知识点7二次函数和抛物线有关概念

知识点7：二次函数和抛物线有关概念,

描点法画出二次函数的图象，抛物线顶点和

对称轴

一、选择题

1.（2008年浙江省衢州市）把抛物线,=炉向右平移2个单位得到的抛物线是（）

A、y=B、y=x'-2C、y=（x+2）‘D、y=（x-2）,

答案：D

2.（08浙江温州）抛物线了=5-。2+3的对称轴是（）

A.直线工=[B.直线x=3C.直线n=T

D.直线x=-3

答案：A

3.（2008年沈阳市）二次函数y=2（乂-1）2+3的图象的顶点坐标是（）

A.（L3）B.（—1,3）C.（L—笏D.（-1,-3）

答案:A

4.（2008年陕西省）已知二次函数（其中b>Clc<0），关于这

个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③

图象与工轴的交点至少有一个在了轴的右侧.以上说法正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

答案：C

5.（2008年吉林省长春市）抛物线尸=（*+2）'+3的顶点坐标是【】

A.（-2,3）B.（2,3）C.（一2,—3）D.（2,-3）

答案：A

6.（2008湖北荆门）把抛物线产r+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位,

所得图象的解析式为产x2-3x+5,则（）

（A）b=3,c=l.（B）b=6,c=3.（C）b=~9,c=~5.（D）b=~9,c=2l.

答案：A

7.（2008河北）如图，正方形JWCQ的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在

正方形即出的顶点上，且它们的各边与正方形486各边平行或垂直.若小正方形的边

长为工，月阴影部分的面积为？，则能反映下与工之间函数关系的大致图象

是（）

答案：D

8.（2008江西）函数夕=/-4*+3化成上的形式是（）

a

A.,=（"2）2-1B.jr=（x+2）-l

C./=（x-2）a+7D.^=（＜+^+7

答案：A

9.（2008佳木斯市）对于抛物线＞=-；《*-»'+3,下列说法正确的是（）

A.开口向下，顶点坐标（狎B.开口向上，顶点坐标（工习

C.开口向下，顶点坐标（-工为D.开口向上，顶点坐标（-*）

答案：A

10..（2008贵州贵阳）二次函数/+2的最小值是（）

A.—2B.2C.-1D.1

答案：B

11..（2008资阳市）在平面直角坐标系中，如果抛物线），=2?不动，而把x轴、y轴分别向

上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）

A.y=2（x-2）2+2B.y=2（x+2）2~2

C.y=2（x-2/一2D.丫=2。+2尸+2

答案：B

12.（2008泰州市）二次函数＞=炉+4X+3的图像可以由二次函数尸=/的图像

平移而得到，下列平移正确的是

A.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位

C.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位

D.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位

答案：B

13.（2008山西省）抛物线y=-2，-4x-5经过平移得到1y=-2/,平移方法是（）

A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位

B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位

D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位

答案：D

14..将二次函数y=/的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数

表

达式是()

A.y=(x-Da+2B.=(x+1)a+2

C.,二(1-妙一？D.¥=

答案：A

15.(2008湖北武汉)函数的自变量工的取值范围().

A.j>5B.x<5C.x>5D.X<5

答案：C

16.(2008湖北孝感)把抛物线,=向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平

移后抛物线的解析式为()

a

A.1y=-</―/_3B.1y=-<彳+口二一3C.y=-(x-^+3D.y=-(r+l/+3

答案：D

17.(2008台湾)如图坐标平面上有一透明片，透明片上有一-抛物线及一点P,且

抛物线为二次函数)，=¥的图形，尸的坐标(2,4)。若将此透明片向右、向上移动

后，得抛物线的顶点座标为(7,2),则此时P的坐标为何？()

(A)(9,4)(B)(9,6)(C)(10,4)(D)(10,6)

答案：B

18.(2008甘肃兰州)下列表格是二次函数的自变量工与函数值；的对应

值，判断方程6+d=0a,b.u为常数)的一个解x的范围是()

6.176.186.196.20

jr-ax2+bx+c-0.03-0.010.020.M

A.6<*<617B.617Vx<618C.6.)8<x<6.)9

D.6.19<x<6.20

答案：c

的.（2008江苏镇江）福娃们在一起探讨研究下面的题目：

函数，=（，为常数）的图象如左图，

如果x=。时，><°；那么x=4-1时，函数值（）

A1/<0B.。<八脆

c.y>MD.>=*

参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（）

贝贝：我注意到当x=O时，y=w>0.

晶晶：我发现图象的对称轴为x=工.

2

欢欢：我判断出巧马.

迎迎：我认为关键要判断的符号.

妮妮：%可以取一个特殊的值.

答案：c

20.（2008湖北仙桃等）如图，抛物线了=++加+«“>8的对称轴是直线1=：,且

经过点F（3,0）,则a-b+c的值为（）

A.0B.-1C.1D.2

答案：A

21.（2008齐齐哈尔）.对于抛物线>=-：（>一歹+3,下列说法正确的是（）

A.开口向下，顶点坐标（印）B.开口向上，顶点坐标（狎

c.开口向下，顶点坐标（-53）D.开口向上，顶点坐标（-*）

答案：A

22.（2008齐齐哈尔）.对于抛物线尸=-g（x-9,+3,下列说法正确的是（）

A.开口向下，顶点坐标B.开口向上，顶点坐标（*）

C.开口向下，顶点坐标（一%》D.开口向上，顶点坐标（・5与

答案：A

二、填空题

1.（2008湖北黄冈）若点FQJt-D在第一象限，则之的取值范围是；直线

经过点。,可，贝廿=；抛物线1y=绘■犷+3的对称轴为直

线.

答案：K>1;1;X=2

2.（2008年天津市）已知抛物线了・三-打-3,若点F（-2,5）与点工关于该抛物线的对

称轴对称，则点C的坐标是.

答案：（4,5）

3.（2008年天津市）已知关于x的函数同时满足下列三个条件：

①函数的图象不经过第二象限；

②当><2时，对应的函数值7<0；

③当x<2时，函数值y随x的增大而增大.

你认为符合要求的函数的解析式可以是：（写出一个即可）.

答案：y-x-2（提示：答案不惟一，如+5r-6等）

4.（2008年大庆市）抛物线尸=-3?+1的顶点坐标是.

答案：（0,1）

5.（2008年四川省南充市）根据下面的运算程序，若输入工=1-4时，输出的结果

答案：-I—"^5

6.（2008年吉林省长春市）将抛物线〉=a/+m+。（dWQ）向下平移3个单位，再向左

平移4个单位得到抛物线_y=-2?-4x+5,则原抛物线的顶点坐标是。

答案：（3,10）

7.初三数学课本上，用“描点法”画二次函数尸=H'+bx+c的图象时，列了如下表格:

7・・・1_■-1012・・・

-21

V・・・・・・

-6-一■t-2--2

222

根据表格上的信息回答问题：该二次函数尸="+区+c在x=3时，3=.

答案：7

8.（2008江西南昌）将抛物线尸=-3/向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式

是.

答案：y=-3x2+l

9.（2008山西省）二次函数y・x2+2x-3的图象的对称轴是直线。

答案：r=-l

10.（2008山西太原）抛物线,=2』-4*+3的顶点坐标是。

答案：（1,1）

11.（2008湖北襄樊）如图7,一名男生男生铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距

离x（单位:m）之间的关系是y=-+：”+方则他将3将推出的距离是.

答案：10

12.（2008河南实验区）如图是二次函数户+2图像的一部分，该图在A轴右侧与

X轴交点的坐标是

答案：（1,0）

13.（2008湖北省咸宁）抛物线了-以’♦女..与X轴只有一个公共点，则的

值为.

答案：8

13.（2008年白银）抛物线y=x，+x-4与y轴的交点坐标为.

答案:（0,-4）

14.（2008甘肃兰州）在同一坐标平面内，下列4个函数①/=置*+127,②/=2/+3,

③④,=17-1的图象不可能由函数尸=27+1的图象通过平移变换、轴

2

对称变换得到的函数是（填序号）.

答案：④

三、简答题

1.（2008淅江宁波）如图，Y/88中，数=4,点二的坐标是（0«8）,以点C*为顶点的抛

物线p=经过*轴上的点4B-

（1）求点4属C的坐标.

（2）若抛物线向上平移后恰好经过点3,求平移后抛物线的解析式.

解：(1)在Y/fiCZ)中，•且CD=3=4,

点C的坐标为(43)............................................................................................................1分

设抛物线的对称轴与工轴相交于点三，

则切=而=2,.............................................................2分

点48的坐标为^(2必，取即..............................................................................4分

(2)由抛物线1y=tfx'+b*+c的顶点为C。商，

可设抛物线的解析式为尸=d(x-4)i+8,........................................................................5分

把取加)代入上式，

解得。=-2..........................................................................................................................6分

设平移后抛物线的解析式为尸=-2(x-4)'+8+Jt

把(08)代入上式得上=32...................................................................................................7分

平移后抛物线的解析式为,=-2(x-%：+40.............................................................8分

即”-2/+16X+8.

2.(2008湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如

果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12,点4、B、C、。分别是''蛋圆”与坐标轴的交点，已知点。的坐标为(0,-3),

A8为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.

(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点。的“蛋圆”切线的解析式.

A0

OM

解:(D解法1：根据题意可得：A(-1,0),8(3,0)；

则设抛物线的解析式为j-.x+fXx-习(40)

又点0(0,-3)在抛物线上，；.a(0+l)(0-3)=-3,解之得：a=\

.".y=x'_2x-3......................................................................................................................3分

自变量范围：TWxW3.................................................4分

解法2：设抛物线的解析式为p-caP+M+c(aWO)

根据题意可知，A(-1,0),8(3,0),。(0,-3)三点都在抛物线上

-0la>1

•:%.功.e・0，解之得：

/•y=Z-2x-3...............................3分

自变量范围：TWxW3.....................4分

(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连结CM,

在放△MOC中，CM=2,.,.ZCM6>=60°,OC=

在中，'：OC=2,ZCM0=60°,：.ME=4

.•.点C、E的坐标分别为（0,万）,（-3,0）6分切线CE的解析式为y=^yK+58分

⑶设过点。（0,-3）,“蛋圆”切线的解析式为：产履-3（2六0）..........................9分

kx-3

由题意可知方程组只有­组解

xJ-2x-3

即h-3=/有两个相等实根，，k=-2...........................11分

过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3...............................12分

3.（2008浙江杭州）在直角坐标系g中，设点/（0.。，点5）.平移二次函数

的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与工轴相交于AC两点

（|CW|<|OC|）.连接M

（1）是否存在这样的抛物线广，使得|Q4=|CWBQC|?请你作出判断，并说明理由；

（2）如果且tanN4J0=2,求抛物线F对应的二次函数的解析式.

2

解：（1）这样的抛物线F是不存在的。

假定这样的抛物线F存在，因为顶点为Q,而且F是由,=■«：平移的得到的，所以F的关

系式为>=4&-。2+8,化筒得y=-b?+&\-9+3

根据二次函数和一元二次方程的关系，函数y图像与x轴的交点B.C的横坐标等于方程

-b:'+8=0的两个根，设这两个根为七,X2,则xrx2=£=^—―=/>-—>

Jtt

I0AI2=t\IOB|•|0CI=ta--,若二者相等的话，b=0,这样Q就在x轴上，抛物线

t

F不可能与x轴有两个交点B,C.和假定产生矛盾，所以这样的抛物线F是不存在的。

（2）VAQ/7BC

•••Q点纵坐标和A点纵坐标相同。

即Q（t,t）

.

TtanNABO=1.0A=t

AB2

.\0B=----------二T

由乙WO3

F是由y=-lxi平移得到，顶点为Q（t,t）,所以关系式为>=•%>（•"'+£

22

把B点坐标（,，0）代入关系式得，-t（-t-O1+Z=O,解得3=0（舍去），

6=-3（舍去），t?=3,把1=3代入原关系式得抛物线F的关系式为尸=-玄'+18*一方

4.（2008年浙江省绍兴市）定义［夫摩］为一次函数尸=内+g的特征数.

（1）若特征数是［2无-2］的一次函数为正比例函数，求上的值；

（2）设点d8分别为抛物线尸=口+可a-2）与左丁轴的交点，其中《»>0,且△03

的面积为4,二为原点，求图象过4B两点的一次函数的特征数.

解：（1）e特征数为［Z*-2］的一次函数为y・2x+t-2,

:.*-2=0,

：.k=2.

（2）W抛物线与工轴的交点为4（F四，4120），

与：轴的交点为弱白-■遍.

若&®M=4，则1»*（^*=4，i»=2；

2

若山卬=4，则$挈*»=4,m=2.

当用=2时，满足题设条件.

此时抛物线为jr=（x+g（X-2）.

它与M轴的交点为（-263），

与：轴的交点为（6-4）,

一次函数为j»=-2x-4或1y=2»-4,

特征数为［-2-4］或［2-4J.

5.（2008年四川巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线

满足抛物线其中；（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离,

55

结果球离球洞的水平距离还有2m.

（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.

（2）请求出球飞行的最大水平距离.

（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路

线应满足怎样的抛物线，求出其解析式.

图13

解：⑴y-----x

55

=--(z-4)2+—...............................................................................................1分

55

抛物线开口向下，顶点为(♦£)，对称轴为1=4......................3分

(2)令y=0,得:

1^0

---•-X=0........................................................................................................4分

55

解得：jq=0>勺=8..........................................................................................5分

球飞行的最大水平距离是8m.............................................6分

(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m

抛物线的对称轴为x=E,顶点为(A?)...................................7分

设此忖对应的抛物线解析式为,=+y.......................................................8分

又Y点在此抛物线上，-25a+£=0

6.(2008年江苏省南通市)已知点A(-2,-C)向右平移8个单位得到点A',A与A'

两点均在抛物线尸=上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为一6,求这条抛

物线的顶点坐标.

解：由抛物线1y="+Ax+。与y轴交点的纵坐标为一6,得c=-6.

:.A(-2,6)，点A向右平移8个单位得到点A'(6,6)

•.•A与A'两点均在抛物线上，

4>-26-6=60=1

,解这个方程组，得

3&14-66-6=6b=-4

故抛物线的解析式是了=/-4*-6=口一为2-10

•••抛物线顶点坐标为(2,-10)

7.(2008年山东省枣庄市)在直角坐标平面中，。为坐标原点，二次函数

7--X1的图象与y轴交于点4,与x轴的负半轴交于点8,且%

(1)求点A与点B的坐标；

(2)求此二次函数的解析式；

(3)如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标.

解：(1)由解析式可知，点A的坐标为(0,4)...............1分

,:Sa=lx80x4=6,/.80=3.

...点B的坐标为(-3,0).......................2分

(2)把点8的坐标(-3,0)代入了】如+4,得

+(*-0*(-3)+4=0.解得上..............4分

所求二次函数的解析式为7..............5分

(3)因为△43尸是等腰三角形，所以

①当AB=A尸时，点P的坐标为(3,0).......................6分

②当48=8P时，点P的坐标为(2,0)或(-8,0).................8分

③当AP=8P时，设点P的坐标为(x,0).根据题意，得+

解得X■工.二点户的坐标为(［，0).....................10分

6f

综上所述，点P的坐标为(3,0)、(2,0)>(-8,0)、(-,0).

6

8.(2008河南)如图，直线y=-±x+4和x轴、y轴的交点分别为B,C。点A的坐标是(一

3

2,0)

(1)试说明AABC是等腰三角形；

(2)动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,

运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中•个动点到达终点时，它们都停止运动,

设点运动t秒时，^MON的面积为s。

①求s与t的函数关系式；

②当点M在线段0B上运动时;是否存在s=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存

在，说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值。

解：(1)将y=0代入y=-'x+4,得到x=3,.•.点B的坐标为(3,0)；

3

4

将x=0,代入y=-----x+4,得到y=4,.,.点C的坐标为(0,4)................2分

3

在RtZ\OBC中，V0C=4,0B=3,；.BC=5。

又A(-2,0),/.AB=5,；.AB=BC,r.△ABC是等腰三角形。............4分

(2)VAB=BC=5,故点M、N同时开始运动，同时停止运动。

过点N作ND±x轴于D,

4

贝ND=NB・sinN0BC=：4，

5

①当0<t<2时（如图甲）

0M=2—t,

••s」咏•题=1(2T)•义

225

=-2产................7分

55

当2Vt<5时(如图乙)，0M=t-2,

114

：.s=-OM9MD-^-2)9-1

225

（注：若将t的取值范围分别写为04W2和2WtW5,不扣分）

②存在s=4的情形。

当s=4时、一/---1=4

55

解得t尸说Jil,tz=i-JH秒。....................io分

③当MNJ_x轴时，AMON为直角三角形，

3

MB=NB.COSZMBN=-<,又MB=5-t.

5

当点M,N分别运动到点B,C时,ZkMON为直角三角形,t=5.

故aMON为直角三角形时，t=至秒或t=5秒........12

8

9.（2008湖北十堰）已知抛物线%（"与工轴的一个交点为4-1,0）,

与y轴的正半轴交于点C.

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与工轴的另一个交点B的坐标；

⑵当点C在以A6为直径的0P上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点可，使得以点“和⑵中抛物线上的三点A、B、C

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，

请说明理由.

解：⑴对称轴是直线：1=：,点8的坐标是(3,0).

⑵如图，连接闱••,点小■的坐标分别是A(-l,0)、B(3,0),

：.AB=\.AR7--JW--X4-2

22

在RtZl尸况'中，VCP=/M-(24=2-1=1,

:.OC-JK-W-72*-I*-点

当・0时，

-2a+/=G

••<1=.

3

»_£+雪+6

33

理由：如图，连接BC.设点必的坐标为

①当以力。或回为对角线时，点版在x轴上方，此时CM//AB,且CM=AB.

由⑵知，48=4,；.|x|=4,y=OC=/.

.•./=土4....点〃的坐标为M(4,囱或(T病.

②当以为对角线时，点"在x轴下方.

过"作于小则乙职方=/40C=9O°.

:四边形AMBC是平行四边形，奶，£ACHMB.

:./CAg/MBN.：.AAOC^ABNM.:.B4Ag3M4cg

,：0B=3,...卅3-1=2.

，点材的坐标为wz-旃.

综上所述，坐标平面内存在点斑，使得以点A、8、C、M为顶点的四边形是平行四边形.其

坐标为席式4.#式Y.#),MN

10.(2008湖南怀化)如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O,且与工轴I、轴分

别相交于8(0,-6)两点.

(1)求出直线AB的函数解析式；

(2)若有一抛物线的对称轴平行于；•轴且经过点M,顶点C在。M上，开口向下，且

经过点B,求此抛物线的函数解析式；

(3)设(2)中的抛物线交工轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P,使得

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

g）13

解：(1)设AB的函数表达式为尸=

0=-»+*,.

•.止&0)网OfA

-6=A

b=-6.

3

...直线AB的函数表达式为y=-2jr-6.

4

(2)设抛物线的对称轴与。M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对

称轴与工轴相交于点N,在直角三角形AOB中，口了+*=旧+6'=10.

因为。M经过0、A、B三点，且乙K2=9O^二J1£力。M的直径，.•.半径MA=5,...N

为AO的中点AN=NO=4,.•.MN=3，CN=MC-MN=5-3=2,：.C点的坐标为（42）.

设所求的抛物线为Y=a?+ix4-c

，所求抛物线为,=-l?-4x-6

2

（3）4--xa-4z-6=Q得D、E两点的坐标为D（-6,0）、E（-2,0）,所以DE=4.

2

又AC=2下,=4乐直角三角形的面积£3=・4月=20.

2

假设抛物线上存在点?（XJ）使得SU==・20二7=±1

当尸=时.x=y士框当y=-时，x=y：t#,故满足条件的存在.它们是

4Y+6l）H（Y-£lM（Y+跖T）•乌（T-医T）

11.（2008四川广安）如图，已知抛物线尸=/+»x+c经过点（1,-5）和（-2,4）

（1）求这条抛物线的解析式.

（2）设此抛物线与直线>=/相交于点4,B（点B在点A的右侧），平行于:•轴的直线

x=*t（0<«•<J5+1）与抛物线交于点M,与直线1y=*交于点M交才轴于点尸，求

线段历N的长（用含黑的代数式表示）.

（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM,是否存在”的值，使△8OM的面积S最大？

若存在，请求出E的值，若不存在，请说明理由.

解：⑴由题意才解得b=-2,C=-4

1-2b+c-0

...此抛物线的解析式为：y=x2-2X-4

2(2)由题意得,

Iv=x-2x-4

.•.点B的坐标为(4,4)

将x=m代入y=x条件得y=m

.••点N的坐标为(m,m)

同理点M的坐标为(m,m2—2m—4),点P的坐标为(m,0)

/.PN=ImI,MP=lm2-2m-4l

0<m</+1

；.MN=PN+MP=-iw1+3M+4

⑶作BC_LMN于点C,贝|JBC=4—m,OP=m

I131

S=-MNOPUHBC=2(-^++4)=-2(E-2/+12上

2222

V-2<0

3

当*=±时，s有最大值

2

12.(2008湖北荆门)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴匕与)，轴的交点为B(0,

I)，且6=-4ac.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在说

明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点P的坐标；

(3)根据(2)小题的结论，你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?

解：⑴由抛物线过8(0,1)得c=l.

又h=~4ac,顶点,0),

2a

==2c=2.二加2,0).

2a2a

将/点坐标代入抛物线解析式，得4a+2护1=0,

=L,b=-l.

故抛物线的解析式为y=Lx2-x+l.

-r

另解：由抛物线过8(0,1)得c=l.又4ac=0,b=-4acf/.b--1.

1,,1i

a--,故y=—x.-x+1.

(2)假设符合题意的点C存在，其坐标为C(x,y),

作CO_Lx轴于。，连接AB、AC.

VA在以BC为直径的圆上，，ZBAC=90°.

，△AOBs/XoxA.

：.OB・CD^OA・AD.

即l-y=2(x_2),y=2x~4.

y-2x-4.

解得X|=1O,%2=2-

，符合题意的点C存在，且坐标为(10,16),或(2,0).

••,P为圆心，为3C中点.

当点C坐标为(10,16)时，取。。中点P1,连PPi,则尸修为梯形OBCD中位线.

；.PPl=L{OB+CD)=ll.'：D(10,0),：.P\(5,0),；.P(5,?).

当点C坐标为(2,0)时，取中点尸2，连PP],则PP2为△0A8的中位线.

：.PP2=-OB=L.YA(2,0),.•.P2(l,0),：.P(\,L).

222

故点尸坐标为(5,旦)，或(1,L).

2f

(3)设8、P、C三点的坐标为8(xi，x),P(x2,y2),C(x3,y3),山(2)可知：

O■-J,---

13.(2008北京)在平面直角坐标系9*•中，抛物线＞='+坛+C与r轴交于人&两点

(点三在点三的左侧)，与；轴交于点二，点三的坐标为将直线＞=h沿；,轴向

上平移3个单位长度后恰好经过我C两点.

(1)求直线3c及抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为二，点F在抛物线的对称轴上，且求点F的坐

标；

(3)连结8,求/OO4与NOCQ两角和的度数.

解：⑴Qy.R沿;『轴向上平移3个单位长度后经过了轴上的点。二C(P国.

设直线髭的解析式为，■奴+3.Q^O）在直线3C匕

二柒+3=0.解得上=_l.直线8c的解析式为尸=_才+3

f9+3fe+c=aa=T

，抛物线，=#+Ax+c过点属C,-［。=又解得11。二%

抛物线的解析式为尸=/-4*+3.

（2）由>=3-4*+3可得D（a-D,加0）：.QB=3,OC=3,04=1,AB=2

可得是等腰直角三角形.二NOAC=45・，白.

二AF=-AB=\

如图1,设抛物线对称轴与1轴交于点F,2

过点二作工/-LBC于点*^1ABB=90*.

可得BE-A8—盘1，CB—2^2.

在△幽7与、相？中，乙胸0=4尸f=90*,&CR=^APP,

.空生衣2金

二△A5CS△蔺p••方=丽~=~PF,解得PF=2.

'点产在抛物线的对称轴上，点F的坐标为8）或口-2）.

⑶如图2,作点“为关于3轴的对称点三'，则题"期.

连结，C.AD,可得*7=4C=M,£OCJt=£OCA

由勾股定理可得由=20,JTOP=10,又,C9=10,是等腰直角三角形,

ZCfD=9（r,

二/Z）Gf=45*.二NOGC+N82）=45*.二NOCM+NOCZ）=45"

即,g与NOS两角和的度数为45*.

14.（08厦门市）已知：抛物线,=/+。-»/+。经过点气一工-2«0・

（1）求A+。的值；

（2）若b=3,求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若&>3,过点？作直线R1_L尸轴，交：-轴于点S,交抛物线于另一点E,且

BP•IPA,求这条抛物线所对应的二次函数关系式.(提示：请画示意图思考)

解：⑴依题意得：(-『+@-D(-D+C=-26,...............................2分

二“c=-2....................................................................................................3分

(2)当A=3时，c=-5)................................................................................4分

r.y=xJ+2x-5=(x+Da-6

抛物线的顶点坐标是(-L-6........................................................................6分

(3)当B>3时，抛物线对称轴*=-匕口<-1,

2

对称轴在点F的左侧.

因为抛物线是轴对称图形，代-1-26)且3P■羽.

：.5(-3,-26)..........................................................9分

.-.-*21=-2.

2

7.6=5................................................................10分

又A+c=—2,：.c=-7.................................................................................11分

抛物线所对应的二次函数关系式尸=/+4x-7.............................................12分

解法2：(3)当3>3时，X=-U<-1,

2

对称轴在点F的左侧.因为抛物线是轴对称图形，

Q?(-l,-2b)，且6P=29二次一二一2M.........................................................9分

二(印一期-④H=-26............................................................................10分

又Sz=-2,解得：b=5.c=-7..............................................11分

这条抛物线对应的二次函数关系式是h=/+4x-7.......................................12分

解法3：(3)Q8+<=—2，二c=—b—2，

二尸=#+0-Dx-S-2....................................................................................7分

x轴，二，+®-l)xT-2=-2£>...............................................................................8分

即：?+(*-Dx+6-2=0

解得：jq=-L/=-(5-2),即〃=-®-2