江西省鹰潭市江西师大分院附属中学2023年高三数学理期末试题含解析

江西省鹰潭市江西师大分院附属中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等差数列{an}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．400参考答案：B【考点】等差数列的通项公式．【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．【解答】解：d=，a1=3，∴S10=10×3+\frac{10×9×4}{2}=210，故选B【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．2.设，则“”是“直线与直线平行”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A若，则，解得或。所以是充分不必要条件，选A.3.已知R是实数集，集合，，则（

）A.{－1,0} B.{1} C. D.参考答案：A【分析】先求出集合的补集再与集合进行交集运算。【详解】即故选。【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。4.集合=，集合=，则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D5.二次函数的图象关于直线X=1对称，则直线似ax+y+1=0的倾斜角为A.arctan2

B.

C.

D.参考答案：B略6.已知，则对，下列说法中错误的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.设曲线C是双曲线,则“C的方程为”是“C的渐近线方程为”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果.详解：若C的方程为，则，渐近线方程为，即为，充分性成立，若渐近线方程为，则双曲线方程为，“C的方程为”是“C的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A.点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.已知定义在R上的函数的图像关于点对称，且满足，，，则

的值为A．

B．0

C．1D．2参考答案：D略9.设奇函数f(x)在[-1，1]上是增函数，且，若函数对所有的都成立，则当时，t的取值范围是（

）A．

B．C．

D．参考答案：答案：C10.定义数列：；数列：；数列：；若的前n项的积为，的前n项的和为，那么(

)A.

B.

2

C.

3

D.不确定参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是

▲

．参考答案：(0，)f(x)=x(lnx﹣ax)，．令，∵函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点，则在区间上有两个实数根．，当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令，解得．令，解得，此时函数单调递增；令，解得，此时函数单调递减．∴当时，函数取得极大值．当x趋近于0与趋近于时，→，要使在区间上有两个实数根，则，解得．∴实数的取值范围是(0，).

12.

已知点在第三象限，则角的终边有第

象限。参考答案：答案：二13.设，若是与的等比中项，则的最小值为

．参考答案：由题意知，又，所以，所以的最小值为.14.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是

。参考答案：试题分析：因为，并且，所以，因为为双曲线左支上的一点，所以所以双曲线的离心率的范围考点：双曲线的性质15.设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，若，则的最大值为

参考答案：略16.已知两点A（2,2），B（2,1），O为坐标原点，若，则实数t的值为

。参考答案：略17.已知极点、极轴分别与直角坐标系的原点和x轴正半轴重合，且极坐标系与直角坐标系单位相同，若曲线C的极坐标方程是，则曲线C的直角坐标普通方程是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a∈R，函数f（x）=ax3﹣3x2．（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若函数g（x）=exf（x）在上是单调减函数，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】（1）由条件“x=2是函数y=f（x）的极值点”可知f'（2）=0，解出a，需要验证在x=2处附近的导数符号有无改变；（2）由在上是单调减函数可转化成在上导函数恒小于零，再借助参数分离法分离出参数a，再利用导数法求出另一侧的最值即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）．因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a﹣2）=0，所以a=1．经检验，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．即a=1．（Ⅱ）由题设，g′（x）=ex（ax3﹣3x2+3ax2﹣6x），又ex＞0，所以，?x∈（0，2]，ax3﹣3x2+3ax2﹣6x≤0，这等价于，不等式对x∈（0，2]恒成立．令（x∈（0，2]），则，所以h（x）在区间（0，2]上是减函数，所以h（x）的最小值为．所以．即实数a的取值范围为．（13分）【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．19.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】设函数（I）画出函数的图象；（II）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．参考答案：解：（I）函数可化为··································································································其图象如下：·······················································································（II）关于的不等式有解等价于······················由（I）可知，（也可由得）

于是

，解得

20.如图5，已知抛物线C:和圆M：，过抛物线C上一点H作两条直线与圆M相切于A,B两点，分别交抛物线于E、F两点，圆心M到抛物线准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率..

参考答案：(1)(2)解析：（1）∵点到抛物线准线的距离为，∴，即抛物线的方程为．（2）方法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，设，，∴，即，∴.．方法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，联立方程组得，∵，∴，．分）同理可得，，∴．

略21.在四棱锥P-ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，，，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知.（1）求二面角P-CD-AB的正弦值；（2）试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD.参考答案：解：（1）因为底面，过作，则，以为坐标原点，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，，解得，又平面的法向量为，所以，所以.（2）设点的坐标为，因为平面，所以，即，也即，，又，，，所以，所以得，，即，，，所以，所以点的坐标为.

22.已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值；（2）当0＜x＜e时，证明：f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）设函数f（x）的图象与直线y=m的两个交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点的横坐标为x0，证明：f'（x0）＜0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导，令f′（x）=0，根据函数单调性与导数的关系，即可求得函数f（x）的极值；（2）采用分析法，要证明f（e+x）＞f（e﹣x），只需证（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），构造辅助函数求导，由F′（x）＞0，即可求得函数单调性递增，F（x）＞F（0）=0，即可求得f（e+x）＞f（e﹣x）；（3）由（1）可知0＜x1＜e＜x2，则0＜e﹣x1＜e，由（2）可知，f（x）在（e，+∞）上单调递减，x1+x2＞2e，x0=＞e，即可f'（x0）＜0．【解答】解：（1）由f（x）=，x＞0，求导f′（x）=，当x∈（0，e），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=e时，f（x）取极大值为，无极小值，（2）证明：要证明f（e+x）＞f（e﹣x），即证＞，只需证（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x）