历年试题-高等代数

PAGEPAGE11河南大学2001年硕士研究生招生入学考试高等代数..一、（10）设是复数域上的阶方阵，，是的最小多项式，，求证：（1）秩秩，（2）可逆［注是非零多项式］.二、(10)设均为三维向量,令,已知行列式,求矩阵和的差的行列式.三、(10)已知,三阶非零矩阵满足,试就参数的取值情况,讨论矩阵的秩.四、(10)为何值时,线性方程组有唯一解、无解和无穷解?在有无穷解时求其通解.五、(15)设都是阶是对称矩阵,证明:如果都是正定矩阵,那么也是正定矩阵.六、（15）设都是数域上的线性空间的子空间，如果，有.证明:或.七、设是三维向量空间的一组基,线性变换为,设为在基下的矩阵,试给出可逆矩阵及,使.八、(15)设是欧氏空间中的一单位向量,定义线性变换,证明:是第二类正交变换.河南大学2002年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(10)设分块矩阵.其中为阶可逆矩阵,为维行向量,为常数,是的伴随矩阵,为阶单位阵.(1)计算;(2)证明:可逆的充分必要条件是.二、(10)已知.问(1)取何值时,不可能由线性表示?(2)取何值时,可由线性表示?并写出此表达式.三、(10)设矩阵，且的伴随矩阵有特征值，属于的特征向量为，求及的值.四、(10)设为阶方阵,为矩阵,且的秩为.证明:.五、(15)设为三阶实对称矩阵,的特征值是.属于的特征值的特征向量分别是.求(1)求的属于特征值的特征向量;(2)求矩阵及正交阵使是对角阵.六、(15)设为一个级实对称矩阵,而的前个顺序主子式都大于零,证明:二次型是半正定的,其中.七、(15)设是线性空间的个非平凡的子空间.证明:中至少有一个向量不属于中的任一个.八、(15)设是维线性空间上的线性变换,且,证明:(1)是的值域与的核的直和;(2)的特征多项式,是的维数.河南大学2003年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(15)是数域上维线性空间,是上的线性变换.且,而.证明:是的一组基,并求在这组基下的矩阵.(表示单位变换)二、(15)设.求的极大线性无关组,并用极大线性无关组表示其它向量.三、(15)设为不可约多项式,,则是的重因式而.四、(15)设是阶方阵,证明:秩秩秩.五、(15)设是维线性空间上的线性变换的互不相同的特征值,是相应的特征子空间.证明:是直和.六、三阶实对称矩阵的特征值是.属于的特征向量为,求矩阵.七、(15)复系数多项式,是阶复矩阵.证明:可逆的充分必要条件是的根都不是的特征值.八、(15)是阶实矩阵.证明:与相似.(以下非代数题目,略去)河南大学2004年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(15)设为整系数多项式,且和都是整数.试证明无整数根.二、(15)设，证明:.三、(10)设分别是矩阵,是矩阵.证明:(1)矩阵方程有解的充分必要条件是;(2)矩阵方程的解什么时候唯一.四、(10)是阶方阵,是的最小多项式,是的特征多项式.证明:的充分必要条件是.五、已知是线性空间中的线性相关组,但其中任意个向量必线性无关,若,则全不为零或全为零.六、(10)设是阶正交矩阵,且.证明:一定存在非零向量,使.七、(15)设是欧氏空间中一单位向量，定义.证明:(1)是正交变换,这样的正交变换称为镜面反射;(2)是第二类的;(3)若维欧氏空间中,正交变换以作为一个特征值,且属于特征值的特征子空间是维的,则是镜面反射.八、(10)设,证明:可逆,充分必要条件是可逆.试用及的逆矩阵表示的逆矩阵.(以下非代数题目,略去)河南大学2005年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(10)证明:.二、(10)计算阶行列式的值,其中.三、(15)讨论取何值时方程有解,并求解.四、(15)设是二阶矩阵,且满足:,为二阶单位阵,(1)问是否可逆?说明理由.(2)能否相似于对角阵?为什么?五、(10)设,其中均为阶方阵.证明:(1)可逆可逆;(2)当可逆时,求.六、(10)设是阶实对称矩阵,且是正定矩阵.证明:存在实可逆矩阵,使为对角矩阵.七、(10)求线性空间的维数于一组基.是由的全体实系数多项式所生成的线性空间,其中.八、(10)在实数域上全体矩阵组成的线性空间中,取,定义线性变换如下.(1)证明:是上的线性变换;(2)求的核的维数与一组基.九、(10)证明:实对称矩阵的特征值全是实数.河南大学2006年硕士研究生招生入学考试高等代数一、（20）证明:如果,则.二、（20）计算阶行列式,其中三、（20）已知齐次线性方程组同解,试确定的值.四、（20）设,且秩秩,证明:存在阶可逆矩阵,使.五、（20）设,定义上的变换如下:.(1)证明是上的线性变换;(2)求;(3)证明;(4)求的最小多项式;(5)求的初等因子.六、（20）已知是的一组基,为矩阵,设,证明:秩秩.七、（20）设是欧氏空间的基,的度量矩阵为,令(1)求的标准正交基;(2)求的维数和一组基.八、（10）设均为阶实对称矩阵,且正定,若的特征根全大于零,证明:正定.河南大学2007年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(20)证明:,其中为正整数.二、(20)计算行列式的值.三、(20)证明:矩阵半正定的充分必要条件是存在实矩阵,使.(其中表示的转置)四、(10)设为阶方阵,证明:若,则中任意两行(或两列)对应元素的代数余子式成比例.五、(15)设分别是阶矩阵,证明:与同解的充分必要条件是秩秩.六、(15)设的两个子空间和为:求,的维数与一组基.七、(20)求矩阵的若当标准形.八、(20)求正交矩阵,使成对角形,其中.九、(10)设为阶方阵,为阶单位阵.证明:秩秩.河南大学2008年硕士研究生招生入学考试高等代数一、(15)设,且.证明:.二、(15)计算行列式.三、(15)设为阶矩阵,证明:对任何都有解秩.四、(15)求向量组的极大线性无关组,并用它表示其余向量.五、(15)设为阶矩阵,且秩,证明:存在矩阵,使得.(为阶单位阵)六、(15)证明:阶实对称矩阵正定存在实可逆阵，使得.七、(15)设是线性空间的子空间,其中,证明:.八、(7、8)设是线性空间上的一个线性变换,且(是单位变换).(1)证明:的特征值只能是;(2)其中分别是特征值的特征子空间.九、(15)设求的若当标准形.十、（15）证明:如果是维欧氏空间的一个正交变换,那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间.河南大学2009年硕士研究生招生入学考试高等代数一、（15）设分别为的三个矩阵，且，其中的秩为，的秩为.证明:.二、（15）若阶方阵的每一个行向量、每一个列向量分别均由两个和两个组成，那么的行列式等于零.三、(20)设为阶实对称矩阵,证明:是维欧氏空间的一个子空间.四、(20)若以表示实系数多项式,证明:是实数域上的一个线性空间,并求出它的一组基.五、(20)设是两个幂等矩阵,即,证明:若秩秩,则与相似.六、(20)设是两个实对称矩阵,且正定,证明:复方阵是可逆阵.七、(20)设是数域上的两个不同的阶对称矩阵,且,这里表示矩阵的秩.证明:存在个阶对称矩阵,使.八、(20)设是数域上任意两个阶可逆矩阵,表示数域上全体阶方阵的集合,在上定义变换若将看作数域上的线性空间,则是此线性空间的一个线性变换,进一步令试求线性变换的所有特征值和特征向量.河南大学2010年硕士研究生招生入学考试高等代数一、（15）设，求证：的充要条件为.二、（15）用初等对称多项式表示出元对称多项式：（其中表示所有由经过对换得到的项的和）.三、（20）设是矩阵.是矩阵，是实数，求证：，其中是阶单位矩阵.四、（20）线性方程组的系数矩阵为设是矩阵中划去第列剩下的阶矩阵的行列式.（1）证明：是方程组的一个解；（2）如果矩阵的秩为，那么方程组的解全是的倍数.五、（20）求证：下列方程组在复数域内只有零解：.六、(20)