河北省保定市易县中学2021年高三数学文月考试题含解析

河北省保定市易县中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，定义，则+2等于（

）A． B． C． D．参考答案：A略2.已知函数的零点是和，则（

）A． B． C． D．参考答案：C，得，即，则，所以，故选C。

3.定义运算,则函数f(x)＝1⊕2x的图象是()．参考答案：A4.已知向量，若，则实数的值是（

）A.-2 B.0 C.1 D.2参考答案：A略5.函数的图像是

（

）参考答案：B6.复数的实部为(

)A．

B．１

C．

D．不存在参考答案：A略7.设、是两个命题，若是真命题，那么（

）A．是真命题且是假命题

B．是真命题且是真命题

C．是假命题且是真命题

D．是假命题且是假命题

参考答案：D8.设E,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点,则二面角C—FG—E的大小是(

)

(A)arcsin

(B)+arccos

(C)－arctan

(D)π－arccot

参考答案：D解：取AD、BD中点H、M，则EH∥FG∥BD，于是EH在平面EFG上．设CM∩FG=P，AM∩EH=Q，则P、Q分别为CM、AM中点，PQ∥AC．∵AC⊥BD，TPQ⊥FG，CP⊥FG，T∠CPQ是二面角C—FG—E的平面角．设AC=2，则MC=MA=，cos∠ACM==．∴选D．9.已知变量满足不等式组，则的最小值为A. B. C.3 D.4参考答案：A10.设全集U={a,b,c,d,}，集合M={a,c,d}，N={b,d}，则（CUM）∩N=（

）A．{b}

B．{d}

C．{a,c}

D．{b,d}参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.值为______．参考答案：.【分析】由是偶函数可得，再用微积分基本定理求定积分即可.【详解】解：因为是偶函数，，故答案为：【点睛】本题考查定积分的计算，关键是利用被积函数是偶函数来解决问题，是基础题.12.曲线在点处的切线方程是__________________.参考答案：略13.已知实数x，y满足不等式组，则z=的最大值是

．参考答案：2【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图则z=的几何意义为动点P到定点Q（﹣1，﹣1）的斜率，由图象可知当P位于A（0，1）时，直线AQ的斜率最大，此时z==2，故答案为：2．14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若=，则+=_________．参考答案：略15.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为

参考答案：略16.顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

工序

时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为

工作日.参考答案：42因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为天.【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.【解析】17.(坐标系与参数方程选做题)直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.参考答案：或π三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.

参考答案：19.设a，b，c，d都是正数，且x=，y=．求证：xy≥．参考答案：【考点】不等式的证明．【分析】根据不等式的左边减去右边化简结果为（ad﹣bc）2≥0，可得不等式成立．【解答】证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2成立，又a，b，c，d都是正数，∴?≥ac+bd＞0，①同理?≥ad+bc＞0，∴xy≥．20.已知椭圆Γ：+y2=1（a＞1）的左焦点为F1，右顶点为A1，上顶点为B1，过F1，A1，B1三点的圆P的圆心坐标为（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k，m为常数，k≠0）与椭圆Γ交于不同的两点M和N．（i）当直线l过E（1，0），且+2=时，求直线l的方程；（ii）当坐标原点O到直线l的距离为时，求△MON面积的最大值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题可知：圆心P在A1F1的中垂线上，则a﹣c=﹣，由椭圆的性质可知：a2﹣c2=1，即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）（i）设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得x1及x2，由x1x2=，代入即可求得k的值，求得直线l的方程；（ii）将直线l的方程代入椭圆方程，由点到直线的距离公式求得m2=（k2+1），利用韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式及基本不等式的性质，求得△MON面积的最大值．【解答】解：（1）椭圆Γ：+y2=1（a＞1）的左焦点为F1（﹣c，0）右顶点为A1（a，0）上顶点为B1（0，1），由题意可知，圆心P在A1F1的中垂线上，即=，则a﹣c=﹣，由a2﹣c2=1，及（a+c）（a﹣c）=1，∴a+c=+，∴a=，c=，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）（i）设直线l的方程为y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），．代入椭圆方程，整理得：（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理可知：x1+x2=，①x1x2=，②由=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），+2=时，则（x1﹣1，y1）+2（x2﹣1，y2）=，则x1+2x2=3，③，由①③，解得：x1=，x2=由②可知：=×，当3k2﹣3=0时，即k=±1，显然成立，当3k2﹣3≠0，1+3k2≠0，则=1，显然不成立，综上可知：k=±1，∴直线l的方程y=x﹣1或y=﹣x+1；（ii）设M（x1，y1），N（x2，y2）．由题意，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为可得，化为m2=（k2+1）．把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴丨MN丨2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（﹣）2﹣4（）]==，=3+，（k≠0），=3+≤3+=4，当且仅当9k2=时，即k=±时，等号成立，此时丨MN丨=2，由△MON面积S=×丨MN丨×，=×2×，=，∴△MON面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，向量的坐标运算及基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21.（本小题满分12分）如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点.（1）求证:无论点如何运动,平面平面；（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．参考答案：解：（Ⅰ）E，F分别为棱BC，AD的中点，ABCD是边长为2的正方形T∥且=T为平行四边形T∥T的所成角．中，BF=

,PF=，PB=3TT异面直线PB和DE所成角的余弦为………………6分（Ⅱ）以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PD=a,可得如下点的坐标：P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，则有：

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，

设平面PFB的一个法向量为，则可得

即

令x=1,得，所以.

由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得：，解得．………10分因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为．………12分略22.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．（1）求证：DE∥平面A1MC；（2）在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，连接OM，OE，MD，推导出四边形MDEO为平行四边形，从而DE∥MO．由此能证明DE∥平面A1MC．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建系，利用向量法能求出存在点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为，此时PA=1．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD，∵MD，OE分别为△ABC，△ACC1中的AC边上的中位线，∴，，∴，∴四边形MD