2022年浙江省高考数学试题附解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学

姓名准考证号

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分3至

4页.满分150分，考试时间120分钟.

考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷

和答题纸规定的位置上.

2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试

题卷上的作答一律无效.

参考公式：

如果事件A,8互斥，则柱体的体积公式

P(A+B)=P(A)+P(8)V=Sh

如果事件4,B相互独立，则其中S表示柱体的底面积，/I表示柱体的高

P(AB)=P(A)P(B)锥体的体积公式

若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次V=-Sh

3

独立重复试验中事件4恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积，〃表示锥体的高

P“(k)=C：p”(1-p尸e=0,1,2,…球的表面积公式

台体的体积公式S=4TTR2

丫=*+质+52)〃球的体积公式

4

其中5,S2表示台体的上、下底面积,V=-7rR3

3

h表示台体的高其中R表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.设集合A={1,2},8={2,4,6},则AD8=()

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6)

【答案】D

【解析】

【分析】利用并集的定义可得正确的选项.

详解】AUB={1,2,4,6},

故选：D.

2.已知a,0eR,a+3i=（/?+i）i（i为虚数单位），则（）

A.a=l,b=—3B.a=—l,b=3C,a=~\,h=-3D,a=i,b=3

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数相等的条件可求力

【详解】a+3i=-1+bi,而a力为实数，故。=-1/=3,

故选：B.

x-2>0,

3.若实数x,y满足约束条件，2x+y—7<0,则z=3x+4y的最大值是（）

x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

【解析】

【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线z=3x+4y后可求最大值.

【详解】不等式组对应的可行域如图所示：

当动直线3x+4y-z=0过A时z有最大值.

x=2x=2

由(2x+y_7=0可得＜.,故4(2,3),

[y=3

故Zmax=3x2+4x3=18,

故选：B.

4.设xwR,则“sinx=l”是"cosx=0''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为sin?x+cos?x=l可得：

当sinx=l时，cosx=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xeR,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cn?）是（）

俯视图

2216

A.22兀B.8兀C.—兀D.—兀

33

【答案】C

【解析】

【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可

根据球，圆柱，圆台的体积公式求出.

【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球的半径，圆柱的

底面半径，圆台的上底面半径都为1cm,圆台的下底面半径为2cm,所以该几何体的体积

322222

V=-X—7txl+7txlx2+-x2x(7rx2+7rxI+-V^x2XKXI\=cm3■

233\/3

6.为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+gJ图象上所有的点()

7T71

A.向左平移二个单位长度B.向右平移二个单位长度

C向左平移，7T个单位长度D.向右平移:7T个单位长度

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出.

兀、兀(兀、

(X-—I+-,所以把函数y=2sin[3x+gJ图象上的所有点向右

平移1个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象.

故选：D.

7.已知2"=5,log83=b,则4心=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14"(2")5225

【详解】因为2"=5,^=log83=-log23,即2昉=3,所以4“"=”=九*=至=5-

故选：C.

8.如图，已知正三棱柱A8C—A4G，AC=A41，E,尸分别是棱BC,A©上的点.记£尸与所成

的角为a,防与平面ABC所成的角为夕，二面角E-BC-A的平面角为/,则（）

A.a<P<yB.f3<a<yC.P<y<aD.a<y<P

【答案】A

【解析】

【分析】先用几何法表示出a，B，Y，再根据边长关系即可比较大小.

【详解】如图所示，过点尸作于P,过P作PM_L8C于M,连接FE，

则。=/£即，B=4FEP,y=FMP,

FP

ta…空=空41,tan八”=组”tan广>----=tan尸,

FPABPEPEPMPE

所以aW/Wy,

故选：A.

9.已知a,Z?eR,若对任意》61<。|%—。|+|%—4|一|2%—5|20,则()

A.a<l.b>3B.a<\,b<3C.a>\,b>3D.<7>1,/?<3

【答案】D

【解析】

【分析】将问题转换为〃以2%—5|一|X-4|,再结合画图求解.

【详解】由题意有：对任意的xeR,有。|元一〃以2x-5|一|%—创恒成立.

1—X,X<一

2

设“x）=a|x-Z?|,g（x）=|2x-5|-|x-4|=^3x-9,1-<x<4,

x-l,x>4

即/（x）的图像恒在g（无）的上方（可重合），如下图所示：

3

由图可知，a>3,l<b<3,或l<b<4——<3,

a

故选：D.

10.已知数列｛4｝满足,=1，4用=/—1；（〃eN*）,则（）

77

A.2<1006ziunuo<—2B.—<1004no<3C.3<1006zI()0<—D.5<100q0G<4

2i5J2

【答案】B

【解析】

【分析】先通过递推关系式确定｛q｝除去q,其他项都在（0』）范围内，再利用递推公式变形得到

111111/C、

--------=------累加可求出一>-(»+2),得出100%0n<3,再利用

a

%„3—43an3

111111、

--------=------<---1+

"1~=3/7+1J,累加可求出---1----1-…+-L再次

%a“3-a,,3_%3、,323

〃+2

放缩可得出lOOqoo〉1.

2

【详解】•••4=1,易得g=§e（0，l），依次类推可得4€（0,1）

=""]一$")即__1_—3—1I1

由题意，4+1

4+1_______________«„3-凡'

1111

--------=------〉一

4+1an3-。“3'

111111111

即「「十---->—,>一,

a23%%3*3

累加可得----1>彳(〃-1)，即—〉彳(〃+2),(〃22),

*3an3

,3/由1~100c

••〈,(/?>2),即。100<三',l0°4oo<34<3,

〃〃+2

11111一

--------=-------<----,(〃N2)

丁=§几+1

又4用43-a„3_

〃+2

1121+J__1_£11411

il1+1+—

3。3%34

J____1_£

<用…,

a“%3

1,1z八1111

累加可得----1<-(/?-1)+-—I-----F,••H------,(〃N3),

3°23n

-1--1<33+U1!1+?1+…+L1]<33+U1gx4+\x94)<39,

323993

即J-<40,

：,4oo>疝J»即1。。4（）0>~；

400

综上：—<1OO^ZJQQ<3.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分.

11.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它

f|T22\2

22

填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是S=U-c«-12〃,其

中“，b,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边a=0,〃=百,c=2,则该三角形的

面积S=.

【答案】叵.

4

【解析】

【分析】根据题中所给的公式代值解出.

【详解】因为S=c2a2一72+；一从J所以s=.4x2_（4+j3）=等.

故答案为：叵.

4

12.已知多项式（X+2）（X-1）4=4+。1%+。2尤2+43%3+44/+。5/，则。2=，

%+42+%+4+%=.

【答案】①.8②.-2

【解析】

【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出/，再令x=l即可得出答

案.

322222

【详解】含工2的项为：x-C^-x-（-1）+2.C；•X.（-1）=-4x+12x=8x,故。2=8；

令x=0,即2=%,

令JV=1,即0=+4++%+"4+"5，

q+生++。4+。5=-2，

故答案为：8;—2.

13.若3sina-sin°=V10,a+B=%,则sina=

【答案】①.2^2（2）.-

105

【解析】

【分析】先通过诱导公式变形，得到a的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求

出a，接下来再求夕.

【详解】a-\-p=sin=cosa,即3sina—cosa=JT5，

即而需sina-噜cosa〉限令噜,W噜,

则厢sin(a—6)=715,：.a-0=^+2k/r,keZ,即a=e+'+2g

.•・sina=sin。+——F2k7V-cos0-------,

I2J10

cn4

则cos2/7=2cos~/3-\-2sirra-l=—

故答案为：噜；?

-九2+2,X«1,

则大出

14.已知函数/")=<+1］〉］；若当切时，l〈/（x）<3,则

、X

人一a的最大值是

【答案】①.—②.3+百##6+3

【解析】

【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出。的最小值功的最大值即可.

2

【详解】由已知勺1）r（小I>2=屋7勺7）77”4=加37

37

所以

28

当xWl时，由l«/(x)43可得14一%2+243,所以一14x41,

当x>l时，由14/(x)V3可得14X+—一1<3,所以1〈尤42+百，

X

14/(幻《3等价于一1«元〈2+百，所以口，切口［一1,2+百］,

所以。的最大值为3+A/3-

37

故答案为：,3+#).

15.现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上

数字最小值为贝iJP(J=2)=,E©=.

【答案】©,—,②.—##1-

3577

【解析】

【分析】利用古典概型概率公式求尸(4=2),由条件求J分布列，再由期望公式求其期望.

【详解】从写有数字122,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有C；种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最

小值为2的取法有c；+c；c：种，所以P©=2)=。千

由已知可得专的取值有1,2,3,4,

P4=l)=fi=WPG=2)=M

2

%=3)=WC=上3，*=4)=1IJ1

')C；35')C；35

gil/八115c16「3.I12

所以E(f)=lx—+2x——+3x—+4x——=—

353535357

故答案为：—，—.

357

22L.

16.已知双曲线1-与=1(。>0力>0)的左焦点为凡过尸且斜率为上■的直线交双曲线于点A(玉,y),

crb~4a

交双曲线的渐近线于点8(9,%)且玉<0<%.若1冏=3|£4］,则双曲线的离心率是

【答案】巫

4

【解析】

【分析】联立直线A8和渐近线，2：y=2”方程，可求出点B,再根据|F6|=3|EA|可求得点A,最后

根据点A在双曲线上，即可解出离心率.

【详解】过/且斜率为2的直线AB:y=2(x+c),渐近线4：y=2x,

4。4aa

而点A在双曲线上，于是簿•一汇方=1,解得：二=以，所以离心率e=3四.

81a281a2〃/244

故答案为：亚.

17.设点尸在单位圆的内接正八边形4儿…人的边44上，则而1+%-+.•.+A诙的取值范围是

【答案】[12+20,16]

【解析】

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，44所在直线为x轴，AA所在直线为'轴建

立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设尸(x,y),再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到

PA；+PA2+---+PA8=8(/+)2)+8,然后利用cos22.5Y|OP区1即可解出.

【详解】以圆心为原点，所在直线为x轴，A4所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示:

则A（0,D，4,^（1,0）,A4-T~,——,4（0,-D，A）—丁,——，4（-L。），

乙乙乙乙乙乙

\7\/\/

30、~、—2

.2

A—~^~7r，设P（x,y）,于是PA+忒+•••+忒=8（f+y2）+8

I22J

因为cos22.5Y|OP|Wl,所以匕号竺IwV+yZwi,故而：+阳；+…+巨成的取值范围是

[12+272,16].

故答案为：[12+2>/2,16].

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为小b,c.已知4。=石c,cosC=m.

(1)求sinA的值；

(2)若b=ll,求△ABC的面积.

【答案】(1)—;

5

(2)22.

【解析】

【分析】(1)先由平方关系求出sinC,再根据正弦定理即可解出；

(2)根据余弦定理的推论cosC="一'二以及4a=显可解出。，即可由三角形面积公式

2ab

S=，QbsinC求出面积.

2

【小问1详解】

34r-

由于cosC=g,0<C<7i,则sinC=g.因为4Q=J^C，

由正弦定理知4sinA=J^sinC，则sinA=与nC=£

45

【小问2详解】

因为4a=J？c，由余弦定理，得「a2+h2-c2a+l2i-^an-J3,

cosc----------------------------------二一

2ab22a2a5

4

即a?+6。-55=0，解得a=5,而sinC=g,/?=11,

114

所以AABC的面积S=—tz/?sinC=—x5xllx—=22.

225

19.如图，已知ABC。和C£>EF都是直角梯形，ABIIDC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=1，ZBAD=ZCDE=60°,二面角/一。C—B的平面角为60°.设M,N分别为AE,BC的中

（1）证明：FNLAD；

（2）求直线3M与平面AT>6所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）班.

14

【解析】

【分析】（1）过点E、O分别做直线。C、A8的垂线EG、。//并分别交于点G、H,由平面知识易

得FC=BC,再根据二面角的定义可知，ZBCF=60.由此可知，FN±BC,FNLCD,从而可

证得FM_L平面43CD,即得FN_LA£>；

（2）由（1）可知RVL平面ABC。，过点N做A8平行线NK,所以可以以点N为原点，NK,

NB、NR所在直线分别为x轴、丫轴、z轴建立空间直角坐标系N一肛z,求出平面AQE的一个法向

量，以及两，即可利用线面角的向量公式解出.

【小问1详解】

过点E、。分别做直线AB的垂线EG、。”并分别交于点交于点G、H.

•..四边形ABCO和EEC。都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

NBAD=NCDE=«°,由平面几何知识易知，

DG=AH=2,NEFC=NDCF=/DCB=ZABC=90°,则四边形EFCG和四边形DCBH是矩形，

在RtAEGD和RtGHA，EG=DH=25

VDC±CF,DC±CB,且CFcCB=C,

...OC，平面BCF,ZBCF是二面角F-DC-B的平面角，则ZBCF=60°，

△BCb是正三角形，由。Cu平面ABC。，得平面ABC£>_L平面BCF,

:N是BC的中点，FN1.BC,又。CJ•平面6CF,RVu平面可得FNLCD,而

BCcCD=C,二平面ABCO,而ADu平面ABCD:./W_LAD.

【小问2详解】

因为EN_L平面ABC。，过点N做AB平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、NR所在直线

分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系N—xyz,

3)

设4(5,百,()),5(0,省,()),。(3,—6,0),41,(),3),则M3,；,；,

(22)

___(Ji3\_

/.BM=3,--,-,A/5=(—2,—2百,0),£>E=(—2,6,3)

I22；

设平面ADE的法向量为为=(x,X2)

而•通=01-2x-2岛=0广r-

由一，得〈广，取元=(6,-l,G)，

n-DE-0[-2x+6y+3z=0

设直线BM与平面ADE所成角为6,

।—1\n-BM\,+f+5+5不

；•sine=cos<n,BM〉=1=-J-----------/---------1.==—•

11ih|-bmi历"2百14

20.已知等差数列｛4｝的首项q=-1,公差d>l.记｛4｝的前〃项和为

(1)若S4-2a2a3+6=0,求S“；

(2)若对于每个〃eN*，存在实数%,使/+%,。“+1+4%,凡+2+15。,成等比数列，求d的取值范围.

【答案】(1)S“二"2(〃eN*)

(2)l<d<2

【解析】

【分析】(1)利用等差数列通项公式及前〃项和公式化简条件，求出d,再求S,,；

(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d的范围.

【小问1详解】

因为—2a2a3+6=0，q=—1,

所以一4+6d-2(—l+d)(—l+2d)+6=0,

所以d?—3d=0，又d>1,

所以d=3,

所以=3〃-4,

所以S="，)〃*5〃,

"22

【小问2详解】

因为4+%，4+1+4%,a〃+2+15c“成等比数列，

所以(4+1+4cJ=｛an+c„)(t?„+2+15%)，

(nd-1+4cn)-=(-1+”4-d+c”)(-1++d+15c„),

c：+(14d-8nd+8)c,+/=(),

由己知方程c；+(14d-8nd+8)c“+/=()的判别式大于等于o,

所以△=(14d—8加+8)2-412NO,

所以(161—8就+8)(124-8加+8)20对于任意的〃wN*恒成立，

所以[(八一2)4-1][(2〃-3)4-2]之()对于任意的〃"*恒成立，

当〃=1时，[(〃一2"一-3)d—2]=(d+l)(d+2"(),

当〃=2时，由(2d—2d—1)(44—3d—2)20,可得d42

当〃23时，[(n-2)J-1][(2n-3)-2]>(n-3)(2n-5)>0,

又d>l

所以l<dW2

21.如图，已知椭圆(■+y2=i.设A,B是椭圆上异于P(0,l)的两点，且点Q(O,g)在线段ABL,直

线P4P8分别交直线y=-gx+3于C,O两点.

(1)求点尸到椭圆上点的距离的最大值;

(2)求ICD|的最小值.

12vH

【答案】(1)

11

(2)蛀~.

5

【解析】

【分析】(1)设。(26cos。,sin6)是椭圆上任意一点，再根据两点间的距离公式求出|PQ『，再根据二

次函数的性质即可求出；

(2)设直线：y=Ax+g与椭圆方程联立可得心马，内+々，再将直线y=—3x+3方程与

PA.的方程分别联立，可解得点C,。的坐标，再根据两点间的距离公式求出|CD|,最后代入化简可

得,由柯西不等式即可求出最小值.

2+1

【小问1详解】

设。(2百(\)5。,5缶夕)是椭圆上任意一点，尸(。4)，则

(1V144144

|P2|2=12cos2^+(l-sin^)2=13-1lsin2^-2sin^=-111sin^+—l+——<—,当且仅当

sin®=—时取等号，故|PQ|的最大值是吆叵.

1111

【小问2详解】

设直线4?:y=kx+L直线AB方程与椭圆E+V=l联立，可得(公+上］/+区一：=0,设

212I12)4

k

玉+x2

k2+-

12

A(xl,yl),B(x2,y2),所以<

%无2=

y.—1I

因为直线一x+l与直线y=--x+3交于C,

%2

424x,4x,

则%=一—J=77T-K一7,同理可得，&=「1=777-77一7.则

再+2']—2(2K+1)X|—1x,+2%—2(2Z+1)%-1

|C£>I=

又一%上当(2k+\)x-\一(2k+l)x-1

\4/VI•1/人]XyIX)人1

x-x

2我__________-工2_____________=2A/5}2

-

,[(2：+1)/—1][(2攵+1)”1](2攵+1)X|X9—(2Z+1)(玉+4)+1

当且仅当左=尚时取等号，故|cq的最小值为述.

【点睛】本题主要考查最值的计算，第一间利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思

路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较

难题.

e

22.设函数/(x)=—+lnx(x>0).

2x

(1)求的单调区间；

(2)已知a/wR,曲线>=/")上不同的三点(%,/(%)),(尤2，/(尤2))，(工3，/(%3))处的切线都经过点

(a,b).证明：

(i)若Q〉e,则0<6-1)；

八2t-a112e-a

(ii)若0<Q<e,%</V与，则—+X2<一+—<----

e6ex{x3a6e-

(注：e=2.71828・・•是自然对数底数)

【答案】⑴的减区间为增区间为+8)

(2)(i)见解析；(ii)见解析.

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，(ii)

k=-^,m=-<l,则题设不等式可转化为4+6-2—-----\——-一L,结合零点满足的方

%ein36/〃&+幻

(zn-l)(m-13)(/n2—zn+12)

程进一步转化为In/〃+<0,利用导数可证该不等式成立.

72(w+l)

【小问1详解】

r(加-苏+卜罗，

当0<x<],/,x)<0；当x〉],/'x)>0,

故/(x)的减区间为"■|J，/(x)的增区间为|j,+8.

【小问2详解】

(i)因为过(。力)有三条不同的切线，设切点为(斗,/(%))"=1,2,3,

故/(七)一匕=/'(%)(七一。)，

故方程/(同一匕=/'(%)(工一。)有3个不同的根，

该方程可整理为(，-/7)(x-a)-£--lnx+匕=0,

设g(x)H云)(…b―1"+"

、

则,g(“七\1一寿e+(:了1+司eY(I)工十1五e

=-J(x-e)(x-a),

✓V

当0<x<e或x>a时，g«x)<0；当e<x<a时，g<x)>0,

故g(x)在(O,e),(a,+x))上为减函数，在(e,a)上为增函数，

因为g(另有3个不同的零点，故g(e)<0且g(a)>0,

整理得到：。(4+1且。>f-+lna=/(a),

2e2a

a.(e.\al3e.

此时〃<----HI-----FIna------1—=----------Inci

21e2e12aJ2e222a

设------Ina,则/(a)=\<0,

、)22av72a2

3e

故”(a)为(e,+oo)上的减函数，故M(a)<——---lne=0,

22e

故0<〃