新概念力学教案

《绪论

1.什么是物理学

物理学是研究自然界基本规律的科学。

英文Physics来源希腊文，原意为自然;

中文的“物”一一物质的结构、性质

“理”一一物质的运动、变化规律。

基本规律：物质和运动，或者说，物质

世界的组成及其相互作用

物理学是一门实验科学。它的每一个假说、

原理和定律都是以实验事实为依据的。

4

绪论

■■

仙利略(GGalilei)

天体运动的观察分析

17世纪开普勒(J.Kapler)

牛顿

(L.Newton)_经典力学体系建立

18世纪力学和热学的发展与生产结合

60年代第一次工业革命

法拉第(M.Faraday)"电磁学的研究成果导致电力、电

19世纪

赫兹(H.R.Hertz)机电器、通讯的实现

中后叶

麦克斯维(J.C.Maxwell)第二次工业革命

普朗克(M.Planck)量子力学建立相对论形成使人类

了解原子结构、凝聚物质内部微

爱因斯坦(A.日nstein)

20世纪观运动规律，获得核能，促使半

海森堡(W.K.Heisenberg)导体、计算机、新能源的发展

狄拉壶(P.A，M.Dirac)为又一次工业拿命提供基础

绪论

2.基本物理量

•物理量分为基本物理量和SI基本单位

导出物理量，引入或定义--

度

长

个物理量，必须做到两点：米m

克

量

千

质

1）规定一种测量这个物kg

，

间

秒

时

理量的方法或标准；A

流

安

电

暗

K

力

开

热

学

）规定一种量度单位。度

2温

体

质

摩

的

物

量i

・目前国际上选定7个物理你

光

坎

强

发

度

量作为基本量，在此基础上<4-cd

建立国际单位制。

•通过基本基本概念，基本物理量而得到的物理量称为导出

物理量。如：1牛顿=1千克•米/秒2

・那些物理量是基本物理量，有一定的任意性和历史偶然性

・基本物理量是测量标准是发展变化的

1867年国际计量局保存的•个的锦合金原器两刻度

的间距

1960年11届国际计量大会：氟（86Kr）原子发出红

橙光（5d5—2pio）波长的1650763.73倍

1983年17届国际计量大会：光在真空中1/299792

458秒行进的路程

绪论

典型的长度

哈勃半径1026加

地球半径6.4x106m

人的典型高度1.8x1()°掰

书页的厚度1X1()-4m

氢原子半径5x10m

质子有效半径1.2x10—-

弱电统一的特征尺度10-l8w

普朗克长度1()T掰

典型的质量

已知宇宙1053kg

银河系2.2x1041Ag

地球6.0x1024kg

人6.0x10"g

灰尘6.7x10-10kg

烟草花叶病毒2.3x10tkg

质子1.7x10fkg

电子9.1x10-Ikg

9

绪论

典型的时间

17

宇宙年龄3x105

地球的年龄1.3x10175

人的平均寿命2x1095

一天8.6x1045

典型的分子旋转周期1x10--

快速运动粒子穿越原子核3X10-245

的时间

普朗克时间1。-43s

10

________________________绪论

・3.矢量

普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量

标量：只有大小（一个数和一个单位）的量，

例如：质量、长度、时间、密度、能量、温

度等。

矢量：既有且又有方面的量，并有一定的运算规则,

例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电

场强度等。

11

・矢量的表示方法

1）儿何表示：有指向的线段

2）解析表示：A=（4,4,4）大小/=|'|

3）张量表示：按照一阶张量的变换规律变换

•两个矢量相等必须是大小相等，方向一致

・长度为一个单位的矢量称为单位矢量。

一A

eA=一

•矢量结合法则

1）矢量加法：遵从平行四边形定则

（图1）

交换律：A+B=B+A

结合律：才+（万+｝）=（才+））+5

13

绪论

2）矢量的数乘

'大小C=\A\A

—•—*c—►—»

44=。、小A>0C平行于A

方向〈一_一

2<0。平行于一A

结合律:2（//，）=（4〃）1

分配律:A（A+B）=AA+AB

14

______________________绪论

3）矢量的分解

在一个平面内，若存在两个不共线的矢量3和乙则

平面内的任一矢量可以分解为：

—>-►->

A=Alel+A2e2

常用称为正交分解

三维空间中应有3个不共面的矢量

15

4）标量积（点积、内积）

两个矢量的点积为一标量。

7-Z=ABCOS9。为「与瓦勺夹角

若石为单位矢，H为7在火方向的投影

交换律：A»B=B»A

分配律：~A^aB+/3C)=aA*B+/7A*C

16

绪论

5）矢量积（叉积、外积）

AxB=C是一个轴矢量

17

•矢积的性质：

AxB=-BxA

Ax(aB+B6=a4xB+0Axe

AxA=O

Ax(BxC)=B(A»C)-C(A»B)

•矢量的混合积结果为平行六面体的体积

(Jx5)*C=(Cx^)*5=(5^C)»J

=-(BxA)»C

绪论

结束语

发展独立思考和独立创新的一般能力，应当始

终放在首位，而不应当把知识放在首位。如果

一个人掌握了他的学科的基础理论，并且学会

了独立思考与工作，他必定会找到自己的道路

O而且比起那些主要以获取细节知识为其训练

内容的人来，他一定会更好适应进步和变化

一爱因斯坦

19

第一章质点运动学

•运动学：物体运动状态的描述。

・物体的运动状态：

物体的位矢（位置矢量）、速度和加速度

•重点：微积分在力学中的应用

§1-1质点参考系运动方程

•对复杂的运动进行抽象f提出物理模型f物体运

动的基本规律。

1.质点

•物体运动过程中，物体的大小和形状可以忽略不

计，物体f质点（具有质量而没有大小、形状的

理想物体）。

■只要在研究问题中，物体的体积和形状是无关紧要的，

我们就可以看作质点。

■对于同一物体，由于研究的不同，有时可看作质点，有

时不行，但这时可用叠加原理。

2

2.参考系和坐标系

力学研究的运动，是指物体的位置变更，这种变更总是相对

其他物体而言的。这是机械运动的相对性。为了描述一个物

体的运动情况，必须选择另一个运动物体或几个相互间保持

静止的物体群作为参考物。被选作参考的物体叫做参考系。

•描述质点运动时，参考系原则上可以任选。

•同一物体的运动，由于参考系的选取不同，对他的运动描

述也不同。例如：运动车厢中的落体运动。

•在情况允许下，应选择使问题的处理尽量简化的参考系。

•为定量确定物体相对于参考系的位置，要在参考系上选用

一个固定的坐标系。原点定在参考系的一个固定点上。常用

的有：直角坐标系，极坐标系，球坐标系等。

§1-2位移速度加速度

1.位矢

,位置矢量(位矢、矢径)：

用来确定某时刻质点位置

(用矢端表示)的矢量。

尸(£)点位置矢量：

r=r(x,j,z)

=xx+JJ+ZZ

=xi+yj+zk

4

2.运动函数

机械运动是物体(质点)位置随时间的改变。即：位矢是

时间t的函数。

1——运动函数(运动方程)。

口一-

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

rx=x(t)

或vy=j(0

、z=z(t)

消去时间t,得到轨迹方程：

f(x,y,z)=O

ii°平均速率"=竺——标量

_.Ardr

ii°瞬时速度v=lim——-__-__大始曷里

AT0Atd?

AS_dS

iv°瞬时速率v=lim——-----―---标量

AZdt

平均速度与所取的时间间隔有

关，时间间隔越短，平均速度

就越接近于瞬时速度。瞬时速

度的方向是切线方向。速率只

反映大小，没有方向。

6.描述质点运动的状态参量的特性

微分微分

状态参量包括:尸⑺E⑺前)

积分

/(x,y,z)=O

(1)矢量性。注意矢量和标量的区别。

(2)瞬时性。注意瞬时量和过程量的区别

(3)相对性。对不同参照系有不同的描述。

例H：一质点在孙平面运动，其运动函数为x=Rcos<at,

y=Rsin（ot,其中R,0为常量。求质点的运动轨迹及任一时

刻的位矢、速度、加速度？

解：i°对x,y两函数平方相加得：…

x2+y2=R2

ii0任一时刻的位矢：

r（Z）=xi+yj

=Rcoscoti+Rsincotj

iii°速度变

dt

=-RcosmcDti+Rcocoscotj

其分量为：vY=-R（t）smcDt,vr=R（ocosa）t

速率：v=加+y；=R①

1­*

iv°加速度：a=—=-Reo2coscoti-Reo2sin

dt

--cer{Rcoscoti+&sin（z>rj）

二-0）2y-

表明加速度方向与位矢相反，指向圆心。

大小为a=a）2R

可以看出，利用求导，很方便将位矢、速度、加

速度等量联系起来。

例2：求匀加速直线运动的运动方程。已知质点加速度为原

解：在一维情况下，矢量可以简化为标量。

_㈤dv

a=———>a=—

dtdt

贝ll有：dv=adt=>jt/v=^adt=>v=c+at

设初始速度为%,贝！J,v=v0+at

再由定义：=—dx.、，

?fv=—=>dx-(v0+at)dt

dtdt

12

=>x=卬+—a/+c

由初始条件c=Xo,定为原点，贝IJ：

12

x^vn+-at

13

例3：如图，拉船速度为一定，高度为H。求小船向岸边移

动的速度和加速度。

解：设小船到。点的距离

是L,则:

X2=ZA〃2

对时间求导：2x--=2Z——

atdt

其中虫=丫就是小船速度，而且

二一%

dtdt

~2V0

v=----VQ=_Jx，+H

XX

dvd2xV犷

加速度：a14

dtdrX3

§1-3圆周运动及其描述

1.平面极坐标系___Q0

处理圆周运动一类的平面运动A、

时，直角坐标系不方便。这时^^■nkp(p,6)

广泛采用的是平面极坐标系。■

如图，p(p,e)点的位矢：\0，A

尸⑺=pO

2.单位矢量

p,e分别是极径和极角的单位矢量，其长度为1,方向

沿各自的增大方向。由于方向随时变化，因而是时

间的函数。

对于极径单位矢量：

A/->0,\p1p(/)

其大小为：母|=|加此

dp\p

—=lim—

dt"旬dt

、、k®>do-

=limp-=—

…।1A/dt

同样，对于极角单位矢量:

dO..\6

—=lim—

dtdt

,八dO-

=lim|(?|--­\~p)-——•P

AffOlAZdt

3.圆周运动

引入极坐标系后，圆周运动的运动学方程为:

因此，质点的速度为：

)、drd{pp)dp八dp

v(Z)=—==—-p+p--

dtdtdtdt

dp-d3.0=

=—p+p——

dtdt

径向速度横向速度

通常圆周运动时径向速度为0,这时:

_/、dd汽

v（t）=p—O

dt17

这时常引入角速度矢量（b

de

定义：|大小:0)=——V=pG)

dt①-I

方向:小、0、＜9满足右手定则

质点的加速度为：

,dvd

dtdt

d2p/。、2Ld2O-dpO=ap+a6

=芳一「（7）Q+P^+2p0

atdtdt2dtdt

径向加速度横向加速度

讨论:d-p-

i°直线运动：aP

dt2

ii°圆周运动：a=-pA2p+p^-

atd广

=-pa）~p+pad

其中a=dco/dt成为角加速度

iii°匀速圆周运动：a=-porp

3.平面曲线运动

一个任意的平面曲线运

动，可以视为由一系列小

段圆周运动所组成。

§1-5运动描述的相对性

伽利略坐标变换

（自学）

第二章质点动力学

质点运动学讨论的是如何描述一个质点的

运动。而质点动力学则试图回答质点为何

运动，或者说，再什么条件下作运动学描

述的运动。动力学的基本定律是牛顿的三

大定律。

§2.1牛顿运动定律

1687年牛顿(I.Newton)发表的《自然哲学的数学原

理》这部划时代的著作，提出了三大运动定律，奠定了经

典力学的理论基础。

▲第一定律(惯性定律)(Firstlaw,Inertialaw):

任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非作

用在它上面的力迫使它改变这种状态。

▲第二定律(Secondlaw)：

运动的变化与所加的动力成正比；并且发生在这个动

力所沿的直线的方向上。

▲第三定律(Thirdlaw)：

对于每一个作用，总有一个相等的反作用与之相反；

或者说，两个物体之间对各自对方的相互作用总是相

等的，而且指向相反的方向。

讨论:

i0运动只有相对于一定的参考系来说才有意义，所以牛

顿第一定律也定义了一种参考系。在这个参考系中，一个

受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动不变。这样的

参考系叫惯性参考系，简称惯性系（inertialframe）。

ii°并非任何参考系都是惯性系，牛顿第一定律成立的参

考系才是惯性系。它由实验决定。例如：地球是一个近似

的惯性系。

iii°第一定律定性地提出了力和运动的关系，第二定律则

是进一步的定量描述。

牛顿对“运动”的定义是物体（质点）的质量与速度之

积。现代称之为动量。

p=mv

而牛顿表述的“变化”是指“对时间的变化率二数学上:

-dpd（加）dm__

r=——=--------=-----v+ma

dtdtdt

—仅是质量恒定时的特例

iv°若质点受多个力作用，则户为合外力。

v°第三定律的数学描述为：瓦=-扁

§2.2常见力和基本力

（自学）

5

§2.3非惯性系和惯性力

牛顿定律仅适用于惯性系。例如：

一个加速运动的参考系不是惯性系，称为非惯性系。在

非惯性系中，牛顿定律不成立。但是，

人有些问题需要在非惯性系中研究，例如：

地面参考系，自转加速度a-3.4x10"m/s?

地心参考系，公转加速度a®6xl0_3m/s2

太阳参考系，绕银河系加速度«»1.8xlO-lom/s2

▲有些问题在非惯性系中研究较为方便。

▲处理非惯性系问题时，我们仍然习惯用牛顿第二定律，

这时需引入惯性力给予修正。

惯性力的大小为质点质量m和此非惯性系相对于惯性

系的加速度与的乘积，方向与而相反，即：

例1：求地球上纬度为（p处质量为m的物体的重量。

解：设地球半径为R,地球的自转

加速度＞＞公转加速度，引入惯性力

为：

2

Fi=mcoRcos（p方向如图

A="引+E

nP?=局+F：_2与低cos0

=F：+m2a）4R2cos2tp—2F引mco,Rcos2（p

因为①很小，略去高次项整理得：

P=F引一marRcos2（p

8

例2：潮汐与惯性力

潮汐为引力梯度引起的。

飞船!-2惯性离心力

C

\/方指向

地心

引力E

引力分布不均匀引力不能完全被

（有引力梯度）惯性离心力抵消

地球地球

9

落潮

月球对地面上海水的引潮力

引潮力常触发地震

地震常发生于阴历初一、十

五附近（大潮期），如：

76.阴7.2唐山

93.阴8.15,印度

95.阴12.17,神户

大潮与小潮

§2.4牛顿第二定律的积分形式

——动量定理

前面讨论的牛顿定律的微分形式：户=电警=萼

dtdt

nFdt=dp

i°式中品表示力在时间dt内的积累量＜叫dt时间内

质点所受合外力的冲量（impulse）,用疗表示。

I=

0

ii由上式得：/=Tdp=mv-mv()

在运动过程中，作用于质点的合力在一段时间内的

冲量等于质点动量的增量。这就是动量定理。”

iii°动量定理与牛顿第二定律一样，都反映了质点运动状态

的变化与力的作用关系。但牛顿第二定律是瞬时规律；动量

定理则是力对质点作用的积累效果。

iv°动量定理在处理碰撞和冲击问

题时很方便，这时的作用力往往是

快速变化的，如图。称为冲力。

数学上精确给出冲力与时间的关系

往往是困难的，这时可以通过实验

定出平均冲力：

岸S包

G-Nt

12

例H：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，

又以20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，

且它们与板面法线的夹角分别为45。和30。，求：（1）乒乓球得

到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s,求板施于球的平均冲力的

大小和方向。

解：取挡板和球为研究对象，由于作用

时间很短二忽略重力影响。设挡板对球

的冲力为了

则有：/=\Fdt=mvi-mv\

取坐标系，将上式投影，有：

Ix-^Fxdt-mv2cos300cos45°）=

Iv=\Fvdt=mv2sin300-mv1sin45°=F、N

A/=0.01sV)=lOm/sv2=20m/sm=2.5g

---------/—2—2

FV=6.1NFv=0.7NF=yjFx+Fy=6.14N

Ix=0.061NsIv=0.007Ns

/=/；+/；=6.14x10-2Ns

tana=1=0.1148a

a为/与x方向的夹角。

此题也可用矢量法解，作矢量图用

余弦定理和正弦定理，可得：

14

例2：一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好

触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证

明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落

到桌面上的绳重量的三倍。

证明：设耐刻已有冰的柔绳落至桌面，随后的d时间内将有

质量为pdx=Mdx/L的柔绳以dx/d/的速率碰到桌面而停止，它的

动量变化为

dp=0-pdx-专

一维运动可用标

根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为

柔绳对桌面的冲力尸=-小即：

F=pv~=v2而/=2gxF=2Mgx/L

而已落到桌面上的柔绳的重量为恁r/L

所以F^=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

§2.5牛顿第二定律的积分形式

——动能定理

1.功

质点在力声的作用下，发生一无限小的位移航，户对质点所

做的功定义为力和质点的位移的标积：

dA=F-dr

如果质点沿路径L从1到2,则

力对质点做功为：

42=j"=j2F-dr

L

冲量是力对时间的积累效应;

而功是力对空间的积累效应。

注意：1、功是过程量，与路径有关。2、功是标量，但有正

负。3、合力的功为各分力的功的代数和。

2.功率

力在单位时间内所作的功，称为功率。用P表示。

cdAF-dr--

P=——=-------=F-v

dtdt

在国际单位制中，力的单位是牛顿（N）；

功的单位是N・m,叫焦耳（J）；

功的其它单位：leV=1.6X

功率的单位是J・s“，叫瓦（W）。

18

例11：滑雪运动员的质量为m,沿雪道从A到B下滑高度为

h,忽略摩擦力。求这一过程合力作的功。

例2：水平放置的弹簧，一端固定，另一端系一物体。弹簧

的劲度系数为k,求物体从a到b所作的功。

解：任一位置物体受的弹力为

20

3.动能定理

功既然是力的空间积累，将产生什么效果呢?

如图质点沿路径L从1到2作功为：

42=f户.赤=jFr\dr\-|ma\dr\

i°力对物体作功能改变质点的运动。

ii°在数量上和功对应的是的量＞

的改变，称之为动能。用心表示。

Axl=Ek2~Ekl——动能定理（合外力对质点

作功等于质点动能的增量）

例：质量为帆的小球系在线的一

端，另一端固定。线长，，小球由o

水平静止时下落，求。时的速度。

解：合力作功为

A='（亍+mg）-dr

=广机点■才=㈤|cos6

\dr\=ldO

Z=fmglcosGd0=mglsin6

由动能定理，且%=0,得：

mglsinO=—mvl

v0-12g/sin8

《SirI

Born:4Jan1643inWoolsthorpe,Lincolnshire,

England

Died:31March1727inLondon,England

第三章守恒定律

本章将研究对象由质点转向质点系统，重点研究系

统的过程问题.

一般地说，对于物体系统内发生的各种过程，如果

某物理量始终保持不变，该物理量就叫做守恒量.

本章将着重讨论能量守恒、动量守恒和角动量守

恒.由宏观现象总结出的这几个守恒定律在微观世

界已经过严格检验，证明它们同样有效.守恒定律

是自然规律最深刻、最简洁的陈述，它比物理学中

其它定律（例如牛顿运动定律）更重要、更基本.

1.一对力的功

根据牛顿第三定律，力

总是成对出现的，有作

用力就有反作用力。称

为一对力。

同一系统中出现的一对

力称为内力，下面讨论

系统中质点和y

间的内力作功。

=35+,力=/2-(dr2-drl)=/2d(r2-r1)

⑵一

&=\fi弓］

(i)

说明：|i°两质点间的“一对力”所做功之和等于其中一个质

点受的力沿着该质点相对另一质点所移动的路径所做

的功。

ii°A与参考系选取无关。

iii°在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况

下，一对力的功必为零。

|例如：

N不垂直于?—►4v。0

N'不垂直于力2--4\”wO

Nlvn,即^±dfi2

2.保守力

成对力中，有一种特殊情况：如果一对力的功与相对移动的

路径无关，而只决定于相互作用物体的始末相对位置，这样

的力称为保守力。

例：网m两质点的引力作功。如图。

42=/，布

«)GMm人

=----7—r-dr

4i)尸2

由

=f—GM^mdJr

GMmGMm

=------------------------

ri4

特殊地，(1)与(2)重合，则A]2=04

因此，保守力有另一特征：一质点相对于另一质点沿闭

合路径移动一周时，它们之间的保守力作功为零。

作功与路径有关的力称为非保守力。

例如：摩擦力(耗散力)：一对滑动摩擦力作功恒为负;

爆炸力：作功为正。

3.势能

利用保守力的功与路径无关的特点，可引入，势能”的概

念，以简化作功的计算。

i°势能：由物体之间的相互作用和相对位置决定的能量。以

Ep表示，也叫位能。

ii°系统由位形(1度到位形(2)的过程中，保守力做的功相应

于其势能的改变的负值。

Epi-Ep2==4保i2

iii°势能是相对的，应先选择好势能零点。若规定系统在位形

(0)的势能为零，贝IJ：

%=保•行

6

iv°势能属于相互作用的系统；势能不依赖于参考系的选

择，不要将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。

v°引力势能（取无穷远为零势点）

叫.而

E*)

r

GMm

r

vi°重力势能（取地面为零势点）

£*)=[

mg-dr

=mgh

vi°弹性势能（取弹簧自然长度为零势点）

在弹簧零点附近，任一位置

的弹力为：

F=-kx

A"=[\-kx）dx

=一（：履;一；履;）=一△£?

可见，弹性力是保守力.

2

Ep(x)=2kx

4.势能和保守力的关系

势能的定义：

-*/保/d/=1d£p

dE„

所以有:

巅广-天痴美cos9

若势能为EP(x,y,z),则有:

吗

雇=一2’篇

“=—

，%=-(-:+

保金-J+

dz

=-gradEp_Ep的梯度

算符V/袅号+成一日保7%

9

§3.2功能原理

把动能定理由单个质点推广到质点系。

如图的两质点系统，其中KF2是外力，

fiz,fzi为内力。

根据质点的动能定理

[6•斫+]/2•斫=第1\

6

[.£,叱+[以叱=/2

西+[居.老+[九•四

即[R.+fl\,而2=+A£t2

心？_________________________________________

系统外力作功A系统内力作功Aj系统动能增量A5

所有内力和所有外力对系统所作的

功的总和等于系统动能的增量。10

而内力分为保守力Ak和非保守力4力其中保守力做的功相

应于系统势能增量的负值。即：

4=4c+Aid=p+Atd

-4+4=/+\EP

引入系统的机械能：E=Ek+Ep

在系统从一个状态变化到另一个状态的过程中，其机械

能的增量等于外力所做的功和系统非保守力所做的功的

代数和。这就是系统的功能原理。

§3.3机械能守恒定律

1.在动能原理中，特殊地，

若：A+Aid=O，即外力和非保守力内力不作功；

则：AE=O,系统的机械能不变。

因此，当系统的非保守的内力和一切外力都不作

功或作功的代数和为零时，系统中各物体的动能和各

种势能可相互转换，但系统机械能的总和始终保持不

变，称为系统的机械能守恒定律。

i°机械能守恒定律不具普适性，有严格的前提条件。

ii°自然界严格的机械能守恒的例子是没有的，因为总是

存在非保守力作功，如：摩擦力等。

iii°只适用于机械运动范围。

2.物质的运动形态除机械运动外，还有许多运动形式。如：

热运动、电磁运动、原子原子核和粒子运动、化学运动、生命

运动等。每种运动形式都有能量形式对应：热能、电磁能、核

能、化学能、生物能等。

实验证实：不同形态能量之间，可以彼此转换，但总量

恒定。能量不会消失，也不会产生，能量只能从一种形

态转换为另一种形态。这就是能量守恒定律。

i0它是普适的。

ii0功是能量传递的量度，对一个系统作功不是凭空来

的，它一定是以其它系统的能量变化为代价。

iii°永动机不存在。

§3.4质心运动定理动量守恒定律

1.质心

考虑由一刚性轻杆相连的两质----------------------

点组成的系统，当我们将它斜

向抛出时，它在空间的运动很

复杂，每个质点都不是抛物线

轨迹，但两质点连线上某点C

却作抛物线的运动，C点的运

动规律就象质量全部集中在C—•

点，全部外力也象作用在C点M

一样。这个特殊点C就是质点

系统的质心。

14

如果质量分布是连续的，则求和化为积分:

_frdm

r

cm=~-------

15

i°质心对不同的坐标系选择，具有不同值。

ii°质心相对于自身质点系的位置不变，完全取决于质点系的

质量分布。

iii°具有对称性，且质量分布均匀的物体，质心在对称中心。

iv°对于不太大的实物，质心与重心重合。

例1：求半圆形铁丝的质心。已知半径为R。

解：如图却坐标系，由对称性，质心

一定在y轴上。设线密度为p,则

dm=pdl

0I

由定义：yc----------

m

由图：y=Rsin0,dl=RdO,m=nRp,贝！J：

yc=—fRsin6-p-RdO=—

mJ>16

例2：如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。

解：由对称性分析，质心C应

在x轴上。

令。为质量的面密度，则质心

坐标为：

-danr1+0

Xc=2T-

O冗R-CT・"

(2?/r)2-l

17

2.质心运动定理

质心的运动速度为：

dr,

6_dr_vZ'*"

UQ-c--

dtmm

总动量：

由EdAd/一、dvc

dtdtdt

得一质心运动定理

质心的运动如同一个质点。该质点质量等于整个质点系的

质量，而此质点所受的力是质点系的所有外力之和。I

3.动量守恒定律

在质点系的质心运动定理中，若质点系所受的外力的矢量

和为零，即：3一

%=0

/=!

则有：3=。="=£哂=常量

质点系所受合外力为零时，质点系的总动量不随时间

改变。这就是质点系的

i°它是一个普适规律，只要合外力为零，就满足。

ii°注意总动量的矢量性。

iii°具有分量形式。也就是说，动量守恒可在某一方向上成

立，条件是这个方向的合外力为零。

iv°对于应用动量定理时，只要求作用力的合力为零，而

不必知道系统内部相互作用的细节。19

例：半径为R的1/4圆弧，质量为M,置于光滑平面上。其

上质量为m的物体自顶由静止滑下，求m到底时，M在水平

方向的移动量。

解：系统水平方向动量守

恒，则任一时间有：

0=mvx+(-V)M

mJvxdt=MJVdt

ms=MS

又因为：s=K-S,则上式：

m

・•・S=R

m+M

20

§3.5碰撞

1.碰撞现象

碰撞的物理定义有多种，例如：

A一种遭遇

＞一种以脉冲力相互作用的过程

＞两质点交换它们的动量和能量过程

i0我们倾向于第三种说法，但一般限于指相互作用力程

较短或可以明确地说明其持续期的过程。

ii°碰撞问题中，细节往往难于测量，特别是微观领域的情

况。这些细节可处理为“黑盒子”。

iii°碰撞过程因物体之间互相撞击力相当大，作用时间又短，

以至于作用于物体的外力，如：重力、摩擦力、空气阻力

等相对较小。因此，动量守恒定律成立。

IV°碰撞过程能量守恒，但总动能不一定守恒。21

2.完全弹性碰撞

这是碰撞中的特例，是动能不变的碰撞。

WJVJ+w2v2=+m2u2

12121212

Q叫匕+-m2v2=-mxu}

若是对心碰撞，则动量守恒可化为标量形式。

3.完全非弹性碰撞

一般的碰撞问题，机械能并不守恒，总有一部分损失，转

化为其他形式的能量，这种碰撞叫非弹性碰撞。

若碰撞后，两物体结合为一体，以共同的速度运动。这

称为完全非弹性碰撞。这时，只有动量守恒定律成立。

肛G+加2%=（风+加2）/

22

例：弹弓效应。土星质量为5.67X1025kg,相对太阳轨道速

率为9.6km/s,一空间探测器以10.4km/s速率迎向土星飞

行，质量为150kg。求离开土星的速率。

解：这是一种m2»m］的完全

弹性碰撞，撞后将反弹。

+«72V2=+m2u2

1212121,2

万优肉+-m2v25加阳।

«-vt+2v2,u2«v2

代入已知数据:

VV

ux«-1+22=10.4+2X9.6=29.6km/s

这是空间器加速的一种方式。

23

§3.6质点的角动量和角动量守恒定律

1.质点的角动量

角动量是质点运动的另一个重要物理量。质点，〃对固定

点。的角动量定义为：

L=rxp=rx(mv)

由叉