2020年中考数学一轮复习基醇点及题型专题25锐角三角形含解析

PAGEPAGE35专题25锐角三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)对边对边【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°1锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A为锐角））：sinA=cos（90°-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。cosA=sin（90°-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。正弦、余弦的增减性：当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，【考查题型汇总】考查题型一利用锐角三角函数概念求三角函数值1．（2018·南开大学附属中学中考模拟）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=，AD=，cosA===，故选D．2．（2019·福建中考模拟）如图，在中，，，，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC=，∴sinA=.故选：A．3．（2017·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是()A．2 B． C． D．【答案】B【解析】根据题意可由点的坐标得到其到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，因此可根据正切的意义，可得tanα=.故选：B4．（2019·天津市红光中学中考模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题解析：由中,得由得故选D.5．（2019·湖南中考模拟）中，，若，，下列各式中正确的是

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，，，

，

A.，故此选项错误；

B.，故此选项错误；

C.，故此选项正确；

D.，故此选项错误．

故选：C．考查题型二利用锐角三角函数概念求线段的长1．（2018·辽宁中考模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____．【答案】4【详解】∵∠C=90°，AB=6，∴，∴BC=4.2．（2019·江苏中考真题）如图，在中，，，，则的长为________．【答案】【详解】过作于点，设，则，因为，所以，则由勾股定理得，因为，所以，则．则．3．（2015·上海中考模拟）在中，，如果，，那么；【答案】4【解析】因为在中，，所以,所以.4．（2019·广西中考模拟）Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于_____．【答案】8cm【详解】在中，，，则.故答案为.考查题型三通过特殊角的三角函数值进行计算1．（2019·四川中考模拟）在△ABC中，（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝_____．【答案】75°．【详解】解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，∴cosA﹣＝0，tanB﹣1＝0，则cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75°．2．（2019·湖北中考真题）计算___________．【答案】.【详解】原式．故答案为：．3．（2019·湖北中考真题）计算：______．【答案】0【详解】==1-1=0，故答案为：0.4．（2019·湖北中考模拟）2﹣1﹣tan60°+（π﹣2011）0+＝_____．【答案】-1【详解】原式＝故答案为：﹣1．5．（2018·四川中考真题）已知|sinA﹣|+=0，那么∠A+∠B=．【答案】90°【详解】解：由题意可知：sinA=，tanB=，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠A+∠B=90°故答案为：90°6.（2018·湖北中考真题）计算：×2﹣2﹣|tan30°﹣3|+20180=_____．【答案】【详解】原式=2×﹣|﹣3|+1=﹣2+1=﹣，故答案为：﹣．考查题型四等角代换法求锐角三角函数1．（2019·浙江中考模拟）如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则∠APC的正切值为_____．【答案】3【详解】解：如图取格点E，连接EC、DE．设小菱形的边长为1．由题意：EC∥AB，∴∠APC=∠ECD，∵∠CDO=60°，∠EDB=30°，∴∠CDE=90°，∵CD=2，DE=3，∴tan∠APC=tan∠ECD=DECD=3故答案为322．（2019·杭州市余杭区乾元中学中考模拟）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为______.【答案】2【详解】如图：，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=12CD，BF=12BE，CD=BE，BE∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=12CF=1在Rt△PBF中，tan∠BPF=BFPF∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2．

故答案为：2考查题型五通过参数法求锐角三角函数值1．（2019·山东中考模拟）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵点E是边BC的中点，∴BE=BC=AD，∴△BEF∽△DAF，∴，∴EF=AF，∴EF=AE，∵点E是边BC的中点，∴由矩形的对称性得：AE=DE，∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，∴DF=x，∴tan∠BDE=.故选A．2．（2019·山西中考模拟）在中，∠C=90°，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA==，设BC=3x，则AB=5x，∵BC2+AC2=AB2∴AC=4x．

∴tanB=＝＝．

故选D．3．（2016·湖南中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．4．（2019·四川中考模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为()A． B． C． D．【答案】A【详解】sinA＝设三边分别为BC=3x，AC=4x，AB=5xtanB=故选A考查题型六构造直角三角形求锐角三角函数值1．（2019·广西中考模拟）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】连接CD，如图：，CD=，AC=∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==．故选D．2．（2019·湖北中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，过作于，则，＝5．．故选D．3．（2019·浙江中考模拟）如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：连接CD（如图所示），设小正方形的边长为，∵BD=CD==，∠DBC=∠DCB=45°，∴，在中，，，则．故选B．4．（2018·江西中考真题）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于(1,),两点，点在第四象限，∥轴，.(1)求的值及点的坐标；(2)求的值.【答案】（1），；（2）2.【详解】（1）∵点(1，)在上，∴=2，∴(1，)，把(1，)代入得，∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，∴两点关于原点中心对称，∴；（2）作BH⊥AC于H，设AC交轴于点D，∵，，∴，∵∥轴，∴∥轴，∴，∴，∴.知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系：1.勾股定理（a22.∠A+∠B=90°3.sinA=∠A所对的边斜边=4.cosA=∠A所邻的边斜边5.tanA=∠A所对的边邻边【考查题型汇总】考查题型七解直角三角形的方法1．（2018·甘肃中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝.(1)求AC和AB的长；(2)求sin∠BAD的值．【答案】（1）AC=6，AB=10；（2）sin∠BAD=．【详解】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∵tanB＝＝，∴设AC＝3x、BC＝4x，∵BD＝2，∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，∵∠ADC＝45°，∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，解得：x＝2，则AC＝6、BC＝8，∴AB＝＝10；（2）作DE⊥AB于点E，由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），∴DE＝3a＝，∵AD＝＝6，∴sin∠BAD＝＝．2．（2018·广水市广办中心中学中考模拟）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．【答案】(1)30°;(2)60°.【解析】将a+b=2+2两边平方，整理得ab=4，又因为a+b=2+2，构造一元二次方程得x2﹣（2+2）x+4=0，解得x1=2，x2=2则（1）sinA=时，锐角A的度数是30°，（2）sinA=时，锐角A的度数是60°，所以∠A=30°或∠A=60°．考查题型八解斜三角形方法1．（2019·新疆中考模拟）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．【答案】8+6．【详解】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，在Rt△ACH中，tanA＝＝，∴AH＝8，∴AC＝＝10，2．（2013·湖南中考真题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）。（2）【解析】（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1。在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴。∴。∴。（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=。∴DE=CE﹣CD=。∴。3．（2012·上海中考模拟）已知：如图，在中，，，．求：（1）的面积；（2）的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）作AH⊥BC，垂足为点H．在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，∴BH=3，AH=3，∴S△ABC=×8×3=12，（2）∵BC=8，BH=3，∴CH=5．

在Rt△ACH中，∵AH=3，CH=5，∴AC=2．∴cosC=．考查题型九利用解直角三角形相关知识解决视角相关问题1．（2019·四川中考真题）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼处，测得起点拱门的顶部的俯角为，底部的俯角为，如果处离地面的高度米，求起点拱门的高度.（结果精确到米；参考数据：，，）【答案】起点拱门的高度约为米.【详解】过A作CD垂线，垂足为E，如图所示.则四边形DEAB是矩形；∴DE=AB=20在Rt中，∠EAD=45°，AE=DE=20在Rt中，CE=AE·tan35°=14，∴CD=DE-CE=20-14=6答：起点拱门的高度约为6米.2．（2019·天津中考模拟）北京时间2019年3月10日0时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将中星卫星发射升空，卫星进入预定轨道.如图，火星从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面雷达站处测得的距离是，仰角为；1秒后火箭到达点，测得的仰角为.(参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0.905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02)(Ⅰ)求发射台与雷达站之间的距离；(Ⅱ)求这枚火箭从到的平均速度是多少(结果精确到0.01)？【答案】(Ⅰ)发射台与雷达站之间的距离约为；(Ⅱ)这枚火箭从到的平均速度大约是.【详解】(Ⅰ)在中，，≈0.74，∴.答：发射台与雷达站之间的距离约为.(Ⅱ)在中，，∴.∵在中，，∴.∴.答：这枚火箭从到的平均速度大约是.3．（2019·合肥市第四十二中学中考模拟）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：1.414，1.732）【答案】（1）点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）宣传牌CD高约2.7米.【详解】解：（1）过B作BG⊥DE于G，在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=，∴∠BAH=30°∴BH=AB=5（米）.答：点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）由（1）得：BH=5，AH=5，∴BG=AH+AE=5+15.在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5+15.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，∴DE=AE=15.∴CD=CG+GE﹣DE=5+15+5﹣15=20﹣10≈2.7（米）.答：宣传牌CD高约2.7米.4．（2019·辽宁中考模拟）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）.已知AB=80m，DE=20m，求障碍物B，C两点间的距离.（结果保留根号）【答案】障碍物B，Ｃ两点间的距离约为(60-20)m.【详解】解：过点D作

DF⊥AB

于点F，过点C作

CH⊥DF

于点H，如图则DE=BF=CH=20m，在直角三角形ADF中，AF=AB-DE=80-20=60m，∠ADF=45°，所以DF=AF=60m，CE==20m.在直角三角形CDE中，DE=20m，∠DCE=30°.所以BC=BE-CE=(60-20)m答：障碍物B，Ｃ两点间的距离约为(60-20)m.考查题型十利用解直角三角形相关知识解决方向角相关问题1．（2019·河南中考模拟）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC=840m，BC=500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【答案】点O到BC的距离为480m．【详解】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON=MC，OM=NC，设OM=x，则NC=x，AN=840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN=45°，∴ON=AN=840﹣x，则MC=ON=840﹣x，在Rt△BOM中，BM==x，由题意得，840﹣x+x=500，解得，x=480，答：点O到BC的距离为480m．2．（2019·四川中考模拟）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求此时轮船与小岛P的距离．【答案】此时轮船与小岛P的距离是7海里．【详解】过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝7（海里）．答：此时轮船与小岛P的距离是7海里．3．（2019·安徽中考模拟）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行20海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向.(参考数据：≈1.732.)(1)若小岛A到这艘轮船航行路线BC的距离是AD，求AD的长；(2)已知在小岛周围17海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险?【答案】（1）AD≈17.32（海里）；（2）轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．【详解】（1）如图所示．则有∠ABD＝30°，∠ACD＝60°．∴∠CAB＝∠ABD，∴BC＝AC＝20海里．在Rt△ACD中，设CD＝x海里，则AC＝2x，AD＝x，在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2x，BD＝＝3x，又∵BD＝BC+CD，∴3x＝20+x，∴x＝10．∴AD＝x＝10≈17.32（海里）；（2）∵17.32海里＞17海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．考查题型十一利用解直角三角形相关知识解决坡角、坡度相关问题1．（2015·湖南中考模拟）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3A．15mB．203m【答案】C【解析】试题分析：∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：3∴AC=BC÷tanA=103∴AB=AC故选C．2．（2019·湖北中考真题）如图，拦水坝的横断面为梯形，坝高，坡角，，求的长．【答案】m【详解】过A点作于点，过作于点，则四边形是矩形，有，坡角，，，，答：的长．3．（2019·山东中考真题）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长．（结果保留根号）【答案】斜坡的长是米．【详解】∵，，坡度为，∴，∴，∴，∵，∴，∵，斜坡的坡度为，∴，即，解得，，∴米，答：斜坡的长是米．考查题型十二利用解直角三角形相关知识解决高度问题1．（2019·吉林中考模拟）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【答案】（1）12；（2）32米．【详解】解：（1）如图，作AF⊥BC交BC于点F，交DH于点E，由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝，∴tan22°＝，即，解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米；（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，∴sin22°＝，∴AB≈12÷=32，即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．2．（2015·湖南中考真题）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．（1）求点B到AC的距离；（2）求线段CD的长度．【答案】（1）30；（2）15+153【解析】(1)、过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30m，(2)、cosA=，∴AE=60×=30m在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，∴BE=CE=30m，∴AC=AE+CE=（30+30）m在Rt△ADC中，sinA=，则CD=（30+30）×=（15+15）m．3．（2019·浙江中考模拟）小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳