河北省廊坊市京安学院附属高级中学高三数学理联考试卷含解析

河北省廊坊市京安学院附属高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是A．π，

B．π，

C．2π，1

D．π，参考答案：D2.已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ= D．B=4参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．3.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4个，故选：A．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．4.记实数，，…，中的最大数为，最小数为，则（

）A．B．C．D．参考答案：D略5.已知集合 A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}参考答案：D6.设命题，，则为（

）．A．， B．， C．， D．，参考答案：C解：特称命题的否定需将特称量词变为全称量词，同时否定结论，所以命题，，则为：，．故选．7.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 A．

B．

C．

D．

参考答案：D

：根据题意得：从而所以解得，因为需使，所以，从而，所以.故选：D．8.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A. B.2 C. D.参考答案：C试题分析：抛物线的焦点为，直线与抛物线的交点为，因此．考点：积分的几何意义．9.已知向量，则下列能使成立的一组向量是[答](

)．A．

B．C．

D．参考答案：C10.现有四个函数：①②③④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

A．④①②③

B．①④③②

C．①④②③

D．③④②①参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线的位置关系是

_

．参考答案：相离12.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是

．参考答案：（﹣，0）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解?方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．画出函数g（x）的图象，由图求解【解答】解：方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解?方程f（x）﹣x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）﹣x=．当x≤0时，函数h（x）=ln（x+1）﹣x，h′（x）=，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，函数g（x）的图象如下，由图可知g（﹣）＜m＜0，∴﹣，故答案为：（﹣，0）．13.已知角的终边经过点,且,则

参考答案：14.已知平面向量满足，，那么____.参考答案：试题分析：考点：向量运算15.如图4，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则的长为

．参考答案：1略16.已知函数f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为

．参考答案：、﹣考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），又x∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可得解．解答： 解：∵f（x）=cosx?sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+=sin2x﹣×+=sin（2x﹣），又∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）min=﹣，当2x﹣=，即x=时，f（x）min=，故答案为：、﹣．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．17.已知

参考答案：1.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个位的二进制数，其中的各位数字中，出现的概率为，出现的概率为．例如：，其中．记,当启动仪器一次时

(Ⅰ)求的概率；

(Ⅱ)求的概率分布列及参考答案：解（Ⅰ）（Ⅱ）１２３４５

Ｐ

令19.(本小题满分13分)已知等差数列满足：，.的前n项和为.（Ⅰ）求

及；（Ⅱ）若

,（），求数列的前项和.参考答案：解.（Ⅰ）设等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d

∵，

∴

………………2分解得

………………4分∴,

………………6分（Ⅱ）∵,

∴

………………7分

∵

∴

∴

………………9分

=(1-+-+…+-)

………………11分=(1-)

=

所以数列的前项和=

.

………………13分

20.已知b＞，c＞0，函数的图像与函数的图像相切．(1)设，求；(2)设(其中x＞)在上是增函数，求c的最小值；⑶是否存在常数c，使得函数在内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）依题设，∴．∵在上是增函数，∴≥0在上恒成立，又x＞，c＞0，∴上式等价于≥0在上恒成立，即≤，而由（Ⅰ）可知≤，∴≥．又函数在上的最大值为2，∴≥2，解得c≥4，即c的最小值为4．

21.设函数f（x）=|x﹣a|+2x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；（Ⅱ）若x∈（﹣2，+∞）时，恒有f（x）＞0，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=2时，不等式即|x﹣2|≥1，可得x﹣2≥1，或x﹣2≤﹣1，解得x的范围，可得不等式的解集．（Ⅱ）由于f（x）的解析式及a＞0，可得函数f（x）在它的定义域（﹣2，+∞）上是增函数．再由f（x）＞0在它的定义域（﹣2，+∞）上恒成立，可得f（﹣2）=a﹣2≥0，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）≥2x+1，即|x﹣2|≥1，∴x﹣2≥1，或x﹣2≤﹣1．解得x≤1，或x≥3，故不等式的解集为{x|x