习难点

灵活应用等差数列前n项公式及性质解决一些简单的有关问题

•教学过程

一、自主学习

例1已知数列伍“｝的前n项为S“=1+g〃，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数

列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

解后反思：1、由s0求区,得步骤:

（性质1）2、数列伍,｝是等差数列等价于Sn=An2+Bn

思考：结合例3,思考课本“探究”：一般地，如果一个数列｛4｝的前n项和为

S“=p〃2+q〃+r.其中p、q、r为常数，且pWO,那么这个数列一定是等差数列吗？如果

是，它的首项与公差分别是什么？

例2、已知数列｛%｝,是等差数列，Sn是其前n项和，且S6,S.S6,S|8-S|2成等差数列，设

+

keN,Sk,S2k-Sk,SJk-S2k成等差数列吗？

解后反思：性质2

二、课堂练习

求集合｛〃加=7〃,〃e”',且”.<10()｝的元素个数，并求这些元素的和。

三、课堂达标

1.已知等差数列5,24?,43；,....的前n项和为S“，求使得S“最大的序号n的值.

2.已知一个等差数列伍“｝前10项的和是310,前20项的和是1220.求这个等差数列的前30

项的和

四、课后作业

P46第4、5、6题

五、课堂小结

§2.4等州散列(第一移时)

・学习目标

1掌握等比数列的定义；

2.理解等比数列的通项公式及推导方法；

3.会应用等比数列的定义及通项公式、通项公式的推导解决一些实际问题：

・学习重点1.等比数列的定义及通项公式一、通项公式的推导方法；2.比值消元法解方程

・学习难点灵活应用定义式及通项公式解决相关问题

•教学过程

一、自主学习

问题1等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类

特殊的数列。

①1,2,4,8,16,…从第2项起，每一项与前一项的比都等于

111

工,…从第2项起，每一项与前一项的比都等于

012-4-8-

16----------

③1,20,2()2,2()3,20)…从第2项起，每一项与前一项的比都等于

观察：看看以上①、②、③、四个数列有什么共同特征？

L等比数列的定义:一般地,如果一个数列从一起,与它的的比等于

那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的—；公比通常用字母—表示

符号语言：={an}成等比数列

问题2等比数列的项%和q可以等于零吗?.

问题3当q=l时，该数列是怎样的数列？

问题4常数列是等比数列吗？

2.等比数列的通项公式

公式的推导方法一、

公式的推导方法二、

公式的推导方法三

总结：(1)